福建省福州市马尾一中等六校2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025一2026学年第一学期高二年段期中六校联考 数学试卷 (满分：150分，完卷时间：120分钟) 命题校：马尾第一中学 班级 姓名」 座号 准考证号 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知 A(1,3),B(3,-1),则以AB为直径的圆的方程为( A.(x-2)2+(y-1)2=20 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x+1)2+y-2)2=20 2.直线：3x-4y+5=0的一个方向向量的坐标为() A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,3) D.(3,4) 3.若圆C:x2+y2-（m-2)x+(l-2)y+m2-31+2=0过坐标原点，则实数m的值 ( ) A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.1 4.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，点M为棱AB的中点，点N为上底面AB,C的中心 用空间的一组基{CA,CB,CC}表示MN,则() A.MN=1C4-LCB+cC B.次=c+cB+cC c.cA+CB+CC D.MN--1C4-LCB+CC 6 6 6 5.圆0：x2+y2-6x+16y-48=0与圆0：x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数 为() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.已知圆C:-少+y=1和直线1：y=-5,则“k>5”是“直线与圆c有公共 3 点”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.在△4BC中，A1,1),B(-3,-5),若直线：2x+y+6=0为∠ACB的平分线，则直线AC 的方程为() A.x=1B.6.x+7y-13=0C.2x+3y-5=0D.x-2y+1=0 8.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P为底面ABCD内一动点，且PB1·PD1= 3,则线段PB的长度的最大值为() A.② B.5-1 c.√2-1 D.V2+1 2 2 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于直线：mx+y-2=0,下列说法错误的是() A.1的斜率一定存在 B.1恒过定点(2,0) C.m=√3时，1的倾斜角为60° D.m=-2时，1不经过第二象限 10.已知直线1：kx-y+k=0,圆C:x2+y2-6x+5=0,点P(x,yo)为圆C上一动点，则 下列说法正确的是( ) A. 兰的最大值为25 B.x。+y的最大值为5 C.x。+y的最大值为3+2W2 D.圆心C到直线l的距离最大为4 11.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，P为线段AC的中点，Q为线段BC1上的动点 (不包括端点)，则() A.存在点Q,使得PQ/1BD B.存在点Q,使得PO⊥平面AB,C,D D C.三棱锥Q-APD的体积是定值 D.二面角0-AC-D的余弦值为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,-1,3),b=0m,2,1),若(a+b)1,则m=一 Q 13.二面角a-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别 C 在半平面C,B内，AC⊥I,BD⊥l,且AB=AC=2,BD=4 B D B 则CD的长一， A 14.对给定的两点A(x1y)和B(x2y2),用以下方式定义“直角距离”： d(A,B)=-x+以-.已知M(3,5),点N在圆C:x2+y2+2x+4y=0上运动，若 点P满足d(M,P)=2,则PW的最大值为一· 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，AA⊥平面ABCD, AB⊥AD,AB/IDC,AB=AA=2,AD=DC=1.M,N分别为DD,BC1的中点， A (1)求证：DN∥平面CBM: B (2)求点B到平面CBM的距离. 16.(15分)已知直线1：x+(2m-2)y=0,12:2x+y-2=0,且满足☑1⊥12，垂足为 C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线I与x轴交于点A,直线1，与x轴交于点B,求△ABC的外接圆方程. 17.（15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，四边形AAB,B是菱形，AB⊥AC,平面 AAB,B⊥平面ABC. (1)证明：A,B⊥B,C: (2)已知∠AB盟=行，AB=AC=2,平面4马G与平面4C的 交线为1，在1上是否存在点P,使直线48与平面ABP所成角的正弦值为4？若存 在，求线段B,P的长度；若不存在，试说明理由， 18.(17分)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义： 平面内，到两个定点的距离之比值为常数（入>0,1≠1）的点的轨迹是圆，我们称之 为阿波罗尼斯圆.已知点P到A(0,-2)的距离是点P到B(0,1)的距离的2倍 (1)求点P的轨迹方程： (2)过点B作直线l,交轨迹P于M,N两点，记△MN的面积为S(其中T为轨迹P 的中心)，求S的最大值，以及取最大值时的直线1方程 (3)设轨迹P与y轴正半轴的交点为C,直线OM,CN相交于点Q,试证明点Q在定 直线上，求出该直线方程， 19.(17分)在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120°，将 △ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点， (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC: (ii)求球o的半径； (2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值. 2025—2026学年第一学期高二年段期中六校联考 数学 试 卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校：马尾第一中学　 班级 姓名 座号 准考证号 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1-4.BCDD 5-8.BAAD 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．BCD 10.AC 11.BD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 4 14. 四．解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) （1）取中点，连接，，1分 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，3分 故，4分 又平面，平面， 故平面； 6分 （平面，平面少写一个扣1分）， （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、，则有、、，8分 设平面的法向量分别为， 则有，， 即，10分 由，则有，12分 即点到平面的距离为.13分 16. (本小题15分) （1）解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 4分 （学生还可以利用计算也同样对） 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点．8分 （2）解：由直线：，直线：，可得，，10分 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，13分 所以的外接圆方程是．15分（用一般式做为答案也同样正确） 17. (本小题15分) （1）证明：因为平面平面，平面平面，1分 ， 平面，所以平面，2分 平面，所以，3分 因为四边形是菱形，所以，4分 又因为，、平面，所以平面，5分 因为平面，所以．6分 （2）解：取中点，连接， 因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 由菱形的几何性质可知，，则也为等边三角形， 因为为的中点，则，，，8分(取的中点也可以建系) 由（1）知，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，9分 则、、、、，， 因为，平面，平面，所以平面，10分 因为平面平面，平面，所以，11分 由（1）知平面，设，则，． 设平面的法向量，则， 取，可得，13分 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，14分（直接写也对） 因此，存在点，线段的长为．15分 18. (本小题17分) （1）设点，由题意可得， 即，化简得，3分 （2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，4分 则圆心到直线的距离，5分 所以，6分 则，7分 设，因为，则，即，8分 所以，， 因为，所以，9分 此时，，即，所以直线的方程为：. 10分 （3），设， 联立消得，11分 则，13分 所以直线的方程为，直线的方程为，14分 联立解得,15分 则，16分 所以，所以点在定直线上. 17分 19. (本小题17分) (1)在中，由，得， 所以，且，即，2分 （i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面；4分 （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则，5分 所以，7分 解得，所以球O的半径为；9分 （2） 在平面中，过作于，在平面中，过作， 因平面,则平面.10分 则由（1），11分 设，以G为原点，分别为轴和轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以，12分 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得；13分 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得，14分 所以， 15分 令，则由得，则， 于是 ，16分 当且仅当即时等号成立，所以二面角余弦值的最小值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $