精品解析：山东省滨州市滨州经济技术开发区2025-2026学年上学期期中教学质量调研八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试八年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ） A. B. C. D. 5. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 6. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，，则的值为___________． 10. 已知一个多项式与单项式的积为，则这个多项式为__________． 11. 已知，，则__________． 12. 已知，则的值为__________． 13. 已知实数a，b满足，则______． 14. 在分式，，，中，最简分式有________个. 15. 将多项式因式分解为，若取，，则有，，其中，，分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码．已知多项式，当，时，用上述方法生成的密码是__________． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于______． 三、解答题：（共8小题，共72分） 17. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 若的积中不含项与项，求、的值； 22. 如图是年月的月历，现用如图所示的“”字形框出月历中的个数（图中阴影部分）． （1）将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，通过计算后你能发现什么规律？ （2）请用整式的运算对你发现的规律加以证明． 23. 数形结合是重要的数学思想和方法，许多等式可以用图形解释．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 【初步应用】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：___________；方法2： ___________； （2）请写出代数式这三个代数式之间的等量关系：___________ 【拓展延伸】 （3）若，则的值为___________ 【类比迁移】 （4）如图③，它验证的等式为___________ 24. 【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 （1）容器中的水          （填“能”或“不能”）倒完； （2）若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； （3）当，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试八年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式． 根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式． 【详解】解：，其中是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，因为是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式． 综上，、、是分式，共3个， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 3. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的有意义的条件，根据分式有意义的条件为分母不等于0得出，即可得解． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4). 故选B. 5. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 6. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】∵ = = = = =， ∴出现错误是在乙和丁， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，，则的值为___________． 【答案】45 【解析】 【分析】把a2m+n化为（am）2•an，再利用am=3，an=5计算求解． 【详解】解：∵am=3，an=5， ∴a2m+n=（am）2•an=9×5=45， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是把a2m+n化为（am）2•an求解． 10. 已知一个多项式与单项式的积为，则这个多项式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，弄清因式与积之间的关系并列出等式是解题的关键． 根据题意，所求多项式等于已知积除以给定的单项式，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：所求的多项式 ， 故答案为：． 11. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键． 利用完全平方公式，即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式得，， ， 将两式相减得， ， 即， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则的值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】该题考查了分式的混合运算，代数式求值，首先利用分式乘方和乘除法法则简化已知方程，得到，然后通过平方运算求的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 13. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 14. 在分式，，，中，最简分式有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】本题只要看各选项能不能再进行约分，不能继续约分的即为最简分式． 【详解】解：分式，，再不能约分化简，为最简分式． 分式：=，不符合题意. 【点睛】判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子分母是不是有公因式． 15. 将多项式因式分解为，若取，，则有，，其中，，分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码．已知多项式，当，时，用上述方法生成的密码是__________． 【答案】1525425 【解析】 【分析】本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键．将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】解：多项式可分解为， 其中可进一步分解为， 因此， 当时， ， ， ， 因式码为15，25，425，按从小到大的顺序排列为15，25，425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由“杨辉三角”得出，再将代入的展开式，即可求解． 【详解】解：由“杨辉三角”可得， 当时， 又， ， ， ， 故答案为：2． 三、解答题：（共8小题，共72分） 17. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，-1． 【解析】 【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可． 【详解】解： = = = = = = 在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 当x=-2时，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键． （1）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 21. 若的积中不含项与项，求、的值； 【答案】 【解析】 【分析】先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再令x与x3项的系数为0，即可得p、q的值. 【详解】解： ， ∵积中不含项与项， ，， 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 22. 如图是年月的月历，现用如图所示的“”字形框出月历中的个数（图中阴影部分）． （1）将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，通过计算后你能发现什么规律？ （2）请用整式的运算对你发现的规律加以证明． 【答案】（1） 计算图中两个“”字形； ， 发现规律：将中间数字的上、下两数相乘，左上、右下两数相乘，再相减，结果都等于 15； （2） 证明：设“”字形框架中位置上的数为， 则：， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平方差公式以及有理数的运算，正确地表示出日历中的五个数，是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则，进行计算即可； （2）根据月历上的数字规律，用含的式子表示出，再根据整式的乘法法则，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 数形结合是重要的数学思想和方法，许多等式可以用图形解释．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． 【初步应用】 （1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：___________；方法2： ___________； （2）请写出代数式这三个代数式之间的等量关系：___________ 【拓展延伸】 （3）若，则的值为___________ 【类比迁移】 （4）如图③，它验证的等式为___________ 【答案】（1）； （2） （3）52 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，利用图形的面积和边长的关系建立等量关系是解题的关键． （1）方法1：阴影部分面积为小正方形的面积；方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积，即可解答； （2）利用（1）中两种不同的方法表示的是同一个图形的面积，即可得出答案； （3）根据绝对值和完全平方的非负性得到，，结合（2）中得到的等量关系即可求解； （4）分别用两种方法表示出长方形的面积，根据面积相等即可得出等式． 【小问1详解】 解：方法1： 由图②可得，阴影部分的面积是边长为的正方形的面积， 阴影部分的面积为； 方法2： 由图②可得，拼成的正方形边长为，每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据阴影部分面积相等可得，． 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ，， ，， ． 故答案为：52． 【小问4详解】 解：大长方形的面积为， 各个小长方形的面积之和为， 根据面积相等可得，， 验证的等式为． 故答案为：． 24. 【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 （1）容器中的水          （填“能”或“不能”）倒完； （2）若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； （3）当，时，求的值． 【答案】（1）不能 （2）此时倒出的总水量为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； 【小问2详解】 解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． 【小问3详解】 解：由题可知：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $