解三角形中的最值问题 专项练-2026届高三数学一轮复习

解三角形中的最值问题 一、单选题 1．在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（    ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．的最大值是 D．的周长的取值范围是 6．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（    ） A．        ` B．b取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为6 三、填空题 8．在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为 ． 9．等边三角形内接于等腰直角三角形，若的斜边长为，则面积的最小值是 . 10．在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， . 11．在中，内角所对的边分别为，且，若，则的面积的最大值为 . 12．已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为 . 四、解答题 13．已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 14．已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，. (1)若边上的高为1，求的面积的最大值； (2)若，求的周长的最大值. 15．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的面积不小于，求的最大值. 16．在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 17．在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 18．已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 19．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)当角最大时，求角的大小． 20．设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B D C ACD BC BC 1．A 利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值. 依题意，， 由得， 即， ， 由于是锐角，所以， 与一正一负，或， 若，即， 由于， 所以，所以， ，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 所以，所以，. 所以， 所以三角形的周长， 当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为. 故选：A 2．B 根据正弦定理、余弦定理求解即可. 法一：直接验证排除：若最大角为，则三角形为等边三角形，排除A； 若最大角为，则最大边与最小边的比值为，排除C； 利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为， 可知钝角三角形中大于，排除D． 法二：不妨令，则， ∴，的最大角； 法三：不妨令，由正弦定理得， 即， ∴，，． 故选：B. 3．D 思路一：由正弦定理、三角形面积公式可得面积关于的函数即可求解；思路二：由角平分线性质、等面积法以及基本不等式得，结合三角形面积公式即可得解. 解法1：设，则 在中，由正弦定理，故； 在中，由正弦定理，故； ，当，即时，面积最小值． 解法2：由角平分线性质可知，，所以有 ， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立． 故而． 故选：D. 4．C 利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值. 因为，由正弦定理得， 所以.又因为， 所以， 所以，即.所以， ， 显然必为正，否则和都为负，就两个钝角， 所以， 当且仅当，即，取等号， 所以的最小值是， 故选：C. 5．ACD A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围. A：由等面积法有，即， 由，，的平分线交于， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对； B：在中，在中， 由的平分线交于，即，故，故B错； C：由，则，， 所以， 又，即时，的最大值是，故C对； D：由A分析有，则，故， 所以，当且仅当时取等号， 由， 所以，故三角形周长为， 令，则周长在上单调递增， 所以，即周长范围是，故D对. 故选：ACD 6．BC 利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断. 对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故， 又因为，则，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知三角形的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 7．BC 对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B， 由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况. 对于A，. 由正弦定理边角互化可得：， 则，故A错误； 对于B，， 则，当且仅当取等号. 由余弦定理，，又， 则，因，则，故B正确； 对于C，由B分析可知，，则，故C正确； 对于D，由B分析，， 得.. 令，则，由三角形三边关系可得， 则，则. 则，令. 则，令， 因，则在上单调递减， 则，即周长无最大值，恒小于， 故D错误. 故选：BC 8． 设，在中，由余弦定理可得，可得，在中，利用余弦定理可求的最大值. 设，因为，所以 在中，由余弦定理得：， 所以，进而由均值不等式可得， 在中，由余弦定理可得， ， 当时取等，故的最大值为． 故答案为：. 9． 首先利用正弦定理将等边三角形的边长用角表示出来，然后构造新函数，对新函数进行化简，利用三角函数的性质求出边长的范围，进而利用三角形面积公式可求出面积的最小值. 设，则， 在中应用正弦定理，， 其中，则. 令，则 所以 令，则，当且仅当时取到等号. 此时取最小值，. 所以的面积， 从而的面积最小值为. 故答案为：. 10．/ 建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解. 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 由，得，又，则，， 设，由角平分线定理得， 当时，，得，此时； 当时，直线的斜率分别为， 则，又， 由到角公式得，即， 得， 整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 因此当在点处时，的面积最大，此时， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 11． 由余弦定理求出角，再由基本不等式及三角形面积公式即可求解. 由，可得， 所以，因为，所以， 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以 故的面积的最大值为， 故答案为： 12． 利用正弦定理可得各边长与角的关系，再由恒等变换可得，利用余弦定理计算可得，利用三角形面积公式计算可得结果. 由正弦定理及外接圆半径可得，. 因为，，所以. 所以， 即. 因为，所以，即， 所以， 即可得，所以； 当且仅当时取等号， 所以面积为， 则面积的最大值为. 故答案为： 13．(1) (2) （1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值； （2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. （1）因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． （2）由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 14．(1)1 (2) （1）先求得的面积，然后利用等面积法求得边上的高；（2）由正弦定理知，然后分类进行求解. （1）因为若边上的高为1，所以， 正弦定理得，可得. 所以的面积. 又，所以当时，的面积有最大值，最大值为1. （2）由正弦定理知，可得，则或. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 若，则的周长为 ， 当时，周长有最大值，最大值为. 因为，所以的周长的最大值为. 15．(1) (2) （1）结合已知利用余弦定理求得，结合角的范围即可得解. （2）根据得，由正弦定理得，进而由三角形的性质及两角和的正弦公式化简得，即可解答. （1）由及余弦定理可知：， 因为，则. （2）因为，所以，即， 由正弦定理可知：， 因为，所以， 由此可得，展开得， 即，又因为，，所以， 同时除以，得， 所以的最大值为. 16．(1)为等腰三角形 (2) （1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到，进而得到，即可求解； （2）根据条件及余弦定理得到，利用基本不等式得到，进而可得，从而有当最大时，为正三角形，即可求解. （1）因为，所以，即， 整理得，所以．                因为，则，所以， 即，则为等腰三角形． （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立．      又为三角形内角，所以，即的最大值为，      此时，又，所以， 故，可得三角形ACD为直角三角形且．      可得为正三角形， 又，所以当最大时，的面积． 17．(1) (2) （1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长； （2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值. （1）若，则， 又，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故的周长为； （2）由（1）知，， 设，则， 由三边关系可得，解得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 故， 所以的周长为， 令，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为. 18．(1)， (2) 通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可. 利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值. （1）首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. （2）由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当 取最大值 3 时，面积最大，. 19．(1)证明见解析； (2) （1）由正弦定理边角互化可得，然后应用两角和差公式计算结合正弦定理可得答案； （2）由结合余弦定理及基本不等式可得当且仅当，即时，取到最大值为，最后由正弦定理可得答案. （1），所以， 由正弦定理得： 由正弦定理得 . （2）由余弦定理得 当且仅当，即时等号成立，此时取到最大值为； 因为，所以，又因为正弦定理得出， 所以此时. 20．(1)证明见解析 (2) （1）利用正弦定理将角化边，再由两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）利用两角和的正切公式得到，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. （1）由， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角， 若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然， 则等式不成立， 所以、均不是直角， 所以； （2）依题意不是直角， 所以， 故， 因为且，所以， 令， 设，， 有， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，取得最小值时，， 即取得最小值时，为． 学科网（北京）股份有限公司 $