江西省南昌市南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试 高二数学 考试时间：120分钟；命题人：叶淑英；审题人：揭芬芳 一、单选题（共40分） 1．点到平面的距离为（    ） A． B．5 C．3 D．1 2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点在圆上，直线l过点A且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（    ） A． B．4 C． D． 5．给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥ B．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 C．平面、的法向量分别为，，则∥ D．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 6．在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆相交弦所在直线的方程为 D．两圆的公共弦长为 10．如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 11．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 三、填空题（共15分） 12．若点关于轴对称，则 . 13．若三点共线，则 ． 14．椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 16．（本题15分）已知空间中三点，设，. (1)已知向量与互相垂直，求的值; (2)求的面积. 17．（本题15分）已知圆，直线． (1)判断并证明直线l与圆C的位置关系； (2)设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程． 18．（本题17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，试求直线的方程. 19．（本题17分）已知点在离心率为的双曲线上． (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标． 《2025-2026学年度高二数学第二次月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D B D C BCD AC 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案. 【详解】点在平面上的射影是，则点到平面的距离为， 故选：B 2．A 【分析】由圆的一般方程列不等式即可解得. 【详解】要使方程表示圆，只需，解得：. 故选：A 3．C 【分析】 解法一：将点的坐标代入抛物线方程求出，则可求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得结果；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求出，从而可求出焦点，然后利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】 解法一：因为点在上，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 由抛物线的定义，等于到准线的距离，即， 解法二：因为点在上，所以，得，所以， 所以，所以， 故选：C. 4．C 【分析】由点在圆上，所以点为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利用点斜式即可求得切线方程，再求点的坐标，利用两点间距离公式即可得解. 【详解】解：由圆，得圆心，半径， 又因为为切点，所以，所以直线的斜率为， 所以，即直线，则令，则， 故选：C. 5．D 【分析】根据空间位置关系的向量证明逐项分析判断. 【详解】对A：∵，则，故或，A错误； 对B：对于平面可得， 若向量是平面的法向量，则，解得， 故，B错误； 对C：显然不存在实数，使得成立，则不共线，故与不平行，C错误； 对D：∵，则，故，D正确. 故选：D. 6．B 【分析】结合向量的减法运算对已知关系进行变形，结合向量四点共面结论列方程求. 【详解】根据向量的减法运算可得， 又， 所以， 所以， 所以， 又M是平面上一点，所以， 所以， 所以， 所以，，， 所以，，， 故选：B. 7．D 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 8．C 【分析】依题意画出图形，可得四边形为矩形，设，即可表示出、、，再在直角三角形中利用勾股定理求出，即可求出离心率. 【详解】解：易知四边形为矩形，设，则，，， 在中，，即，解得， 所以，，在中，即， 所以. 故选：C 9．BCD 【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，根据圆心距和两圆半径关系可确定两圆相交；根据圆的几何性质可知AB正误；根据相交弦所在直线求法和垂径定理可得CD正误. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由圆的方程知：圆心，半径； 则两圆圆心距， ，两圆相交； 对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为：，C正确； 对于D，圆心到相交弦所在直线的距离， 两圆公共弦长为，D正确. 故选：BCD. 10．AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 11．AD 【分析】对于A：根据椭圆方程可得，即可得离心率；对于B：分析可知以为直径的圆与椭圆没有交点，即可判断B；对于C：整理可得，结合的范围分析判断；对于D：利用 等面积法可得，进而分析的面积的最值即可. 【详解】不妨设分别是左、右焦点. 对于选项A：由椭圆方程可得，，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于选项B：因为，可知以为直径的圆与椭圆没有交点，所以不存在点使得，故B错误； 对于选项C：由于对有，，从而. 所以不可能以为最小值，故C错误； 对于选项D：设内切圆半径为，则，故. 当且仅当点为短轴顶点时，取到最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确； 故选：AD. 12．2 【分析】根据空间中点关于坐标轴对称得解. 【详解】因为点关于轴对称, 所以， 所以， 故答案为：2 13． 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 14．/ 【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得答案. 【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以， 椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足， 所以，可得， 所以，代入可得， 则椭圆的离心率. 故答案为：. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， ， 因为向量与互相垂直， 所以，解得. 所以的值是. （2）因为， 所以，， 所以. ， 所以. 17．(1)直线与圆相交，证明见解析； (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由题可得，由得直线恒过定点， 再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）因为直线的方程为， 所以， 由得，， 所以直线恒过定点， 因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交； （2）因为圆的方程为， 所以点的坐标为，半径为2， 因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故, 所以，故圆心到直线的距离， 直线斜率不存在时，直线的方程为， 因为点到直线的距离为1， 所以直线满足条件，即直线的方程可能为， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 故直线的方程为或. 18．(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆过已知点以及向量数量积的条件，结合椭圆中的关系，求解椭圆的标准方程即可. （2）先分析特殊情况（直线与轴垂直），再设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合线段长度的比例关系建立方程，求解直线的斜率，进而得到直线方程. 【详解】（1）根据题意作图如下： 设，椭圆过点， 所以有，， 又，则， 所以，则，所以， 整理得，因为， 所以解得， 故椭圆的方程为. （2）根据题意作图如下： 若，则. 当直线与轴垂直时，其方程为， 则，，不满足题意. 设直线的方程为，代入椭圆方程得， 整理得，即. 设，则①，②. 因为，在直线上，且在的两侧， 所以，则，所以③. 由①③解得，代入②， 得解得， 所以直线的方程为，即或， 综上，直线的方程是或. 19．(1)； (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，解得， 又点在双曲线上，则，解得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则， 由消去并整理得， ，解得且，， 当直线与轴不重合时，，直线：， 令，得 ，此时直线过定点， 当直线与轴重合时，直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点，该定点坐标为. 答案第6页，共7页 高二数学 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $