解三角形中的范围问题 专项练-2026届高三数学一轮复习

解三角形中的范围问题 一、单选题 1．已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（   ）个. ①；②的取值范围为； ③的取值范围为； ④的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，且则其周长范围为 三、填空题 6．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 8．已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ． 9．中，角、、所对的边分别为、、，若函数有极值点，则角的范围是 . 四、解答题 10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 11．在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 12．已知锐角的内角，所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围. 13．设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. (1)若，求的周长; (2)求的取值范围. 14．已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 15．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 16．已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 17．已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 18．记斜的内角的对边分别为，已知，且. (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 19．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B C AC 1．A 利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围， 因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． 在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 故选：A 2．C 由题意得，令，得，故只需求出的取值范围即可得解. 因为，所以，， 即，设， 因为，所以，解得，则， 从而，由对勾函数性质可知， 的取值范围是， 从而， 故所求范围为. 故选：C. 3．B 利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D. 在中，由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，故A错误； 选项B：因为为锐角三角形，，所以， 由解得，故B错误； 选项C：， 因为，所以，， 即的取值范围为，故C正确； 选项D： ， 当且仅当，即时取等号， 但因为，所以，，无法取到等号，故D错误. 故选：B. 4．C 由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 5．AC 利用正弦定理判断A、C，利用正弦定理即倍角公式即可判断B，利用正弦定理将边化角，再结合辅助角公式，再求出角的范围即可判断D. 对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为三角形有两解，所以，即， 即的取值范围为，故C正确. 对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以， 所以，因此周长范围为，故D错误. 故选：AC 6． 正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 7． 若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 8． 利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 由，得， 由余弦定理得， 整理得，所以，又，则； 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 故答案为： 9． 因为函数， 所以导函数， 因为函数有极值点， 所以，即， 则， 因为，所以角的范围是， 故答案为：. 10．(1)证明过程见解析 (2) （1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. （1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. 11．(1) (2) （1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角 （2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，进而得到三角形周长的范围. （1）由，可得，即， ∴，则或（舍）， ∴， 当，由，可得. （2）由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 12．(1) (2) （1）根据题意，得到，由据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得的值，即可求解； （2）由（1）和正弦定理，得到，化简得到，根据为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. （1）解：由，可得，即， 根据正弦定理得， 因为， 所以， 即 又因为，所以，可得，所以， 因为，所以. （2）解：在中，由正弦定理，可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 所以，所以， 所以，即面积的取值范围为. 13．(1)； (2). （1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. （1）在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. （2）由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. 14．(1) (2) （1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. （1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 15．(1) (2) （1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，，进而化简可得，结合的范围，可得，设，进而利用二次函数的性质求解即可. （1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 16．(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). (1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. （1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 17．(1) (2) (3) （1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角. （2）利用向量表示，借助向量的数量积求边. （3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围. （1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以. （2）因为为中点，所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故. （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以， 所以 ， ， 设内切圆半径为， 则. 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，即， 即内切圆半径的取值范围是：. 18．(1) (2) (3) （1）根据余弦定理可得化简后，故求； （2）根据中线向量求模后结合余弦定理可求，故可求面积； （3）由正弦定理得，由余弦定理可得，结合导数可求周长的取值范围. （1）由可得，， 而，故， 因为为斜三角形，故，故， 而，故即. （2）因为的中线，所以. 两边同时平方，得，即. 在中，，由余弦定理可得， 解得，所以. （3）在中，由正弦定理可得即. 在中，由正弦定理可得即. 因为四边形的内角和为，且，所以. 在中， ， 所以，则， . 因为在中，所以， 则在上单调递增. 因为， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) (3) （1）由诱导公式化简得，进而利用正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）利用余弦定理求解的最小值，根据面积公式求解， （3）利用的定义，得，，，即可利用完全平方式求解. （1）由可得，，   在中，由正弦定理，，    则， 又由正弦定理，得，因 ， 由余弦定理，得； （2） 由（1）得：，则，   当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值； 由余弦定理，， 当且仅当，即时取最小值，此时，   则； （3）设，则，，， 故，， 因为，，且，   故，故；   又当，时，，即， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $