解三角形中的几何问题 专项练-2026届高三数学一轮复习

解三角形中的几何问题 一、单选题 1．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 4．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，的角平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，，且边上的高为，则（    ） A．的面积有最大值，且最大值为 B．的面积有最大值，且最大值为 C．的面积有最小值，且最小值为 D．的面积有最小值，且最小值为 二、多选题 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，．若边上的中线，角A的角平分线交于点E，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 8．在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 9．如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（    ） A． B．的面积为 C． D．若点在的外接圆上，则的最大值为 10．已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 三、填空题 11．的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则 . 12．在平面四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为，则 ． 13．在中，已知，若边上的高为，则 ． 四、解答题 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求C； (2)若边上的高为，求的最小值． 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 16．如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求四边形面积的取值范围． 17．已知为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，，. (1)求的取值范围； (2)求的内切圆半径的最大值. 18．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 19．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B D ABD ABD BCD BC 1．C 利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 2．B 利用两次余弦定理即可求解. 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 3．B 令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 4．D 根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 5．B 利用正弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 如下图所示： 在中，，，则， 在中，， 所以，， 在中，由正弦定理可得，所以，A错； 在中，，则， 且， 由正弦定理可得，则，B对； ，D错； 因为， 所以，，C错. 故选：B. 6．D 由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得，再通过余弦定理求得的范围，即可求解. 因为 所以 所以，又为三角形内角， 所以，所以 设角的对边分别为，边的高为， 由三角形面积公式可得：，又， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选:D 7．ABD 利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出判断A；利用余弦定理及数量积的运算律求出判断B；利用数量积的定义计算判断C；由三角形面积公式求出面积判断D. 在中，由及正弦定理， 得，而，则 对于A，，则，A正确； 对于B，由余弦定理得，又，两边平方得 ，解得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，因为，为中点，所以， 由角A的角平分线交于点E，得，则， 因此点到边的距离，，D正确. 故选：ABD 8．ABD 应用余弦定理计算求解判断A，应用正弦定理计算求出外接圆半径判断B，应用二倍角余弦公式计算求解判断C，根据向量数量积公式计算求解判断D. 在中，由余弦定理可得，所以，故A正确； 又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确； 因为BD为的角平分线，所以，所以，所以， 在中，，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选:ABD． 9．BCD 利用余弦定理计算，由直角三角形计算判断A，根据面积公式计算三角形的面积判断B，利用正弦定理计算判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值判断D. 在三角形中，由余弦定理， ，故，故正确； 在中，，故错误； 由余弦定理可知：， ，平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故正确； ，， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1， 显然当取得最大值时，在弧上，故， 设，则，， ，，，， 其中，，当时，取得最大值， 故正确． 故选：BCD． 10．BC 利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断. 对于A：由和正弦定理，可得 移项得，即 因，则，代入上式，得， 因，则，故， 又因为，则，故A错误； 对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确； 对于C：由余弦定理得，， 因为，所以，， 又因为，则， 可知三角形的面积为，故C正确； 对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号， 因为边上的中线，则有， 两边取平方，可得， 则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误． 故选：BC. 11． 利用三角形的面积公式可得出，设，则，利用余弦定理可得出，再由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 由题意可得，整理可得， 不妨设，则， 由余弦定理可得，故， 所以，， 因为，故. 故答案为：. 12．/0.5 根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式列式，再利用和角的余弦求解. 在中，由余弦定理得， 整理得，由四边形ABCD的面积为， 得，整理得， 因此， 整理得，所以. 故答案为： 13．/ 设角所对的边为c，由题设用表示出，再应用余弦定理求. 设角所对的边为c，依题意得边上的高，而， 所以，，在中，， 在中，； 在中，． 故答案为： 14．(1) (2)2 （1）由正弦定理，化简得，由此即可得解； （2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后根据三角形面积公式得，由此即可得解. （1）在中，由正弦定理，可得， 又因为，所以， 所以，即， 因为，，所以， 故，于是； （2）由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式， 得， 当且仅当时等号成立， 又因为，且， 所以，所以，即， 故的最小值为2. 15．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． （1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. （1）由，可得， 由余弦定理可知，所以. （2）（ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 16．(1) (2) （1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，求得以及，再利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，由余弦定理得，结合三角形面积公式求得与，所以四边形的面积，再由三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解. （1）在中， 由余弦定理：， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形，所以，且， 所以， 则的面积为． （2）在中， 由余弦定理：， 所以，， 所以四边形的面积， 又因为，所以， 所以，， 即四边形的面积的取值范围为． 17．(1) (2) （1）由余弦定理求出的值，可得出角的值，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理与三角恒等变换化简得，根据角的取值范围结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数的基本性质可求出的取值范围，然后利用等面积法得出，即可得出的最大值. （1）因为，则， 可得， 由余弦定理可得， 因为为锐角，故， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，故，， 故 ， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. （2）因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 18．(1) (2) （1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到； （2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长. （1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 19．(1) (2). （1）根据题意，利用正弦定理化简得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，进而求得面积的最大值； （2）设，利用余弦定理和为正三角形，求得，列出方程，即可求解. （1）由 因为，可得， 又由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 由（1）知，且，所以为正三角形， 所以， 可得， 故，因为，所以，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $