解三角形实际应用问题 专项练-2026届高三数学一轮复习

解三角形实际应用问题 一、单选题 1．在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 2．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 3．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 5．墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 8．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 9．把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．S的最大值为 D．S的最大值为 三、填空题 10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则该弧田的面积为 . 11．某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    12．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 13．中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设：            ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整数） 四、解答题 14．一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．    (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少． (2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，） 15．丁香湖公园附近内有一块三角形绿地，其中，，．绿地内种植有一呈扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，圆弧与相切于点． (1)求扇形花卉景观的面积； (2)政府计划2020年整治公园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形，其中，并种植两块面积相等的扇形花卉景观，两扇形的边都落在平行四边形的边上，圆弧都与相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形绿地占地面积的最小值． 16．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 17．某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 18．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 19．利用多波束测深可以进行海洋测绘．如图为探测船沿着固定测线利用探测器进行单测线测绘的示意图．其中海底坡面可视为与海底平面成角的光滑平面，探测器可探测平面与测线垂直．探测船在海平面内沿着与海底坡面平行的测线行驶，且探测过程中以竖直线为角平分线向下探测形成开角，可探测海底坡面内线段长为L．已知探测船到海底坡面的竖直距离为h，假设海底坡面足够长，且L始终存在． (1)当时，求L的长度； (2)求L关于h，与的表达式； (3)保持h不变，证明：当不变时，L随的增大而增大；当不变时，L随的增大而增大． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B B C A C C B AC 1．D 连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解. 如图，    延长与交于点 由，得 连接取的中点,连接, 则由三角形中位线定理知， , 在中，由余弦定理得 , 即 所以三个图形，，的面积之和为 故选： 2．B 根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 3．B 在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案. 在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. 4．C 在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 5．A 根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即可. 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，     且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 6．C 利用正弦定理可求的值. 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 7．C 由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离. 由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C 8．B 由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可. 记，，，，，，，，，，，，． 对于A选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 在中，由，可确定； 在中，已知，由余弦定理可解三角形知， 再在中，由勾股定理，可确定； 再由直角梯形，结合勾股定理可得， 即可确定，故A正确； 对于C选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故C正确; 对于D选项：已知， 在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 由直角梯形，结合勾股定理可得，① 即可确定，故D正确； 对于B选项：已知，同C，D选项，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，② 联立①②，得解此关于的二元方程组， 可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如:若，得 解得或故B错误． 故选：B. 9．AC 设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据定义域求解B，再结合基本不等式可判断CD． 设三角形的斜边长为，则 ①， 所以，其中, 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故不关于对称，故B错误； 对于CD，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：AC． 10． 根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答. 法一：如图，过作，垂足为， 已知， ， 则， 依题意，等腰底边， 高， 则的面积为， 因为， 即的面积为. 而扇形的面积为， 则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为. 法二： 已知， ， 由三角形面积公式可得 的面积为，以下过程同法一. 故答案为： 11． 利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 12． 先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 13． 在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 14．(1)1950km (2)0.64． （1）设人造卫星在时位于C点，得到，在中，由余弦定理求得的长，即可求解； （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则，利用正弦定理求得，从而得到，即可求解． （1）解：如图所示，设人造卫星在时位于C点，其中，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 因此，在时，人造卫星与跟踪站相距约． （2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则， 由正弦定理得， 故，即， 因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为．        15．(1)； (2)． （1）根据余弦定理得到，利用等面积法得到扇形的半径，然后得到扇形花卉景观的面接； （2）假设，，利用余弦定理得到，然后表示出，使用基本等式计算可得结果. （1）在中，由余弦定理， 有，所以， 设扇形花卉景观的半径为，由，得， 所以扇形花卉景观的面积为． （2）设，，则由余弦定理得， 所以， 因为，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 代入可得，平行四边形面积的最小值为． 16．35米 设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 17．(1) (2) （1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解； （2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解. （1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. （2）在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 18．(1) (2) （1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果， （2）作垂线，根据直角三角形解结果. （1）依题意，得 ， ，所以 ， ．在 中，， 余弦定理，得 ． 同理在 中，． 由于 ， 所以 ， 解得 ． （2）作 ，垂足为 ，在 中， ． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 19．(1)150米 (2) (3)证明见解析 （1）根据题意，作出截面图如图，分别求出得解； （2）在与中，由正弦定理分别求出得解； （3）由（2），可得，利用导数判断单调性得解；当不变时，得，结合余弦函数单调性分析得解. （1）绘制截面图如图所示． 其中平面为过海底坡面且平行于海底平面的假想平面，直线为该假想平面的所截直线． 延长直线与交于点D，易知且， 又，则，则． 又，故，则， 故. （2）在与中，由正弦定理分别有． 而，故， 则. 联立有. （3）由（2）可得 ， 设， 则． 令，由于当时，，故等价于， 由于，故恒成立， 也即恒成立，即L随的增大而增大． 又． 当时，且单调递减，故随的增大而减小． 又，故在不变时随的增大而减小，由此可得L随的增大而增大. 学科网（北京）股份有限公司 $