第01讲 实数及其运算（复习讲义，5考点9题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01实数的性质 题型02 实数与数轴 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01 科学记数法-表示较大的数 题型02 科学记数法-表示较小的数 命题点五 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02程序设计与实数运算 题型03与实数运算相关的规律题 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 新定义下的实数运算 06·优题精选·练能提分 34 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的性质 山东济南卷 T1 山东潍坊卷T1 山东青岛卷T3 / 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 数轴 / 山东德州卷T6 山东青岛卷T3 山东烟台卷T4 山东济南卷T4 山东菏泽卷T4 山东临沂卷T12 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 实数的大小比较 山东淄博卷T1 山东德州卷T1 山东威海卷T3 山东枣庄卷T1 山东潍坊卷T1 山东菏泽卷T4 山东临沂卷T12 灵活运用多种方法比较实数大小 科学记数法 山东滨州卷T1 山东淄博、济南、青岛卷T3 山东卷、山东威海卷T4 山东烟台、东营卷T11 山东日照、潍坊、威海T2 山东淄博、济南、枣庄卷T3 山东青岛卷T1 山东东营、济宁卷T11 山东泰山卷T4 山东烟台卷T5 山东青岛卷T4 山东济南卷T2 山东泰安、日照、枣庄卷T3 山东烟台、东营卷T11 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 山东滨州卷T17 山东德州、济南卷T16 山东东营卷T19 山东威海、潍坊卷T11 山东日照卷T13 山东济南卷T16 山东东营、泰安卷T19 山东潍坊卷T15 山东枣庄卷T17 山东日照卷T17 山东威海卷T11 山东东营卷T19 山东菏泽卷T10 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1．（2025·山东·一模）在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，由有理数及无理数的定义分类，即可求解；理解有理数及无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： ，，是无理数， ，，是有理数； 故选：C． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】本题考查了化简多重符号，立方根，负整数幂，有理数的分类，小于0的有理数即为负有理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴负有理数有数、、、共个， 故选：C． 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义、实数的性质 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 3．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 考点三 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、利用二次根式的性质化简 【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 【详解】解：，∴ ∴ 故选：D． 考点四 科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 2．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 考点五 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 / 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【典例】（2025·山东临沂·二模）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键． 根据负数小于0求解即可． 【详解】解：根据负数的定义：是负数． 故选：C． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）下列式子中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负数、相反数、负整数指数幂、有理数的乘方和加法，根据相关运算法则正确求解，再根据结果和负数概念可得答案． 【详解】解：A、，不是负数，故该选项不符合题意； B、，不是负数，故该选项不符合题意； C、，是负数，故该选项符合题意； D、，不是负数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式】2．（2025·山东淄博·一模）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简多重符号、化简绝对值，负数定义，先根据相关性质内容进行化简，再与0比较，小于0即为负数，进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C ►题型02无理数的识别 / 整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数. 【典例】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）下列各数，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，无理数的定义，根据有理数定义和无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：、是无理数，不符合题意； 、是无理数，不符合题意； 、是有理数，符合题意； 、是无限不循环小数，是无理数，不符合题意； 故选：． 【变式】2．（2025·山东济南·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的基础． 此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解： 是有限小数，它是有理数，则A不符合题意； 是分数，它是有理数，则B不符合题意； 是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意； 0它是有理数，则D不符合题意； 故选：C． ►题型03实数的分类 / 1、按定义分类： 2、按性质分类： 【典例】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【变式】1．（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类，有理数是整数和分数，无理数是无限不循环小数，常见的有圆周率、开方开不尽的数，据此即可解答． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． 【变式】2．（2025·安徽·模拟预测）下列实数是负数的是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数，大于的数是正数，小于的数是负数，既不是正数也不是负数． 【详解】解：A选项：是大于的数，是正数，故A选项不符合题意； B选项：既不是正数也不是负数，故B选项不符合题意； C选项：是小于的数，是负数，故C选项符合题意； D选项：是大于的数，是正数，故D选项不符合题意． 故选：C． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01实数的性质 / 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 【典例】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的是， 故选：A． 【变式】1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 【变式】2．（2025·甘肃武威·模拟预测）是的（   ） A．绝对值 B．倒数 C．相反数 D．算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，正确理解相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义，两个数相加等于0，则互为相反数，进而得到是相反数． 【详解】解： 与互为相反数． 故选：C ． ►题型02 实数与数轴 / 1、将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2、在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 3、数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 4、数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，倒数的定义，根据数轴可知点A表示的数为2，再根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：点A表示的数为2， 则2的倒数为， 故选：C 【变式】2．（2025·山东威海·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由数轴可得： ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴ ∴，故B正确，不符合题意； ∵ ∴，故C正确，符合题意， ∵ ∴，故D错误，符合题意， 故选： D． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01实数的大小比较 / 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 【典例】（2025·山东日照·一模）在这四个实数中，最小的是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较两负数的大小法则是其绝对值大的反而小，并且0大于一切负数．题型较好，是一道容易出错的题目． 根据实数比较大小方法比较即可． 【详解】解：， 最小的是， 故选：A． 【变式】1．（2025·山东聊城·三模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义和，实数的大小比较是解题的关键； 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，然后根据实数大小比较法则即可作出判断． 【详解】解：，，，， ∵， ∴所以与原点距离最近的是， 故选：B． 【变式】2．（2025·山东青岛·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数大小的比较方法，首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是d. 故选：D． 命题点四 科学记数法 ►题型01 科学记数法-表示较大的数 / 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 【典例】（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选:C． 【变式】1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 【变式】2．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：4.6万； 故答案为：． 【变式】 ►题型02 科学记数法-表示较小的数 / 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） 【典例】（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【变式】1．（2025·山东青岛·三模）“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较小的数的方法． 根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法求解． 【详解】解：米 =米， 故选：D． 【变式】2．（2025·山东青岛·三模）冠状病毒最大直径约为米，是自然界广泛存在的一大类病毒．将用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故答案为：． 命题点五 实数的运算 ►题型01实数的混合运算 / 运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算零指数幂、立方根和除法，再计算加减法即可； （2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：（1） （2） 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化1，得． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式，熟悉相关运算是解题的关键． 根据代入计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 【变式】2．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式、三角函数值等知识点的运算方法分别计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】 解： ， ， ►题型02程序设计与实数运算 / 1、分析问题：明确任务和目标，确定输入与输出。 2、掌握法则：熟悉加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算的法则和运算律。 3、遵循顺序：按照先乘方开方，再乘除，后加减的顺序进行运算，有括号先算括号内。 【典例】（2025·湖北·三模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为，则输出的的值为．若输入的的值为，则输出的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用程序求函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值．正确理解程序图并求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵输入的的值为，输出的的值为，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， ∵， ∴当输入的的值为时，， ∴输出的的值为． 故答案为：． 【变式】1.（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，不等式的性质等知识，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）利用不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）理由如下：由题意得， ►题型03与实数运算相关的规律题 / 1. 观察特殊值：先计算或列出前几个特殊情况（如第1、2、3个等式或数值），明确变化的部分和不变的部分。 2. 归纳通项公式：通过分析变化规律，猜想第n项的表达式（如用含n的代数式表示）。 3. 验证规律：将一般式代入其他情况检验，确保普适性。 4. 应用规律：利用总结的规律解决后续问题，如求和或推导新项。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 【变式】1．（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的规律计算，理解规律，掌握二次根式的计算是关键． 根据材料提示，找出规律即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 【变式】2．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 【变式】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 突破二 新定义下的实数运算 【典例】对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算，得到新坐标，再应用g变换． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【变式】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 1．（2025·山东德州·一模）下列计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是负数的含义，乘方，绝对值，化简双重符号，求解立方根，先分别计算各选项，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：，，，， 故选：D 2．（2025·山东聊城·三模）在，0，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和实数的大小比较，先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 3．（2025·山东临沂·一模）下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，实数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，实数的大小比较进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；     B. ，故此选项符合题意； C. ，故此选项不符合题意；     D. ，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（2025·山东济南·二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是根据数轴判断出的取值范围． 由数轴可知，进而可以判断四个选项的正误． 【详解】解：由数轴可知， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·山东泰安·一模）在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数为开方开不尽的数，以及像（两个之间依次多一个），等有这样规律的数． 无理数：无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义依次判断即可； 【详解】解：上述数中，是无理数的有：（两个之间依次多一个），，，共个； 故选：C． 6．（2025·山东济南·模拟预测）在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】亿． 故选：C． 7．（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字类规律的探索，关键在找到规律． 由于，，，，，再往后的结果个位数都是0，依此可求的个位数字． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 再往后的结果个位数都是0， ∵， ∴的个位数是； 故答案为：． 8．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、立方根，解题关键是熟练掌握相关运算． 先化简算术平方根、立方根、化简绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：， ， ． 1．（2025·山东淄博·二模）下列各实数中，最小的一个是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键； 根据实数大小比较的方法将四个选项中的实数先分别估算，然后排列大小即可得出结论． 【详解】解：A、∵， ∴； B、∵， ∴； C、∵， ∴； D、∵， ∴； 综上所述可得： 故选D 2．（2025·山东青岛·模拟预测）宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为千克． 故选：C． 3．（2025·山东潍坊·二模）如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，二次根式的性质，根据数轴上的点表示的数可知，，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，整式加减的应用，二元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键．根据题意表示出各个数位上的数，求出，根据能被3整除，进而求解即可． 【详解】解：根据题意：M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为，个位上的数字为，且， 则 ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整数， ∴能被3整数， ∵，且b越大，M越大， ∴当时，不能被3整除，不符合题意； 当时，能被3整除，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：． 5．（2025·山东济宁·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义． 先根据乘方、零指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解：原式 ． 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 6．（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02无理数的识别 题型03实数的分类 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01实数的性质 题型02 实数与数轴 命题点三 实数的大小比较 题型01 实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01 科学记数法-表示较大的数 题型02 科学记数法-表示较小的数 命题点五 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02程序设计与实数运算 题型03与实数运算相关的规律题 05·重难突破·思维进阶难 18 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 新定义下的实数运算 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 实数的性质 山东济南卷 T1 山东潍坊卷T1 山东青岛卷T3 / 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 数轴 / 山东德州卷T6 山东青岛卷T3 山东烟台卷T4 山东济南卷T4 山东菏泽卷T4 山东临沂卷T12 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数的大小，理解实数的几何意义。 实数的大小比较 山东淄博卷T1 山东德州卷T1 山东威海卷T3 山东枣庄卷T1 山东潍坊卷T1 山东菏泽卷T4 山东临沂卷T12 灵活运用多种方法比较实数大小 科学记数法 山东滨州卷T1 山东淄博、济南、青岛卷T3 山东卷、山东威海卷T4 山东烟台、东营卷T11 山东日照、潍坊、威海T2 山东淄博、济南、枣庄卷T3 山东青岛卷T1 山东东营、济宁卷T11 山东泰山卷T4 山东烟台卷T5 山东青岛卷T4 山东济南卷T2 山东泰安、日照、枣庄卷T3 山东烟台、东营卷T11 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 山东滨州卷T17 山东德州、济南卷T16 山东东营卷T19 山东威海、潍坊卷T11 山东日照卷T13 山东济南卷T16 山东东营、泰安卷T19 山东潍坊卷T15 山东枣庄卷T17 山东日照卷T17 山东威海卷T11 山东东营卷T19 山东菏泽卷T10 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1．（2025·山东·一模）在实数，，，，，，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 考点三 实数的大小比较 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 考点四 科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·中考真题）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ． 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 考点五 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 2．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 3．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 / 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【典例】（2025·山东临沂·二模）中国古代著名数学家刘徽在注释《九章算术》时给出了负数的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”．下列各数是负数的是（   ） A．2 B． C． D．0 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）下列式子中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·山东淄博·一模）下列运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． ►题型02无理数的识别 / 整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数. 【典例】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）下列各数，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·山东济南·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D．0 ►题型03实数的分类 / 1、按定义分类： 2、按性质分类： 【典例】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式】1．（2025·上海·模拟预测）下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·安徽·模拟预测）下列实数是负数的是（   ） A．3 B．0 C． D． 命题点二 实数的有关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01实数的性质 / 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 【典例】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【变式】1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式】2．（2025·甘肃武威·模拟预测）是的（   ） A．绝对值 B．倒数 C．相反数 D．算术平方根 ►题型02 实数与数轴 / 1、将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2、在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 3、数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 4、数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【变式】2．（2025·山东威海·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01实数的大小比较 / 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 【典例】（2025·山东日照·一模）在这四个实数中，最小的是（   ） A． B．1 C． D．0 【变式】1．（2025·山东聊城·三模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·山东青岛·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（   ） A．a B．b C．c D．d 命题点四 科学记数法 ►题型01 科学记数法-表示较大的数 / 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1。 【典例】（2025·山东济南·中考真题）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·山东东营·中考真题）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为 ． 【变式】 ►题型02 科学记数法-表示较小的数 / 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） 【典例】（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式】1．（2025·山东青岛·三模）“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式】2．（2025·山东青岛·三模）冠状病毒最大直径约为米，是自然界广泛存在的一大类病毒．将用科学记数法可表示为 ． 命题点五 实数的运算 ►题型01实数的混合运算 / 运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【变式】2．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． ►题型02程序设计与实数运算 / 1、分析问题：明确任务和目标，确定输入与输出。 2、掌握法则：熟悉加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算的法则和运算律。 3、遵循顺序：按照先乘方开方，再乘除，后加减的顺序进行运算，有括号先算括号内。 【典例】（2025·湖北·三模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为，则输出的的值为．若输入的的值为，则输出的的值为 ． 【变式】1.（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． ►题型03与实数运算相关的规律题 / 1. 观察特殊值：先计算或列出前几个特殊情况（如第1、2、3个等式或数值），明确变化的部分和不变的部分。 2. 归纳通项公式：通过分析变化规律，猜想第n项的表达式（如用含n的代数式表示）。 3. 验证规律：将一般式代入其他情况检验，确保普适性。 4. 应用规律：利用总结的规律解决后续问题，如求和或推导新项。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． 【变式】1．（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． 设（为正整数），当时，的值是 ． 【变式】2．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【变式】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 突破二 新定义下的实数运算 【典例】对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【变式】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·山东德州·一模）下列计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·三模）在，0，，四个数中，绝对值最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2025·山东临沂·一模）下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（   ）    A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·一模）在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·山东济南·模拟预测）在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为 ． 8．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 1．（2025·山东淄博·二模）下列各实数中，最小的一个是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 3．（2025·山东潍坊·二模）如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 5．（2025·山东济宁·模拟预测）计算：． 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 3．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 6．（2025·西藏·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $