上海一模新趋势（阅读理解探究题、生活情境题）2026年中考数学一模题型专练（上海专用）

上海一模新趋势（阅读理解探究题/生活情境题） 25-26学年中考数学一模题型专练（上海专用） 1．（25-26九年级上·上海崇明·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路． 如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1） ． （2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ． （3） ． (1)根据题目条件填空； (2)【知识迁移】 在中，，，那么 ， ． (3)【拓展应用】 在中，，，，点分别在上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】(1)；；； (2)； (3)1 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题中思路解答即可． （2）作平分交于，过作于，设，则，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； （3）连接，证出，设，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：先作，其中，；然后延长到点，使，连接． ∵， ∴， ∴． 设，那么，，． ∴． 故答案为：，，，． （2）解：如图，作平分交于，过作于， ， ， ， 在中，， 即， 设，则， ， ， ， 即， ， ， 同理可得：， 故答案为：； （3）解：连接， ， ， ， ，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 2．根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【答案】（1）；（2）①理由见解析；② 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． （1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度； ②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【知识点】判断一次函数的图象、待定系数法求二次函数解析式、证明四边形是正方形、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 4.（2025·上海·二模）桃李中学一年一度的数学探究活动又开始了，请你帮助所在的小组完成下面的数学探究活动．阅读下面的探究报告，进行数学探究任务． 探究主题 凸四边形及其面积的计算与关系 初步探究 经过研究和学习，数学小组得出以下的若干个结论： 1．对于两条对角线互相垂直的四边形，那么四边形的面积为这两条对角线乘积的一半（证明略）； 推论：对于任意的四边形，其面积为两条对角线乘积的一半与这两条对角线夹角的正弦值的积． 2．若两个四边形的对应角相等，对应边成比例，则称这两个四边形相似； 推论：如果两个四边形相似，那么它们的面积比为相似比的平方（证明略）． 结论证明 现以如下的四边形为例，证明结论1的推论： 已知：如图1，四边形的两条对角线与交于点O，且． 求证：． 证明：                  问题解决 小组经过上述的探究，决定运用上面的结论解决下面的问题． 如图2，平行四边形中，．在边上取一点满足交对角线于点G，连接并延长交边于点F． （1）求证：四边形与四边形相似，并求出其面积比； （2）若的面积为30，求的值． 小组中，你被分配到的任务如下： 【任务一】完成“结论证明” 部分的公式推导； 【任务二】完成“问题解决” 部分的求解过程． 请根据上述表格内的信息，完成上述的任务． 【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析，面积比为4；（2） 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 任务一：过分别作，则，根据三角形面积公式，利用证明即可； 任务二：（1）根据平行四边形性质，可证，得到，同理可得，综合一起即可证明； 过作，交延长线于，过作交于，设，根据的面积为30，可得，再在中求得，结合（1）中的相似比即可求解． 【详解】任务一：证明：如图，过分别作， ， ， ， ， ， ； 任务二：（1）连接， 交对角线于点G， 共线， 在平行四边形中，， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又， ， ， ， 综上，，，，， ， 四边形与四边形相似， 又， 为等边三角形，， ， 四边形与四边形的面积比为4． （2）由（1）知， 设， 则，， ， 过作，交延长线于，过作交于， ， ， ， 解得， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ． 5.某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明见解析；运用： 【知识点】相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】证明：连接，如图所示： ∵四边形与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 7.综合探究 【阅读材料】 学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形中，，对角线，相交于点O．若梯形的面积为1，试求以，，的长度为三边长的三角形的面积． 小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作的平行线交的延长线于点E，得到的即是以，，的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图2，请直接写出的面积为_________． （2）如图3，的三条中线分别为，，，若的面积为2，求出以，，的长度为三边长的三角形的面积． 【深入探究】 （3）已知点P是内的一点，连接，，，，，证明：． 【实践操作】 （4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先表示出梯形的面积，再证明四边形是平行四边形，然后表示出求解； （2）先证明四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质结合中线的意义得出的面积为面积的，从而可得，再求出，从而可求得，于是可求得即可； （3）先证明四边形是平行四边形，四边形平行四边形，再证明，列出比例式，通过等量代换转化为，再利用夹角相等，可证得，结合平行线的性质可得出结论成立； （4）先以所给的三条线段为边作一个三角形，再构造出平行四边形，然后分别找出待作的三角形的三个顶点，再顺次连结即可． 【详解】（1）解：设梯形的高为， ∵， 梯形的面积为1， ∴， 过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）平移到，可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即M为的中点， 又∵， ∴，， ∴ ∵F为的中点， ∴， ∴ ∴N为的中点， ∴E为各边中线的交点， ∵为中线， ∴， ∵为中线， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 而， ∴， 即的面积为面积的， 连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 可知与在一条直线上， ∵， ∴的面积等于的面积， 又的面积等于， ∴的面积等于， ∴， ∴的面积等于的面积， ∴的面积等于的面积的， 又为的中线， ∴的面积是面积的， ∴的面积是面积的， ∴， 又的面积为2， ∴， ∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于， 故答案为：． （3）过点P作，分别交、于点E、F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又 ∴， ∴； （4）以a，b，c为三边作，作出中点N， 连结，作出的中点M，连结交于点E， 延长到A，使，连结，并延长，在的延长线上截得，连结，，，则与互相平行，四边形是平行四边形， 延长长B，使，连结，就是所求作的三角形. 【点睛】本题考查了作三角形，平行四边形的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 8.（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 10．（24-25九年级上·江苏·期末）【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 【答案】（1）①是，②或；（2）证明见解析；（3）或；（4）或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角想外角性质和三角形和差关系即可求解； （3）根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可； （4）过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明，可得，进而分情况讨论求解；当时和时，分别求出的长即可； 【详解】解：（1）①若，， 则， 是“准直角三角形” ②已知是“准直角三角形”， 且， 若， 则 则； 若, ， 则 故的度数为或 （2）在中，，是的角平分线， ， ， 是“准直角三角形” （3）当时，如图，过点作于， 在中，，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或 （4）过点作于，，交的延长线于， 设， ，， ， ， ，， ， ， ， 当， ， ， 由（3）得：， 设，，则， ，则 则； 当时， ， ， ， ， ， 故的长为或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 11．（2024·宁夏·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 12．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 13．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质 (2)①；② 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质， （1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可； （2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可； ②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可． 【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理； 依据2：相似三角形的性质； （2）①∵G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵中线、相交于点O， ∴点O是的重心， ∴， ∴ 故． 14．（23-24九年级上·上海·期末）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．  2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．   （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），， （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【问题探究】 如图1，在中，，； 然后延长到点D，使，连接． （1）__________． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________． （3）__________． 【知识迁移】 如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接． 请用习题中求的方法求． 【拓展应用】 如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：． 【答案】【问题探究】 ，，；【知识迁移】【拓展应用】证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【问题探究】（1）由等腰三角形的性质得出答案； （2）由股定理可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义可得出答案； 【知识迁移】设， 得出，由此求出答案； 【拓展应用】连接，证出， ，，设，，，，求出，则可得出答案． 【问题探究】解：（1）， ， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，， ， ， 故答案为：； （3）在中，，， ，， ， 故答案为：； 【知识迁移】解：在中，， ， ， ， 中，， 即， 设， 则， ， ， ； 【拓展应用】证明：连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ； 设，， ，， ， ， ， ， ． 15．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 16．（23-24九年级上·山东青岛·期中）阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 【答案】(1) (2)；； (3)， 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底的比进行计算解题； （2）作交延长线于M，则有，根据平行线分线段成比例得到，然后等量代换解题即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用（1）中结论解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 17．（2023·广东深圳·二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    【答案】(1)①，③ (2) (3)①全体实数；；②见解析；③或或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可； （2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解； （3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解． 【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想； 故答案为：①，③ （2）解：， 设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）．    由图象可知：当时函数图象位于轴上方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：； （3）解：①自变量的取值范围是全体实数； 当时，，即 列表； … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … 故答案为：全体实数；； ②描点，连线，函数图象如图：    ③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即． 一元二次不等式的解集为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海一模新趋势（阅读理解探究题/生活情境题） 25-26学年中考数学一模题型专练（上海专用） 1．（25-26九年级上·上海崇明·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题对非特殊的锐角比的求解提供了新的思路． 如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1） ． （2）设，那么 （用的代数式表示，以下同）， ． （3） ． (1)根据题目条件填空； (2)【知识迁移】 在中，，，那么 ， ． (3)【拓展应用】 在中，，，，点分别在上，且，，连接、交于点，求的值． 2．根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 4.（2025·上海·二模）桃李中学一年一度的数学探究活动又开始了，请你帮助所在的小组完成下面的数学探究活动．阅读下面的探究报告，进行数学探究任务． 探究主题 凸四边形及其面积的计算与关系 初步探究 经过研究和学习，数学小组得出以下的若干个结论： 1．对于两条对角线互相垂直的四边形，那么四边形的面积为这两条对角线乘积的一半（证明略）； 推论：对于任意的四边形，其面积为两条对角线乘积的一半与这两条对角线夹角的正弦值的积． 2．若两个四边形的对应角相等，对应边成比例，则称这两个四边形相似； 推论：如果两个四边形相似，那么它们的面积比为相似比的平方（证明略）． 结论证明 现以如下的四边形为例，证明结论1的推论： 已知：如图1，四边形的两条对角线与交于点O，且． 求证：． 证明：                  问题解决 小组经过上述的探究，决定运用上面的结论解决下面的问题． 如图2，平行四边形中，．在边上取一点满足交对角线于点G，连接并延长交边于点F． （1）求证：四边形与四边形相似，并求出其面积比； （2）若的面积为30，求的值． 小组中，你被分配到的任务如下： 【任务一】完成“结论证明” 部分的公式推导； 【任务二】完成“问题解决” 部分的求解过程． 请根据上述表格内的信息，完成上述的任务． 5.某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 6．学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 7.综合探究 【阅读材料】 学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形中，，对角线，相交于点O．若梯形的面积为1，试求以，，的长度为三边长的三角形的面积． 小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作的平行线交的延长线于点E，得到的即是以，，的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图2，请直接写出的面积为_________． （2）如图3，的三条中线分别为，，，若的面积为2，求出以，，的长度为三边长的三角形的面积． 【深入探究】 （3）已知点P是内的一点，连接，，，，，证明：． 【实践操作】 （4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法） 8.（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 9．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 10．（24-25九年级上·江苏·期末）【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 11．（2024·宁夏·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 12．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 13．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 14．（23-24九年级上·上海·期末）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．  2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．   （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），， （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【问题探究】 如图1，在中，，； 然后延长到点D，使，连接． （1）__________． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________． （3）__________． 【知识迁移】 如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接． 请用习题中求的方法求． 【拓展应用】 如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：． 15．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 16．（23-24九年级上·山东青岛·期中）阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 17．（2023·广东深圳·二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    学科网（北京）股份有限公司 $