江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（10）

内容：选择性必修一第1~4章 时间：2025.12.10 2024级高二第一学期数学周测（10） 时间：100分钟 满分：133分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则(    ) A. B. C. D. 4 3.已知是等比数列，若，，则(    ) A. B. C. 2 D. 4 4.在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的最短弦的长度为(    ) A. B. 2 C. D. 4 5.设是等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系xOy中，已知一动圆P经过，且与圆相切，则圆心P的轨迹是(    ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7.已知数列满足，，记数列的前项和为若对任意的，都有，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.双曲线的顶点为，P为双曲线上一点，直线交C的一条渐近线于M点，直线的斜率分别为，若，且，则双曲线C的离心率   A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列的前项和是，且，则(    ) A. B. C. D. 的最大值为 10.已知是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法正确的是(    ) A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 若，则 D. 若，则 11.已知曲线，则     A. M可能是两条平行的直线 B. M既不可能是抛物线，也不可能是圆 C. M不可能是焦点在y轴上的双曲线 D. 当时， M是一个焦点在 y轴上的椭圆 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 12．三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，则这三个数为 ． 13．已知等比数列的公比，且，则的值为 ． 14．在等差数列中，已知，，则= ． 15．求= ． 16.已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为A，且是面积为的正三角形．若过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为          . 17.函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数x的最大整数，例如： ，已知数列的通项公式为，设的前n项和为，则使得 的最大正整数n的值为          . 四、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 18.本小题分已知数列的前项和为，且 求的通项公式 记，求数列的前项和． 19.本小题分已知数列满足， 求，及的通项公式 若数列满足且，，记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立． 20.本小题分如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为的直线与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点从左到右依次为，，，记以为直径的圆为圆． 当与圆相切时，求 求证：直线与直线的交点在圆内． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（10） 时间：100分钟 满分：133分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 根据直线的方程求出直线的斜率，可得它的倾斜角． 【解答】 解：由于直线l：的斜率为， 故它的倾斜角为 故选： 2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则(    ) A. B. C. D. 4 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了双曲线的定义，属于基础题. 设为双曲线的右焦点，连接，则，即可求解. 【解答】 解：由双曲线的标准方程可知： 设为双曲线的右焦点，连接， 由双曲线的对称性，可知：， 所以 故选： 3.已知是等比数列，若，，则(    ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式，属于基础题. 利用等比数列的通项公式即可求解. 【解答】 解：设公比为q， 因为，， 则， 故选： 4.在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的最短弦的长度为(    ) A. B. 2 C. D. 4 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查直线和圆相交时所截得的弦长，属于基础题. 由题意可直接写出圆M的圆心和半径，直线所过的定点，解决本题的关键是当圆心到直线l的距离为时，题中所求的弦长最短，利用即可求解. 【解答】 解：圆M的圆心为，半径为， 因为直线l过定点， 所以当圆心到直线l的距离为时， 直线l被圆M截得的弦长最短，且最短弦长为 5.设是等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等比数列的前项和公式，属于中档题． 由等比数列的前项和公式，列方程组可得， ，即可得出． 【解答】 解：由题意，设的公比为，， 因为，， 所以 ， ， 解得 ， ， 则  故选B． 6.在平面直角坐标系xOy中，已知一动圆P经过，且与圆相切，则圆心P的轨迹是(    ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查两点间的距离公式，属于中档题. 由题意并利用圆与圆的位置关系、两点间的距离公式建立方程，再结合椭圆定义即可得出正确结论. 【解答】 解：设动圆的圆心P为， 圆的圆心为，半径为3， 动圆P过点，且与圆相切， 若动圆P圆C外切， 则， 则， 结合双曲线定义可知，圆心P的轨迹不是双曲线； 假设动圆P圆C内切， 则， 则， 所以到点和点的距离和为， 结合椭圆定义可知，圆心P的轨迹是椭圆， 故选： 7.已知数列满足，，记数列的前项和为若对任意的，都有，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查数列的递推公式，等比数列的应用，利用裂项相消求和，不等式的恒成立，熟悉数列求和是解答本题的关键，属于中档题． 先求出数列的通项公式，再运用裂项相消求和求出数列的前项和，即可求解． 【解答】 解：依题意有， 当时，，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以             ， 所以的取值范围是， 故选：． 8.双曲线的顶点为，P为双曲线上一点，直线交C的一条渐近线于M点，直线的斜率分别为，若，且，则双曲线C的离心率   A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查求双曲线的离心率，属于中档题. 设，即有①，②，对比①②两个式子可知 ，结合离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】 解：设，由于，故 ， 而，即， 由于，故，化简得①， 由于P在双曲线上，故，即②， 对比①②两个式子可知， 故双曲线的离心率为： 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列的前项和是，且，则(    ) A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 结合等差数列的性质，进行判断即可． 【解答】 解：因为，所以，所以，所以当 ，时，， 所以，且的最大值为，故AC错误，BD正确． 10.已知是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法正确的是(    ) A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定与性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 对于选项A，利用等比数列的定义判断即可；对于选项B，利用等差数列的定义判断，对于选项C，作差法即可判断；对于选项D，先求出的值，再利用即可求出的值． 【解答】 解：设的公比为，首项为 令，则，所以是等比数列，选项A正确； 令，则为定值，故选项B正确； ，不能得出，所以选项C错误； 若，则；；， 由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确． 故选： 11.已知曲线，则     A. M可能是两条平行的直线 B. M既不可能是抛物线，也不可能是圆 C. M不可能是焦点在y轴上的双曲线 D. 当时， M是一个焦点在 y轴上的椭圆 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查圆锥曲线方程的应用，属于中档题. 利用圆锥曲线方程的性质结合三角函数的正负逐个判断即可. 【解答】 解：A项：当即时， 为两条平行直线，正确； B项：若M是圆， 当时， 方程化为， 则，无解， 由于无一次项，故不可能是抛物线，正确； C项：由 ，为双曲线时， 此时焦点只能在y轴上，错误； D项：若M是焦点在y轴上的椭圆， 则  无解，错误. 故选： 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 12．三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，则这三个数为 ． 【答案】1,3,9或者－1,3，－9 13． 已知等比数列的公比，且，则的值为 ． 【答案】 14．在等差数列中，已知，，则= ． 【答案】0 15.求= ． 【答案】 16.已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为A，且是面积为的正三角形．若过垂直于的直线交椭圆M于B，C两点，则的周长为          . 【答案】16  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题． 由的面积为，且其为正三角形，可得a，然后由中垂线的性质结合椭圆定义可得答案． 【解答】 解：如图， 设  ，则  ， 因 的 面积为  ，且其为正三角形， ， 所以   ，则  . 又直线BC过  ，与  垂直，  为正三角形，则直线BC为  的中垂线， 则  ，又  ， 故  的周长  ， 又C，B在椭圆上，所以由椭圆的定义有  的周长 . 故答案为： 16 17.函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数x的最大整数，例如：，已知数列的通项公式为，设的前n项和为，则使得的最大正整数n的值为          . 【答案】59  【解析】【分析】 本题考查了错位相减法求和，新定义问题，数列的通项公式，属于中档题. 由已知得到当，时，，利用错位相减法求得，再取，分析求得满足条件的n的最大值即可. 【解答】 解：当，时，， 则， 因为，， 所以， 则， 而当时，共有项， 可知这项的和为， 则数列的前项和， ， 两式相减可得， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 则，， 则当时，；当时，， 可知，使得的最大正整数n的值为 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 已知数列的前项和为，且 求的通项公式 记，求数列的前项和． 【答案】解：令，得，解得， 由，得，  两式相减得，， 即， 即， 所以， 当时，，满足上式， 所以． 由知，  ．  【解析】本题考查根据数列前项和与通项的关系，利用裂项相消法求和，属于中档题． 通过把等式中的换成得到一个新的等式，两式相减，消去得到递推式，从而可得通项公式； 由即可求出，再用裂项相消法求和． 19.本小题分 已知数列满足， 求，及的通项公式 若数列满足且，，记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立． 【答案】解：由已知，，， 当时，，，所以，，即数列的奇数项，偶数项都是以为首项，为公差的等差数列，于是，，所以数列的通项公式 综上：，． 由已知，，又，，所以是首项为，公比为的等比数列，于是， ， ， 因为，即， 所以，解得．  【解析】本题考由查数列的递推关系求通项公式，考查数列求和，属于较难题． 因为当时，，，所以，，即数列的奇数项，偶数项都是以为首项，为公差的等差数列，据此可写出数列的通项公式； 由已知，，又，，所以是首项为，公比为的等比数列，于是，所以利用分组求和法，可求出，并根据它求出，最后解方程即可． 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为的直线与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点从左到右依次为，，，记以为直径的圆为圆． 当与圆相切时，求 求证：直线与直线的交点在圆内． 【答案】解：因为，所以，所以， 所以圆的半径由题意知的斜率存在， 设． 当与圆相切时，到的距离， 即，解得， 由得，即， 解得，，所以． 设，，由得， 由题意可知，且，，解得， 且所以， 因为，，所以，， 联立，方程，消去得． 所以， 即，所以． 将代入方程得，即， 因为，所以 所以， 即直线，的交点在圆内．  【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及其应用，属于较难题． 当直线与圆相切时求出直线的斜率，联立直线与渐近线的方程，根据弦长公式求解即可 根据直线与双曲线的位置关系求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $