解三角形 易错题纠错专项练-2026届高三数学一轮复习

解三角形 一、单选题 1．在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 4．在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 7．已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 9．已知的内角所对的边分别为，且，某同学根据上述条件推断了以下四个结论：①角一定是锐角；②；③；④的最小值为，则这四个结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．在中，内角的对边的长分别为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 12．在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（　　） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则为等边三角形 D．若，，，则有两解 三、填空题 13．在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 14．在中，，，，则 ． 15．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米． 16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ． 四、解答题 17．记的内角的对边分别为．已知，D为边上的靠近点C的三等分点． (1)求角； (2)求． 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 19．已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D D A D B C 题号 11 12 答案 BD AC 1．A 根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 在中，，由正弦定理得， 而，即，所以. 故选：A 2．C 根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 3．D 先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 4．B 先由余弦定理化简所求式，再利用换元法令结合复合函数的单调性可得. 因为，， 则，化简可得， 所以， 令，则， 因为，由正弦定理可得， 又在三角形中，， 由上两式可得，即， 又在锐角三角形中，所以， 所以，解得， 即，则， 又，则，所以， 所以目标表达式可化为，易得在时为递增函数， 所以， 又， 所以的取值范围是. 故选：B. 5．D 根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 6．D 利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 7．A 法一，利用余弦定理、正弦定理边化角，再利用和差角的正弦化简可得，然后利用边化角，结合三角恒等变换及余弦函数性质求出范围；法二，利用余弦定理，结合已知求出的范围，再将目标式化成的函数关系并求出范围. 方法一：由，得，由余弦定理， 得，即，由正弦定理得， 则， 整理得， 由是锐角三角形，得，，则． 又在上单调递增，因此，即， 由，，得，， 由正弦定理得 ， 所以. 故选：A 方法二：由，得，由是锐角三角形， 得，则，即，解得， 则，所以. 故选：A 8．D 设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得. 设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 9．B 结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 依题意， ，， 为钝角，①错误. ， ，②正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.③正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，④错误. 故选：B. 10．C 根据正余弦定理，变形已知条件，求出与角的余弦之间的关系，根据锐角三角形，求出角的范围，求出结果. 已知，又因为， 所以，解得， 所以，即， 由，得， 由，得，化简得， 即， 可得或者（舍），所以， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，所以，所以， 故选：C. 11．BD 由正弦定理结合两角差正弦公式及诱导公式计算判断A，B，特殊值计算判断C，应用单调性计算判断D. 取，得与不相等，A选项不正确； ，由正弦定理得，B选项正确； 若，则，则，C选项不正确； 若，则，又因为，所以，D选项正确； 故选：BD. 12．AC 利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利用正弦定理求出的值，可判断D选项. 对于A选项，若，由正弦定理可得，则， 所以，为等腰三角形，A对； 对于B选项，因为，由正弦定理可得， 因为、中至少有一个是锐角，则， 从而可知、均为锐角，由可得， 因为、，则、，所以，或， 所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错； 对于C选项，因为，， 由余弦定理可得，即， 所以，，因此，为等边三角形，C对； 对于D选项，因为，，， 由正弦定理得，所以，不存在，D错. 故选：AC. 13． 利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 14． 根据三角形的内角和结合诱导公式化简已知式子，从而可得的值，根据平方关系求得的值，从而由三角形面积公式得所求. 由题意知， 则，所以， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 15． 设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故答案为：. 16．/ 根据正弦定理将原式进行边化角，再根据三角形中三角函数的诱导公式展开原式进行计算即可. 由正弦定理得，，，代入， 化简得， ∴， ∵，∴，∴，即， 又，∴． 故答案为： 17．(1) (2) （1）由正弦定理边化角，再由代入化简即可求解； （2）由平面向量的线性运算得，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． （1）由正弦定理有， 因为， 代入化简，得， 因为，故，所以， 故． （2）由题可知， 故 ， 故． 18．(1) (2) （1）根据正弦定理边角转化和二倍角余弦公式得到，再利用辅助角求解即可. （2）根据余弦定理得到，再利用面积公式求解即可. （1）， 因为，所以. 所以，即. 因为，所以，即. （2）由余弦定理得，， 所以. 19．(1) (2) （1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． （1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $