福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

长乐五中2025-2026学年度第一学期期中质量检测 高二年级数学试卷 (卷面分值：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页。答题前，请考生务必将自己 的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在机读卡上及答卷的密封区内。 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用 2B铅笔在机读卡上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦千净后，再选涂其它答案，请保 持机读卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。 3.考试结束后，请将答题纸和机读卡交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项，只 有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1.直线x=tan125°的倾斜角是() A.60° B.90° C.120° D.不存在 2.已知点A(-3,1,-4),B(7,1,0),则线段AB的中点M关于平面Oz对称的点的坐标为() A.(-2,1,-2) B.(2,1,-2) c.(2,-1,-2) D.(2,1,2) 3.如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设OA=a,OB=五， OC=c,若oG可用a,b,c表示为() A 1a+16+1c B.a+26+ .842 882 1-,11- 1-1÷1 8a+45+4 C D. 二a+二b+ 44 4.若点P(2,-1)在圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取值范围是( A（3）a（副 第1页 5.若直线1：x-y-2=0与曲线C:V1-(y-1)2=x-1有两个公共点，则实数k取值范围是() c[2。2 6.已知圆O:x2+y2=4与圆O,:x2+6.x+y2=0相交于点A,B,则四边形AOBO2的面积是() A. 4v2 3 B.2√2 C.42 D. &2 3 7.已知直线1过点P(2,5),且与圆C:x2+y2-6x-4y-3=0交于A,B两点，当△ABC面积最大 时，1的方程为() A.x-3y+13=0或x+7y-37=0 B.x-y+3=0或x+7y-37=0 C.x-y+3=0或x-3y-17=0 D.x-3y-13=0或x-3y-17=0 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，P为棱BB的中点，Q为正方形BBCC内一动 点（含边界），则下列说法中不正确的是() A.存在Q点，使得DQ⊥平面APD B B.若DQ∥平面APD,则动点Q的轨迹是一条线段 D C.当且仅当Q点落在棱CC,上某点处时，三棱锥Q-APD的体积最大 0.若DQ-6 那么Q点的轨迹长度为 B 4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法不正确的是() A.若a∥b,b∥c则a∥c B.直线1：x+y+2-=0恒过定点(1，-2) 第2页 C度线终过点423.80，L,0).则2很，32到7的南高为 D.若{a,b,c是空间的一组基底，则{a+b,b+c,c+a 也是空间的一组基底 10.在正三棱柱ABC-AB,C,中，D为BC的中点，则正确的是() A.AD⊥A,C B.BC1⊥平面AAD C.CC,//平面AAD D.AD//AB 11.如图，平行六面体ABCD-AB,C,D,中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角 都是60°，则() D A.AC=5 A B B.AC,⊥BD C四边形BDDB的面积为 2 D,平行六面体ABCD-AB,C,D,的体积为 A B 2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线ax+2ay+1=0与(a-1)x-(a+1)y-1=0垂直，则a2-a=- 13.已用a=(-1,2,1),b=（-2,-2,4),则6在a方向上的投影向量为 14.若圆0：x-3)2+(y-4)2=25和圆0，：(x-1)2+(y-2)2=2(0<r<5)相切，则r= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2) (I)当c上2W5时，若向量ka-b与c垂直，求实数x和k的值： (Ⅱ)若向量c与向量a,五共面，求实数x的值. 第3页 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC, AB⊥AD,P4=4,AB=AD=BC=2,E为棱BC上的点，且BB=BC. p (1)求证：DE⊥平面PAC; (2)求二面角A-PC-D的余弦值； (3)求点E到平面PCD的距离. B 17.(15分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3),B(3,3)两点. (1)求圆C的方程： (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,O),点Q满足PM=3OM,求点Q的轨迹. 18.(17分)(1)求过点(4-3 且与直线x+2y+1=0垂直的直线1的方程； (2)求过点A(2,-1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线1的方程， (3)己知圆C:x2+y2-2x+y=0,其圆心C在直线y=x上，若过点(-1,1)的直线1与圆C相切，求 直线1的方程. 19.(17分)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线：3x+4y-1=0被圆M截得的弦长为2V3, 且圆心M在直线/的上方. (1)求圆M的方程： (2)设A(0,t),B(0,6-t)(2≤t≤4)，若圆M是△ABC的内切圆，求AC,BC边所在直线的斜 率（用t表示）： (3)在(2)的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值. 第4页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果. 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可. 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C. 3.如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得， 而 . 故选：A 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可. 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B. 5. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出曲线的图象，数形结合可得解. 【详解】直线恒过定点， 由，得到（）， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示： 当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 6.已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由圆－圆可得，直线，即，所以，而，所以四边形的面积是． 故选：C． 7. 已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】如图，易知点在圆内，设，利用基本不等式确定的最大值，求出此时的，结合点线距计算即可求解. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，设的中点为，连接， 设，则 面积， 当且仅当即时，等号成立， 此时，圆心到直线的距离， 故过点的直线斜率一定存在， 设其方程为， 即 由，解得或， 此时直线方程为或. 故选：B 8.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（　　） A. 存在Q点，使得平面 B. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 【答案】A 【详解】选项A，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设（）， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 若平面，则，所以存在，使得， ，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面 A错误； 选项B，分别取中点，连接，，由与，平行且相等得平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 连接，，，所以，同理平面， ，平面，所以平面平面， 当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，B正确； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，， 到平面的距离为，， 时，，当时，d有最大值1， 时，，时，d有最大值， 综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确； 选项D，平面，平面，， 所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线恒过定点 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A对于A选项，当时，，成立，但是与不一定共线，即不一定成立，故A选项错误． 对于B，由直线方程，整理可得， 令，解得，所以直线过定点，故B正确； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：AC 10.在正三棱柱中，D为BC的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故D错误； 故选：BC. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BC正确； 对于C，， 则，显然不成立，故D错误； 故选：BC. 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积. 【详解】，则，故，A错误； ，，，故，B正确； 连接，则，，即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为， D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与垂直，则______． 【答案】12 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故. 13.已用，，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 14.若圆和圆相切，则r=___. 【答案】 【详解】 由已知两圆相内切，，所以，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为2和.（Ⅱ） 【解析】 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以................................................2分 且.......................................................................................................3分 因为向量与垂直, 所以........................................................................................................4分 即 k= -2或........................................................................................................5分 所以实数和的值分别为2和-2 或-2和...................................................6分 (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）..................................................7分 因为,..........................................................................8分 ..........................................................................9分 所以 ..........................................................................12分 所以实数的值为...........................................................................13分 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 16.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3). 【解析】(1)因为平面，平面， 所以，而，.....................................................................................................1分 因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，.....................................................................................2分 则有， ，，，.........................................................................................3分 因为，.....................................4分 所以，而平面， 所以平面；............................................................................................................................5分 (2) 设平面的法向量为， ，.................................................................................................6分 则有，.....................................8分 由（1）可知平面的法向量为， 所以有，............................10分 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；..................11分 (3) 由（2）可知：平面的法向量为， ，所以可得： ，....................................13分 所以点E到平面的距离为...................15分 17. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,................................................................................1分 直线AB的斜率，......................................................................................................................2分 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:........................................................................4分 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心, 所以圆心为.......................................................................................................................................5分 又半径，...................................................................................................................................6分 所以圆的方程为:．.......................................................................................................7分 设，．.................................................................................................................................8分 由，得,.............................................................................................9分 所以即........................................................................................................11分 因为点在圆上，所以，..............................................................................12分 所以，.......................................................................................................................13分 化简整理得的轨迹方程为:，.....................................................................................14分 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．.........................................................................15分 18. （1）求过点且与直线垂直的直线l的方程； （2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程. （3）已知圆，其圆心C在直线上,若过点的直线与圆C相切，求直线的方程． 解：（1）设l的方程为，................................................................................................3分 代入得..............................................................................................................................4分 ∴直线l的方程为..........................................................................................................5分 （2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即；.............................................7分 当直线l不过原点时，设直线l的方程是，........................................................................8分 将点A坐标代入，得，解得，.....................................................................................9分 此时直线l的方程是........................................................................................................10分 综上所述，所求直线l的方程是或. （3）圆的标准方程为：， 所以，圆心为................................................................................................................11分 由圆心在直线上，得． .................................................................................12分 所以，圆的方程为：．.......................................................................13分 由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为：，即，.....................................................14分 由于直线和圆相切，得..................................................................................15分 解得：...............................................................................................................................16分 所以，直线方程为：或．.....................................................................17分 19.已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x+4y﹣1＝0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的上方． （1）求圆M的方程； （2）设A（0，t），B（0，6﹣t）（2≤t≤4），若圆M是△ABC的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率（用t表示）； （3）在（2）的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值． 【解答】解：（1）设圆心M（a，0），......................................................................................................1分 由已知得M到l：3x+4y﹣1＝0的距离 为，∴．......................................................................................................3分 又∵M在l的上方，∴3a﹣1＞0，..............................................................................................................4分 ∴3a﹣1＝5，∴a＝2，.................................................................................................................................5分 故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝4．.................................................................................................................6分 （2）设AC斜率为k1，BC斜率为k2， 则直线AC的方程为y＝k1x+t，直线BC的方程为y＝k2x+t﹣6．.............................................................8分 由于圆M与AC相切，所以，∴k1；.............................................................10分 同理，k2．.........................................................................................................................11分 （3） 联立两条直线方程得C点的横坐标为，.........................................................................12分 ∵|AB|＝t﹣（t﹣6）＝6， ∴.........................................................................................................13分 由（2）得：.........................................................................................................14分 ∵2≤t≤4，∴﹣9≤t2﹣6t≤﹣8，...................................................................................................................15分 ∴，∴， ∴∴Smax＝24，此时t2﹣6t＝﹣8，t＝2或t＝4． 综上：△ABC的面积S的最大值为24，此时t＝2或t＝4．.................................................17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $