精品解析：安徽省马鞍山东方实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

马鞍山东方实验学校2025-2026学年第一学期期中测试卷九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数y＝（k≠0）的图象过点（4，﹣7），那么它一定还经过点（　　） A. （4，7） B. （﹣4，﹣7） C. （﹣4，7） D. （3，﹣7） 3. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足，则，．⑤若，且；则．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 12. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 13. 年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系，有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内（不含G，F点），请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围______． 14. 如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 三．解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 16. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当自变量的取值范围为，则的取值范围为______． 17. 如图，，直线交于点0，且分别与直线交于点和点，已知， （1）直接写出的长度为_________； （2）求的长度． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． （1）在图1中，则________________； （2）仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和的值； （2）根据图象直接写出不等式的的取值范围； （3）求的面积． 21. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 22. 如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，求正方形的边长． 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （3）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山东方实验学校2025-2026学年第一学期期中测试卷九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解∶A．当时，不是二次函数，故不符题意； B． 不是二次函数，故不符题意； C． 是二次函数，故符符合题意； D．不是二次函数，故不符题意； 故选∶C． 2. 若函数y＝（k≠0）的图象过点（4，﹣7），那么它一定还经过点（　　） A. （4，7） B. （﹣4，﹣7） C. （﹣4，7） D. （3，﹣7） 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵函数y＝（k≠0）的图象过点（4，﹣7）， ∴k＝4×（﹣7）＝﹣28， 而4×7＝28，﹣4×（﹣7）＝28，﹣4×7＝﹣28，3×（﹣7）＝﹣21， ∴点（﹣4，7）在函数y＝（k≠0）的图象上． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 3. 点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析． 【详解】解：∵，， ∴， 故A选项不符合题意； ∵∠，， ∴， ∴∠DBF＝∠ECF， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，不能推出， ∴C选项符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的几种方法是解题的关键． 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案. 【详解】解：二次函数为 ， ， 二次函数的开口方向向上， 排除C选项. 一次函数， ， 一次函数经过轴正半轴， 排除A选项. 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， 排除B选项. 当时，则 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， D选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度． 【详解】解：∵DEBC， ∴，∠AED＝∠C． 又∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴， ∵CF＝6， ∴， ∴DE＝10． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 7. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 8. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．由条件  可知抛物线开口向上（），顶点  为最小值点，由 得到点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，解此不等式可得 ． 【详解】解：∵，且为顶点， ∴抛物线开口向上（）， ∴为最小值，恒成立， ∵， ∴点到对称轴距离大于点到对称轴距离， 即，即， 解该不等式： 当时，不等式化为，即，不成立； 当时，不等式化为，即，则； 当时，不等式化为，即，恒成立； 综上，， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．在上取点，使得，利用三角形外角的性质易证，证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：如图，在上取点，使得， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选：D． 10. 已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足，则，．⑤若，且；则．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键．由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可得，结合，，求出，进而求出，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤错误． ∴正确结论的个数为3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系，有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内（不含G，F点），请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值，结合，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知，，且为顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； 令，得． 解得，（舍去）． ， ． 故答案为：． 14. 如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则__________； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________． 【答案】 ①. ## ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，推出即可求解； （2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三．解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）设，得到，根据，求出的值，即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵线段x是线段b，c的比例中项， ∴，且， ∴． 16. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当自变量的取值范围为，则的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，对称轴，开口向上，根据顶点得到最小值，再结合，距离对称轴越远，函数值越大，从而求得最大值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， 则该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为， ∵， ∴抛物线的图象开口向上，且当时，有最小值， ∵对称轴为，图象开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，，， ∴当时，有最大值，其最大值为， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． 17. 如图，，直线交于点0，且分别与直线交于点和点，已知， （1）直接写出的长度为_________； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，求解即可； （2）根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】（1） ∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 19. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． （1）在图1中，则________________； （2）仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2） 解：所作点P如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了作图—相似，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质与判定． （1）证明，即可求解； （2）取格点E，F，连接交于点P，则问题可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：，且， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和的值； （2）根据图象直接写出不等式的的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1），2；（2）或；（3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值； （2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解； （3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解． 【详解】解：（1）在的图象上， ， 反比例函数的解析式是． 又∵在的图象上， ； （2）由图像可知：当或时，； （3），在函数的图象上， ， 解得：， 则一次函数的解析式是， 设直线与轴相交于点，则的坐标是． ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键． 21. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 22. 如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 23. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． （1）求抛物线的表达式； （2）若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （3）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线，再建立方程组求解即可； （2）先表示平移后，，再利用对称性可得答案； （3）如图，过作轴交于，过作轴交于，可得，可得，求解直线为，，可得，设，则，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入抛物线， 得：，解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点； ∴， ∵将点向右平移个单位，则到达图象上的点， ∴， ∵，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作轴交于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴直线为， ∵当， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 当时，的最大值为， 此时，， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $