精品解析：山东省泰安第十九中学2025-2026学年高一上学期12月份阶段性检测数学试卷

山东省泰安第十九中学2025-2026学年12月份阶段性检测高一上 一、单选题 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，得，求出根的判别式为0，由此能求出集合中元素的个数． 【详解】解：集合，， 把代入，得， ， 集合中元素的个数为1． 故选：． 【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象过点 C. 是单调函数 D. 无最值 【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数及对数运算进行估值比较即可. 【详解】由，， ， 所以. 故选：C. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则最小值为3 D. 若且，则最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得. 所以函数. 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为.所以选项A不正确. 对于B，因为，所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为2.所以选项B正确. 对于C，若且，则. 当且仅当，即时，等号成立. 所以最小值为3.所以选项C正确. 对于D，若且，则. 所以, 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以，即最小值为. 所以选项D正确. 故选：BCD 10. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD； 【详解】， 令，可得：， 所以， 令，可得：， 所以，A正确； 令，可得：， 即，偶函数，B正确； 由，可得：， 由函数是偶函数及已知单调性可得：， 易知恒成立，由，可得：；C正确； 由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误； 故选：ABC 11. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 三、填空题 12. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 13. 已知实数满足，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题可得及，从而得.构造函数，利用函数单调性可得即可求解. 【详解】由题可得， 又，，即， 所以. 因为函数在上单调递增， 所以，则， 所以. 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查对数运算、指对互化及函数的单调性，解题的关键是通过将方程等价变形转化为，再构造函数，利用函数单调性即可求解. 14. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可. 【详解】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知． （1）若，求的取值范围． （2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知集合A是集合B的子集，由此可求得实数的取值范围． （2）将已知条件转化为集合A与集合B的关系，讨论分析可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以集合A是集合B的子集，所以，解得：. 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集. 当，即时，，满足集合B是集合A的真子集； 当，即时，，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是：． 16. （1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质求解； （2）易得，，再利用换底公式求解. 【详解】解：（1） ； （2）∵，，∴，， ∴ . 17. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2） （3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. 【小问3详解】 当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． （1）求a的值，判断函数的单调性； （2）证明为奇函数； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1），在R上单调递增，证明如下： 由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2）证明如下： ，函数定义域为R， 则， ∴为奇函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安第十九中学2025-2026学年12月份阶段性检测高一上 一、单选题 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象过点 C. 是单调函数 D. 无最值 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 函数的最小值为2 C. 若且，则最小值为3 D. 若且，则最小值为 10. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 存在，使得 11. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线对称 三、填空题 12. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 13. 已知实数满足，，则______. 14. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 四、解答题 15. 已知． （1）若，求的取值范围． （2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16. （1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 17. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． （1）求a的值，判断函数的单调性； （2）证明为奇函数； （3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $