精品解析：四川省宜宾市长宁县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

二○二五年秋半期质量自主监测九年级·数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，，，中，，则边的长是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 3cm 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为( ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 10. 如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（ ） A. （，3）、（，4） B. （，3）、（，4） C (，)、（，4） D. (，) 、（，4） 11. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题：（共6个小题，每小题4分，共24分）．（注意在试卷上作答无效） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 15. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 16. 已知、是方程两根，则代数式的值是_____． 17. 如图所示，在中，，动点P在射线上，交于点平分线交于点Q，当时，的长为______． 18. 如图，E，F是平行四边形对角线上两点，，连接并延长，分别交于点G，H，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论有________（只填序号）． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意在试卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 21. 如图，和均为等腰三角形，且，，． （1）求证：； （2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 22. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为、，且、为菱形的两条对角线长，是否存在值，使得菱形的边长为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 24. 有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）填空：______；______； （2）化简，已知． ①求值； ②求的值． 25. 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）求点D的坐标； （2）求证：； （3）如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年秋半期质量自主监测九年级·数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2.答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可进行解答． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．最简二次根式根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母不含有根号． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，熟练掌握二次根式的化简及加减运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故A选项计算错误； B、，故B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、，故D选项计算错误， 故选B． 3. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得y＝x，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴y＝x， ∴＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、比例的性质等知识点，将y用x表示成为解答本题的关键． 4. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值． 【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0， 得m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1，m＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 6. 如图，，，中，，则边的长是（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，即可求出边的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 故选：A． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 9. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为( ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（ ） A. （，3）、（，4） B. （，3）、（，4） C. (，)、（，4） D. (，) 、（，4） 【答案】B 【解析】 【分析】先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC=OB， ∴∠CAF=∠BOE=∠CHO， 在△ACF和△OBE中， ， ∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE=CF=4-1=3， ∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°， ∴∠AOD=∠OBE， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴， 即， ∴OE=， ∴点B（，3）， ∴AF=OE=， ∴点C的横坐标为：-（2-）=-， ∴点C（-，4）． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解与一元二次方程根的判别式，解题的关键是分别求出不等式组中的取值范围和方程有实数根时的取值范围，再确定符合条件的整数并求和． 先解不等式组得到解集，根据整数解个数确定的范围；再根据一元二次方程有实数根的条件（判别式且二次项系数不为0）确定的范围，取公共部分的整数求和． 【详解】解：由解得：； 由解得：． 故解集为． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故，解得． 对于一元二次方程， 由得； 由，得． 结合得且，整数为3、4，和为． 故选：B． 12. 如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．先过E作交于，再过D作交于，由相似三角形的判定与性质，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可． 【详解】解：∵， ∴，, 过E作交于， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理，过D作交于， ∴， ∴, 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：（共6个小题，每小题4分，共24分）．（注意在试卷上作答无效） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 14. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 【答案】，． 【解析】 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 15. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】 如图：过点C作CD⊥EF， 由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°， ∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有=; 即DC2=EDFD， 代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为4. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键. 16. 已知、是方程的两根，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，，再将所求式子变形，代入计算即可得解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图所示，在中，，动点P在射线上，交于点的平分线交于点Q，当时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 如图，作辅助线；证明，得到，此为解题的关键性结论；证明得到，根据，，求出． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点； ∵的平分线交于， ∴； ∵ ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，而， ∴， 故答案． 18. 如图，E，F是平行四边形对角线上两点，，连接并延长，分别交于点G，H，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有________（只填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先证明，进而得到，故判断①；进一步推出，可得，故判断②；进而得，由，得，从而判断③；由，得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方判断④． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意在试卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）用公式法解一元二次方程即可． （2）先将方程变形，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解∶ ，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 21. 如图，和均为等腰三角形，且，，． （1）求证：； （2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据，即可得出，再根据，即证明； （2）由，得出，，从而可证，进而可证，再根据，即得出，进而可求． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，且相似比为， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键． 22. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）； （2）2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； （3）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． 小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为、，且、为菱形的两条对角线长，是否存在值，使得菱形的边长为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理． （1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可得证； （2）假设存在，根据菱形的性质，勾股定理建立方程，根据根与系数的关系及菱形的性质得出，解方程得出的值，进而判断即可求解． 【小问1详解】 解：证明：，， . ， ，即， 无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根 【小问2详解】 不存，理由如下： 假设存在， 由题意，菱形的对角线互相垂直，、为菱形的两条对角线长， 依据勾股定理，. ，即 又：，为方程的两个实数根， ， . . ，. ，为菱形的两条对角线长， ，. ，，均不符合题意． 不存在． 24. 有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）填空：______；______； （2）化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）， （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化计算即可求解； （2）①先求得，得出，再整体代入代数式，即可求解； ②根据，将整体代入代数式，即可求解； 【小问1详解】 ， ， 故答案为：， 【小问2详解】 解：①∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵， ∴ 25. 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）求点D的坐标； （2）求证：； （3）如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3）点P坐标是或 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式即可求出，，从而得出，，进而可求出．证，即得出，代入数据可求出，进而可求出，即得出点D的坐标； （2）由相似三角形的性质可得出，从而可得出，．作EH⊥AC于点H， 证，即得出，，即，分别求出，，，结合勾股定理逆定理即可求解； （3）由，可确定点P只能在射线EC上．又可求出，，．分类讨论①当时，即，代入数据可求出，．过点作轴于点F．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，，再利用勾股定理即可求出此时；②当时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，则， 令，则， ∴，， ∴，． ∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 又∵在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴点D坐标是； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴． ∵， ∴，． 作EH⊥AC于点H，如图， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴点P只能在射线上． ∵，，，，， ∴，，． ①当时，即， ∴， 解得：， ∴． 过点作轴于点F． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，（舍）， ， ∴此时； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴． 同理可求出． 综上可知：点P坐标是或． 【点睛】本题是一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、三角形的相似、两点之间的距离公式和分类讨论的方法解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $