第一章因式分解期末通关复习卷2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第一章因式分解期末通关复习卷 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 3．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 7．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 9．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 10．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 12．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 二、填空题 13．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 14．分解因式： ． 15．若，则的值是 ． 16．若多项式因式分解，有一个因式是，则m的值为 ． 17．给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是 ．（填序号） 18．因式分解： ． 三、解答题 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 23．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 24．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查因式分解的概念，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项是整式的乘法，不是因式分解； C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； D选项是因式分解； 故选D． 2．A 【分析】本题考查了因式分解，利用提多项式公因式是解题关键． 通过将表示为，化简原式后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解：， . 另一个因式是. 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 6．D 【分析】本题考查因式分解,正确提取公因式是解题的关键．先提取公因数，再提取公因数，计算即可得答案． 【详解】解：原式 ． 故选D． 7．C 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， 又∵ ，， ∴原式 ． 根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉， 因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”． 故选：D． 10．C 【分析】此题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式因式分解，通过因式分解的提公因式法和公式法（如完全平方公式）逐一验证各选项，只有C选项正确使用完全平方公式 【详解】A、， A错误； B、， B错误； C、， C正确； D、， D错误； 故选：C 11．A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 12．B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 13．④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 14． 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 16． 【分析】该题考查了因式分解，设另一个因式为，根据是多项式的一个因式，计算，由此建立方程求解． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， 设另一个因式为， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．② 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】①和的公因式是，不符合题意； ②和没有公因式，符合题意； ③和的公因式是，不符合题意； ④和的公因式是5，不符合题意； 故答案为：②． 18． 【分析】本题考查了因式分解，观察表达式，先提取公因式，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （3）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （4）先将化为，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 20．(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 21．(1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查提取公因式法的因式分解，确定公因式是解题的关键． （1）先确定公因式为后，提取公因式即可； （2）先确定公因式为后，提取公因式即可； （3）先确定公因式为后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 22．(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．(1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $