精品解析：安徽省合肥市清华附中合肥学校2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷

清华附中合肥学校C23级期中调研 数学 2025.11 一、选择题（本大题共10小题，每小题A分，共40分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、不是二次函数，故C错误； D、是反比例函数，故D错误； 故选：B． 2. 将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解∶∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（9，6）， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，得到新抛物线的顶点坐标是解题的关键． 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 4. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小， ， 解得：．   故选：C ． 5. 已知函数y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（　　） A. 当m=0时，y随x的增大而增大 B. 当m=时，函数图象的顶点坐标是（，﹣） C. 当m=﹣1时，若x＜，则y随x的增大而减小 D. 无论m取何值，函数图象都经过同一个点 【答案】C 【解析】 【分析】将选项的条件代入题干，再根据二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图像上点的坐标特征进行解答. 【详解】①当m=0时，函数y=x-1,在定义域内为增函数，y随x的增大而增大，正确. ②当m=时，函数y=x2-x=（x-）2﹣,所以函数图象的顶点坐标是（，﹣），正确. ③当m=﹣1时，函数y=-2x2+5x-3,对称轴为x=，开口向下，当x＜，y随x的增大而增大.错误. ④当x=1时，y=0.说明无论m取何值，函数图像都经过同一个点（1,0），正确. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，顶点坐标，以及二次函数图象上点的坐标特征,牢记相关知识是解题的关键. 6. 二次函数与一次函数的图象交于点和点，要使，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先画出两函数的大致图象，然后利用函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，当时，y1＞y2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 7. 如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键． 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，相似三角形的知识，根据平行四边形的性质，得到，则，根据，得到，根据，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用“边角边”证明，可得，，由四边形内角和定理可证，可得； ②通过证明可得； ③通过证明可得，通过证明可得，即可得到； ④通过证明，可得，代入相应的值即可求得． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理、相似三角形的判定与性质、等边对等角、勾股定理，解题关键是灵活运用相关知识点解决问题． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解． 【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积． 14. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为________． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的图像与系数的关系，熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上，将与联立成方程组，即可求解； （2）根据题意可知，方程，在内存在两个不相等的实数根，根据一元二次方程根即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数的解析式为， 根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上， 联立， 解得：， 此二次函数上的“相反点”为， 故答案为：； （2）在的范围内，此二次函数图像上存在两个“相反点”， 方程，即在内存在两个不相等的实数根， ， 解得：， 解方程可得：，， ，且， ， 即， 解得：， 此时，满足要求， 的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 已知 ，且，求的值 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 16. 如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： （1）求拋物线的对称轴； （2）写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据对称轴可求出当时，；当时，，然后数形结合求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：对称轴为直线 ， 当时，；当时， 的解集为或 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质找到点的对应点，再连接即可求作； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形，三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 18. 如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． （1）吗？说明理由； （2）如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 【答案】（1） ，理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ； （2）这栋楼高为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据由光的反射定律，反射角等于入射角，即可求解； （2）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， ． ． 答：这栋楼高为． 19. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】（1）该抛物线对应的函数表达式为； （2） 小罗此次射门不能射入球门内， 理由：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数和反比例函数的图像交于点与点B． （1）a的值为_______；反比例函数关系式_______． （2）若，结合图像直接写出x的取值范围________． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，根据图象即可求解； （3）设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可． 【小问1详解】 解；将代入中，得， 解得； ∴ 将代入中，得， ∴反比例函数关系式． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由， 解得 或， 所以，， 观察图象，若，则或； 【小问3详解】 解：设一次函数与轴交于点， 如图，连接、，  ∴． 22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． （1）结合平行四边形性质推得，后可证，再由相似三角形性质即可得证； （2）先由平行四边形性质中的推得，结合相似三角形性质推得，再证，由相似三角形性质即可求出，从而得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平行四边形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得， ． 23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，，或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：直线，当时，． 当时，． ，， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴， ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 此时； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1， 根据题意得：，， ∴， ， ， 解得：，， ②若点P在x轴下方，如图2， ， 解得：，（舍） 的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清华附中合肥学校C23级期中调研 数学 2025.11 一、选择题（本大题共10小题，每小题A分，共40分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（　　） A. 当m=0时，y随x的增大而增大 B. 当m=时，函数图象的顶点坐标是（，﹣） C. 当m=﹣1时，若x＜，则y随x的增大而减小 D. 无论m取何值，函数图象都经过同一个点 6. 二次函数与一次函数的图象交于点和点，要使，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________． 12. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 13. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 14. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题： （1）若，则此二次函数上的“相反点”为________． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 已知 ，且，求的值 16. 如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： （1）求拋物线的对称轴； （2）写出不等式的解集． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 18. 如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． （1）吗？说明理由； （2）如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 19. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 21. 如图，一次函数和反比例函数的图像交于点与点B． （1）a的值为_______；反比例函数关系式_______． （2）若，结合图像直接写出x的取值范围________． （3）连接，求的面积． 22. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $