6.8 余角和补角 课件 2025-2026学年 浙教版七年级上册数学

6.8 余角和补角 浙教版 1 问:如图，两堵墙围成一个角AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？ A C O B 情景导入 观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？ 你是怎样判断的？ 因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 所以∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等. 新知讲解 1 2 互为余角 如果两个锐角的和是一个直角，那么就说这两个角互为余角（简称互余），也可以说其中一个角是另一个角的余角. 几何语言： ∵∠1与∠2互余 ∴∠1+∠2=90° 几何语言： ∵∠1+∠2=90° ∴∠1与∠2互余 结论 对概念的三点说明： 1. 两个锐角 2. 和为90° 3. 与位置无关 观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？ 你是怎样判断的？ 因为∠α+∠β=180°， 所以∠α+∠β与∠AOB相等. 新知讲解 3 4 互为补角 如果两个角的和是一个平角，那么就说这两个角互为补角（简称互补），也说其中一个角是另一个角的补角. 几何语言 ∵∠3+∠4=180°(已知) ∴∠3与∠4互为补角 (补角定义) 三点说明： 1.两个角，其中一个角大于或等于直角，另一个角小于或等于直角. 2. 和为180°. 3. 与位置无关. 思考 1、定义中的“互为”一词如何理解？ 2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 如果1与2互补，那么1的补角是2 ，而2的补角是1 ； 如果1与2互余，那么1的余角是2 ， 2的余角是1. 互补或互余的两角度数之间的数量关系，与两角位置无关！ ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 30° 42° 55° 63°15′ 85° 175° 60° 150° 48° 138° 35° 125° 26°45′ 116°45′ 你还发现了什么？ ∠α的补角 = ∠α的余角＋90° 练一练 （1）如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补， 那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 相等 （a） 思考 新知讲解 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 等量代换是指“如果 a=b且c=b，那么a=c ”. （2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？ 相等 （b） 由于 ∠5 +∠4 = 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 归纳 ∠α的余角 = ；∠α的补角 = . ∠β的余角 = ；∠β的补角 = . ∠α＝∠β ∠α的余角 = ∠β的余角 ∠α的补角 = ∠β的补角 余角与补角性质：同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 90°－∠α 90°－∠β 180°－∠α 180°－∠β 例题解析 例1 如图，已知∠AOC =∠BOD =Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由. 解：∠AOB = ∠COD 理由：∵∠AOC = ∠BOD =Rt∠， ∴∠AOB＋∠BOC ＝ Rt∠， ∠COD＋∠BOC ＝ Rt∠， 即 ∠AOB与∠COD都是∠ BOC的余角， ∴∠AOB = ∠COD （同角的余角相等） 如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数. 解 因为∠AOB与∠BOD互为余角， 所以∠BOD = 90°-∠AOB = 90°-29.66°= 60.34°. 又因为OC是∠BOD的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 所以∠COD=∠BOD= 练一练 例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数. 解:设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度. 由题意，得 180－x=4（90－x） 解方程，得 x=60 所以这个角的度数为60°. 例题解析 若一个角的余角等于它的补角的，求这个角的度数. 练一练 解： 设这个角是x °，则它的余角是（ 90°-x°）,补角是(180°-x°) 。 根据题意得;(90°-x°)=(180°-x°) 解得：x=45 所以这个角的度数是45°。 课堂练习 1.如果∠α=60°，那么∠α的余角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 2.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( ) A A 3.已知∠A=72 °,那么∠A的余角=_____ ,∠A的补角=_____. 4.已知∠α的余角是∠α的2倍，则∠α=____. 18° 108° 30° 课堂练习 5.如图∠AOB=90 °，∠COD=90 °，则∠1与∠2是什么关系？ 答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 课堂练习 6.如图，已知点O是直线上一点，OC是任一条射线，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线. (1)请你直接写出图中∠BOD的补角、∠BOE的余角； (2)当∠BOE=25°时，试求∠DOE和∠AOD的度数分别是多少？ 解：(1)∠DOB的补角：∠AOD、∠COD.∠BOE的余角：∠AOD、∠COD. (2)因为OE平分∠BOC， 所以∠BOC=2∠BOE=50°. 所以∠AOC=180°-∠BOC=130°. 因为OD平分∠AOC， 所以∠AOD=∠COD=∠AOC=65°. 所以∠DOE=∠COD+∠COE=65°+25°=90°. 课堂小结 余角与补角 补角 余角 性质 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角。 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角 同角（等角）的补角相等 同角（等角）的余角相等 感谢您的观看 24 $