河北冀州中学2026届高三考前模拟预测数学试题

高三压轴卷参考答案 1-8.ACBC BAAB 9.AD 10.ABD 11.ACD 12.-113.260(260≤x≤270均可) 14.9 15(1)当n=1时，4=S=x1+×1+t=1+t; …2 当nm2时，a=8--合r+*小引a-+a-a4 因为{a}是等差数列，a需满足通项a=n,故1+t=1,得t=0. 因此通项公式为：a=n...·..· (2)由a=,所求前90项和0=∑2sm2n.. .7 利用诱导公式：sin(90°-a)=cosa,结合同角三角函数关系sin2a+cos2u=1,..9 分组得：T0=(sin21+sin289)+(sin22°+sin288)++sin244+sin246+sin245°+sin290 =1+1+..+1 +=44++191 .13 16.(1)由题意可知：f(x)=e-x2+(2-a)x,f'(x)=e-2x+(2-a), 因为f(1)=e-2+2-a=0,解得a=e,... ….2 则f(x)=e-x2+(2-e)x,f'(x)=e-2x+(2-e), 令t(x)=e-2x+(2-e),则t'(x)=e-2, 令t(x)<0,解得x<ln2;令t'(x)>0,解得x>ln2; 可知t(x)在(-o,ln2)上单调递减，在(n2,+∞)上单调递增，.....4 则t(x)的最小值为t(n2),且t(ln2)<t(1)=0, 当x趋近于-0或+o时，t(x)趋近于+o, 答案第 可知t(x)在定义域R内有2个零点∈（仁o,h2)和1， 当x∈(n,x)UL,+o)时，"(x)>0,当x∈(x1)时，f'(x)<0, 可知f(x)在(-0，)，(1，+∞)内单调递增，在(，1)内单调递减，.....6 所以f(x)在x=1处取极小值，极小值为f(1)=1....7 (2)解法1：由于不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立， 则f(1)=e+1-a21,解得a≤e,..........9 下证：当a≤e时，f(x)≥1， 若a≤e,则e*-x2+(2-a)x≥e-x2+亿-ex,.......12 令m(x)=e*-x+(2-e)x,由(1)可知，n(x)在1，+o)上单调递增， 则m(x)≥()=1，则f(x)≥(x)≥m()=1, 所以a的取值范围为(-o,e]: .......15 解法2：令j)=e-x2+(2-ar≥1，x≥1，则a-2≤e-x-， 设g国-兰21，则o)）。-+--, 设G(x)=c-x-1,x≥1，则G(x)=e*-1≥e-1>0,...........12 可知G(x)在[1，+m)上单调递增，则G(x)≥G(1)=e-2>0, 即g(x)20,可知g(x)在[1，+o)上单调递增，则8(x)mm=8(4)=e-2,...14 可得a≤e,所以a的取值范围为(-m,e];... 解法3：因为f(x)=e-x2+(2-a)x,x≥1，则f'(x)=e-2x+2-a,..9 设n(x)=e-2x+2-a,x≥1，则n(x)=-2≥e-2>0,....10 1页，共3页 可知n(x)在[，+∞)上单调递增，即f'(x)在[1，+∞)上单调递增， 则f(x)≥f'(I)=e-a,且当x趋近于+o时，f'(x)趋近于+o, 当f(I)<0,即a>e时，则f'(x)在1，+)内存在零点x, 若1≤x<x,则(x)<0,可知f(x)在[1，x)内单调递减， 可得f(:)<f()=1,不合题意.....… 当f(1)≥0，即a≤e时，则f'(x)≥0，可知f(x)在[1，+o)上单调递增， 则f(x)≥f()=1,符合题意； ………...14 综上所述：a的取值范围为(-o,e]: ......15 e=c=3 [a=√6 17.(1)由题意，得 a 3 解得b=2, 2b=4 2+b2=c2 c=v2 故椭圆方程为+少=1....… ....5 64 (2)当直线1斜率不存在时，直线1的方程为x=0, 此时点M关于x轴的对称点即为点N,显然满足题意；·..· .8 当直线1斜率存在时，设直线I的方程为y=c+1,点M(5,),点N(2,), y=r+1 联立 ，整理得(3k2+2)x2+6x-9=0, -=1 64 6k 9 则+3= 3欢2+25= 3h2+2’ ··…...10 而直线PM的斜率为十手，直线PN的斜率为-上 +4” 由题意有w+w=0,即片+上=0，则+++0， x1+4x2+4 x+4+4 整理得25+(4k+1)(:+x)+8=0,...· ··.13 (2（8=0，解得子 则直线1的方程为 =2x+1. ...14 综上所述，直线1的方程为x=0或 2x-3y+3=0......15 18.(1)平均时间元-0（25×20+75x14+12510+175x6)=77.4 (2)(1)证明：由题意知，P(x>)=1-P(x≤)=e,.6 分别记已经等待s分钟和已经等待5+t分钟为事件A和事件B, 则P(K>5+rK>)上PBH)上P)PX>+ix> P(X>5+t) P(A) P(X>s) P(X>s) =e0=P(X>t)...........10 e10 所以对于任意的s,t>0,有P(X>5+tX>s)=P(X>t) (ii)由(i)知， PW>10)=P(X>5+10X>5)=P(X>10)=1-P(X≤10)=e1....12 P(0≤Y≤10)=1-PY>10)=1-e1, ......14 所以费用的期望是2×-e1)+20×e1=2+18 （元).... .......17 19.(1)如图， 沿圆锥PO的母线PA,将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形 B PAA', 其中B为AA的中点，A与A在圆锥中是同一点. 因为轨迹工在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形PA4'上连接A与A两点的曲线 答案第2页，共3页 又L是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹L是侧面展开图扇形PAA'上连接A与A两点的线段，即线段A4'. 由于AB=2,所以A4的长度为2π，又PA=3,所以∠APM=2ad. 所以，在等腰三角形PA4中，A4'=33,即L的长度为35.........5 (2)如图，在底面圆O中，过点O作OE⊥AB交圆O于点E, 由于PO⊥平面ABE,OA,OEC平面ABE,故PO⊥OE,PO⊥OA, 则OA,OE,OP两两垂直， 如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 于是A(1,0,0),P0,0,2②)，0(cos6,sin6,0),设M(x,y,=),.. 则pM=(x,yz-2√②)，P=(cos6,sin6,-22, 2c0s8 x= 3-c0s0 2sine 2cos0 2sine 22-22cos0 于是{y= 3-cose ， 则M 3-cosθ'3-cos8 3-cos0 2v2-2v2cos e 3-cose 于是AM= 3(cos6-1) 2sine 2√2(1-cos0) 3-cos03-c0s6’3-c0s8 于是令元=(（2W2,0,3,则AM元=0；.......10 答案第3 (3)解法1：由(2)可知，i=(2W2,0,3)是平面u的一个法向量， 设平面MP0的法向量为4=(：)， 由于0p=(0,0,2√2)，0M= 2cose 2sine 22-22cose 3-c0s0'3-c0s0 3-c0sθ 则 h·OP=0 2W2z=0 (4oM=0' 即 2cos日 2sin0 3-c0s61+3cos0%=0 令5=-sin8,y=cos8,与=0， 于是平面MP0的一个法向量为=(-sm6,cos6,0)，....14 设平面a与平面MPO所成角为a&, i.n 于是cosx √17x1 171 D平面a与平面MPo所成角的余弦值的取值范围为Q294y ……...17 解法2：由(2)可知，平面α的法向量i=(2W2,0,3), 由于Q在底面圆周上运动， 则平面POM即平面PO0的法向量可以是底面上任意方向的向量，....12 如图，在平面PAB内，设PBOL=F,过点O作ON1AF,则ON‖i, 设平面P0与平面a所成的角为0，则△01≤8s号， 易知tan∠WOA=,3 则cos∠N0A=234 17 2W34 综上，cos8∈ 0 17 .....17 2W34 即平面与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为O, 17 页，共3页2026%。,”.E开 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 2 .已知z 则1z= A.√2 B.5 C.2 D.5 2.已知集合A={-1,0,1,2),B=x|x2-3x+2≤0)，则A∩B= A.- B.( C.0,2 D.{0,2) 3。Q+2x的展开式中x2的系数为 A.20 B.40 C.60 D.80 4.设a,beR,则“3°>30”是“a2>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D。既不充分也不必要条件 5.设f(x)=(a+b)cos2x+(a-b)sin2x,若{fx)xeR}={2},则（) A.a=1且b=1 B.a=2且b=0 C.a=0且b=2 D.a=1且b=-1 6.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用长×宽表示），其中长宽之比均为3：2， 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位： 288×192 240×1G0 102×128 14X96 96×61 cm) 根据上表。可以判断五种规格国旗的 A周长可以构成等差数列 B.周长构成等比数列 C.面积构成等差数列 D.面积构成等比数列 第1 亿双曲线C:答尔=1（Q>0,b>0)的左、右焦点分别为R、,0为坐标原点 点P是C上一点，1K3HPR2OP,则C的离6率为 A.1+V2 B.1+5 C.3 D.1+V5 8.己知函数f)=e+x2-x,则满足f(m)<fm+2)的m的取值范围是 A.(0,+o) 8.(+四) C.(-1,+o) D.(o,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f因=0s+孕，则 A.x)的最小正周期为2玩 C.f化+孕为偶函数 D.)的图象关于直线x=匹对称 4 10.下列说法正确的是( A.随机事件A,B相互独立的充要条件是PCB)=[1一P(A]·PB) B.设x为随机变量，则B(=D()+[B☒)]？ C.若x~B(3,),则B)=1,D(☒含2 D.若X~N1,2内.记函数f树=PK≤x刘，xER,则f()的图象关于点(1，月对称 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=3,2+2=9,则下列说法正确的是 A△ABC为钝角三角形 B2AB·CA=CB·CA C,若M为边BC的中点，则|AM的取值范图为合：》 D:sin A3sin Csin B 页共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线y=3x+b是曲线y=2x+nx的一条切线，则b= 13.已知等差数列{a)的前n项和为Sn,首项a=20,S%为S,的最大值，则S%的值可 以为 ,(写出符合条件的一个值即可) 14.已知圆0：x2+y2=1,A是圆0上的一动点，B(2,0).若存在一个半径为r的圆与直 线AB相切于点B,且与圆x2+y2=16内切，则r的最小值为 四、解答题：本题共5小愿，共77分。解答应写出说明、明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) 已知等差数列(o,)的前n项和S。=r+方n十(u为参数)。 (1)求数列(an)的通项公式； (2)求数列(sin2(a.))的前90项和. 注意：这里(an)表示角度，sim2(an)°=[sin(an)? 16.(15分) 已知函数f)=e-x+(2-a)x. (1)若f(x)在x=1时取极值，求a的值和f()的极小值： (2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围. 17.(15分) 已知椭圆女+子 存+京=1a>b>0)的离心率为5 ,短轴长为4. (I)求椭圆的方程： (Ⅱ)过点(O,)的直线I与椭圆交于M,N两点，若点P(-4,0),且点M关于x轴 的对称点在直线PN上，求直线I的方程. 筑 18.(17分) 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不 稳定，为了研究乘客的等待时间，随机记录了S0名乘客的等待时间，数据整理如下表 (单位：分钟)： 等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代丧）： (2)记乘客答待时间为X,随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为 P(X≤x)=1一c市(x≥0)，其中e是自然对数的底数。 (i)证明：对于任意的s,>0,有P(X>s十|X>s)=P(X>): ()如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y(单位：分钟).他 利用人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元）：若>10，则 打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值， 19.(17分) 如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2,其中O为底面圆心，母线PA=3,动点M从 A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L, (1)求L长度的最小值： (2)若点0在圆0上，且哑=，2P西（日是亚所对的圆心角，0≤9≤2m)， 3-c090 证明：存在非零向量n,使得MLn恒成立1 (3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为a,求平面MPO与a夹 角余弦值的取值范圆， 2页共2页