精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程有实数根，则的值可以是（    ） A. B. 1.5 C. 2 D. 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 必过点 C. 与轴一定有交点 D. 图象一定经过第一、二、四象限 8. 如图，是的直径，是弦，点是劣弧（含端点）上任意一点，若，则的长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 13 9. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标，则_____． 13. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 14. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 15. 如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）． （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的； （3）求出（2）中的面积． 18. 已知关于x 的方程：． （1）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为，求 m的值及方程的另一个根． 19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m． （1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式； （2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ （3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 23. 如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 2. 下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念判断即可． 【详解】解：选项B中的图形，能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转后能够与原来的图形重合，故它是中心对称图形；其它三个选项中的图形，不能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转后不能与原来的图形重合，故它们不是中心对称图形； 故选：B． 3. 将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为，即， 故选：C． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 5. 若方程有实数根，则的值可以是（    ） A. B. 1.5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当时，该方程有实数根．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式，列式求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 则的值可以是． 故选：A． 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 必过点 C. 与轴一定有交点 D. 图象一定经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐标，对称轴以及开口方向等．根据二次函数的性质及与坐标轴的交点问题依次判断即可． 【详解】解：A、二次函数中，二次项系数为，开口向上，故A错误； B、将代入函数，，不过点，故B错误； C、判别式，与轴一定有交点，故C正确； D、开口向上，对称轴和图象与y轴交点随变化，不一定经过第一、二、四象限，故D错误； 故选：C． 8. 如图，是的直径，是弦，点是劣弧（含端点）上任意一点，若，则的长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用勾股定理得到AC=5，则5≤AP≤13，然后对各选项进行判断． 【详解】解：连接AC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴, ∵点P是劣弧（含端点）上任意一点， ∴AC≤AP≤AB， 即5≤AP≤13． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 9. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,由题意可证明，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得点的坐标． 【详解】如图，连接，因为轴， 绕点顺时针旋转得到， 所以， , 故答案为B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到是解题的关键． 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点， 解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点， 故的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15. 如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了用公式法，配方法解一元二次方程，熟记公式法及配方的规则是解一元二次方程的关键． （1）直接用公式法求解即可； （2）将一元二次方程化为一般形式，再用配方法求解． 【小问1详解】 解：， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的； （3）求出（2）中的面积． 【答案】（1） 为所求 （2） 则即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据顺时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积解答即可． 本题考查了坐标的对称，旋转，分割法求面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，得，绕原点O顺时针旋转得到，新坐标分别为． 【小问3详解】 解：的面积 18. 已知关于x 的方程：． （1）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为，求 m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：关于x 的方程：， ，，， ∴， ∴不论为何值，该方程总有实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， ∴， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴方程的另一个根为． 19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 【答案】 （1）证明：连接OE． ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB． ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠ACB． ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEA＝90° ∴AC是⊙O的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证． （2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求． 【详解】（1）略 （2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H， ∵OH⊥BF， ． ∴四边形OECH为矩形， ∴OH＝CE． ∵，BF＝6， ∴BH＝3． 在Rt△BHO中，OB＝5， ∴OH＝＝4， ∴CE＝4． 【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m． （1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式； （2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ （3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】（1） （2）水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外 （3）调整后水管的最大长度米 【解析】 【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，将代入得，求出的值即可； (2)令，得，，解得(舍)或，可得直径至少为(米)； (3)将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，设平移后的抛物线的解析式为∶，将代入得求出的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令求出即可． 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 令，得，， 解得(舍)或， (米)， 水池的直径至少要6米才能使珞出的水流不落到池外． 【小问3详解】 将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点， 设平移后的抛物线的解析式为∶， 将代入得，， 解得， 当时，． 调整后水管的最大长度米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 23. 如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）结论仍然成立， 证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）分点落在上，点落在延长线上，两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，当点落在上时，过点G作于H， ∵F落在边上， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H， 同理得：， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $