专题二函数训练-2025-2026学年高三上学期数学期末复习

专题二、函数【陕晋宁青】2025-2026上学期期末 高三数学 专项复习提升练 一、单选题（本大题共8小题） 1．[2025山西·期末]已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．[2024青海西宁·期末]我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．[2025山西吕梁·期末]若函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．[2025山西太原·期末]已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．[2025山西阳泉·期末]已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．[2025山西太原·期末]已知函数对于任意实数，都有且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．[2025山西运城·期末]若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．[2025陕西宝鸡·期末]一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 二、多选题（本大题共3小题） 9．[2025山西太原·期末]已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 10．[2025山西运城·期末]已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．函数是上的增函数 D． 11．[2025陕西宝鸡·期末]已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C．的解集为 D．，都有 三、填空题（本大题共3小题） 12．[2025山西太原·期末]已知函数，则的值域为 . 13．[2025陕西西安·期末]已知函数，且，则 ． 14．[2025宁夏市三中·期末]已知，则函数的零点个数是 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．[2025山西太原·期末]已知函数的图象过点和点. （1）求实数a，b的值； （2）写出的定义域，并求的值域. 16．[2025陕西汉中·期末]阅读以下材料： ①设为函数的导函数.若在区间D单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. ②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中. (1)已知函数. （i）当时，讨论的凹凸性； （ii）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合； (2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写出求解过程）. 17．[2025山西·期末]已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求和的值； (3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式. 18．[2025山西太原·期末]已知函数，. （1）若的图象关于原点对称，求s，t（用a表示）； （2）讨论的极值，有极值时，求的极值（用a表示）； （3）若，求有3个零点的概率. 19．[2025陕西宝鸡·期末]已知函数． （1）若函数有唯一零点，求实数的取值范围； （2）若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围． 参考答案 1．【答案】D 【详解】函数在上单调递增， ，，故的零点， 由在上单调递增， 得，， 因此的零点，则. 故选:D. 2．【答案】C 【分析】由图可知，函数是上的奇函数，且，利用排除法求解. 【详解】由图可知，函数是上的奇函数，且， 若，则，不合题意，故A错误； 若，由得，不合题意，故B错误； 若，则，不合题意，故D错误； 故排除ABD，得C正确. 故选：C. 3．【答案】C 【详解】. 故选:C． 4．【答案】D 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选D. 5．【答案】A 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 6．【答案】D 【详解】对于A选项，令，则，即， 所以或. 若，令，则， 即， 但，矛盾，所以. 令，，代入可得： ，已知，， 则，解得，所以A选项错误. 对于B选项,前面已求得，所以B选项错误. 对于C选项,令，，代入可得： ，已知，， 则，即，所以，C选项错误. 对于D选项，令，，代入可得： ，已知，，则， 所以，D选项正确. 故选D. 7．【答案】B 【详解】当时，函数在上单调递增，， ，则函数在上有唯一零点； 依题意，当时，有3个零点， 当时，又，则， 因此，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：B 8．【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选B. 9．【答案】BD 【详解】若，时，则，故A错误； 若，时，，故B正确； 若，当时，，但，命题不成立，故C错误； 当时，，又，所以，故D正确. 故选BD. 10．【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，所以，即A正确； 对于B，由得， 令，则有， 令，则有即， 所以是奇函数，即B正确； 对于C，根据选项B可知，令为一次函数， 可得，函数不一定是R上的增函数，即C错误； 对于D，由， 令，则有， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即D正确. 故选：ABD 11．【答案】BCD 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 则当时，，故，A错误； 对于B，函数是定义在R上的奇函数，故； 当时，令，解得； 当时，令，解得； 故函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，令，解得； 当时，令，解得，则， 故的解集为，C正确； 对于D，当时，，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以时，取最小值为， 且时，，所以，即， 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，取极大值为，且时，，时，， 所以，所以， 综合以上，的值域为， 所以，都有，故D正确； 故选BCD 12．【答案】 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 13．【答案】2 【详解】由题意得的定义域为，则． 由，得，即． 设函数，易得在上单调递增． 因为，所以，即． 故． 故答案为：2 14．【答案】6 【详解】令，即， 解得或2， 作出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 15．【答案】（1）， （2）定义域为，值域为 【详解】（1）由，得，，， 上两式联立，解得，. （2）由（1）知，故，得， 所以的定义域为； 法一：由得， 令，则， 当时，，； 当时，，则关于的方程必有实根且为正实数根， 则，，所以， 所以的值域为. 法二：，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 16．【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）或 (2)点的集合为或或 【详解】（1）因为， 所以， 令， 所以. （i）当时，，令，解得； 令，解得； 故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数； 当时，令，解得， 令，解得或， 故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数； 当时，，故为区间上的凸函数；. 当时，令， 解得， 令，解得或， 故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数； 综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间 和上的凸函数； 当时，为区间上的凸函数； 当时，为区间上的凹函数，为区间和 上的凸函数； 当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数； （ii）当时，， 故在点处的切线方程为. 设为的“3切点”， 则关于的方程有三个不同的解， 即关于的方程有三个不同的解， 令， 所以直线与曲线恰有三个不同的交点. . 当时，随变化情况如下： 1 0 0 减 极小值 增 极大值 减 故； 当时，单调递减，不符合题意； 当时，随变化情况如下： 1 0 0 减 极小值 增 极大值 减 故； 综上所述，点的集合为 或 （2）点的集合为或或 17．【答案】(1)函数不具有性质，理由见解析 (2)或 (3) 【详解】（1）若函数具有性质，则存在实常数及， 使得对任意的都成立， 即， 所以，，不合题意，舍去.所以函数不具有性质. （2）由题意存在实常数及，使得对任意的都成立， 即， 化简得对任意的都成立， 所以 解得或 所以或 （3）由函数不存在零点，且具有性质得， 对任意的，，都有， 即，所以， 所以， 又，，所以，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 18．【答案】（1），； （2）见详解； （3）. 【详解】（1）依题意， ， 由的图象关于原点对称，得是奇函数，因此， 所以，. （2）函数定义域为R，， 当时，由，得或，由，得； 当时，恒成立； 当时，由，得或，由，得. 所以当时，在上递增，在上递减， 函数的极大值为，极小值为； 当时，在上单调递增，没有极值； 当时，在上递增，在上递减， 的极大值为，极小值为. （3）由（2）知，当时，，要使有3个零点，有，即， 符合； 当时，在上单调递增，至多有1个零点； 当时，，要使有3个零点，有，即，符合， 则当时，没有3个零点， 当时，，，，，， 则在上有1个零点，在上有1个零点，在上有1个零点，即有3个零点； 当时，，，，，， 则在上有1个零点，在上有1个零点，在上有1个零点，即有3个零点， 所以当时，有3个零点的概率是. 19．【答案】（1） （2） 【详解】（1）函数有唯一零点， 即①有唯一零点，即有唯一零点， 当时，，解得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，其 当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意； 当时，，方程有两个不等的实数根，； 若为①的解，则，解得； 若为①的解，则，解得； 要使①有唯一实数解，则． 综上，实数的取值范围为． （2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为上的减函数， ，， 不等式转化为， 即转化为， 即 令，，即． 二次函数对称轴为，由，开口向上 （i）当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符合题意，舍去； （ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得， 即； （iii）当时，，函数在上单调递增， ，解得， 即； 综上可知，正实数的取值范围． 第 page number 页，共 number of pages 页试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 page number 页，共 number of pages 页试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $