精品解析：浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026 学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025学年第一学期九年级期中（数学）试题卷 考试范围：九年级上册；考试时间：120分钟；总分120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 4. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 5. 半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A. B. C. D. 6. 设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 7. 数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，共18分． 11. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 12. 某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是___________． 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为___________ 14. 已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为_______． 15. 如图，在矩形中，，，点，在上，点是射线与射线的交点，若，，则的长为______． 16. 如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，于F． （1）若，则的度数为_______； （2）若的半径为5，，则的长为 _____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次． （1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； （2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 18. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 19. 已知二次函数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当x满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小． 20. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 23. 已知二次函数过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数y值的范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 24. 已知：为的直径，弦垂直平分于，连接、． （1）如图1，求证，为等边三角形． （2）如图2，为弧上一点，连接、、，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，点为、的交点，为延长线上一点，连接交于，连接，若平分，，，求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中（数学）试题卷 考试范围：九年级上册；考试时间：120分钟；总分120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 3. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950． 【详解】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950， 故选：B． 4. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．先根据为的直径得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．由题意和垂径定理得，，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，垂直平分，连接， 由题意得：， ∵垂直平分， ∴，，， 根据勾股定理可得，， ∴． 故选：C． 6. 设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 7. 数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系及数轴上两点的距离，根据点与圆的位置关系得出点A到圆心B的距离范围，再结合数轴上两点间的距离公式列出关于b的不等式，进而求解b的取值范围． 【详解】解：∵点A在内， ∴， ∵点A表示实数6，点B表示实数b， ∴， ∴， ∴， 由得， 由得， ∴， 故选：D． 8. 如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ， ． 故选：A． 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判断与的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 由①知：， ∴，故结论②正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点和在抛物线上，且，， ∴，即到的距离大于到的距离， ∴，故结论③正确； ∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 综上所述，，故结论④正确， ∴正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，共18分． 11. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 12. 某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用三等奖的数量除以奖券的总个数即可． 【详解】解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张， ∴一张奖券中三等奖的概率为． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍， ∴放大后点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 14. 已知抛物线与直线相交于点、，则关于的方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，熟练一元二次方程与函数的关系是解题的关键． 根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一元二次方程的解． 【详解】解：∵ 抛物线与直线相交于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∴关于的方程的解为或． 故答案为：，． 15. 如图，在矩形中，，，点，在上，点是射线与射线的交点，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在上截取，在上截取，连结、，由， 可得，，，，，通过证明，可得，可求出的长，最后由勾股定理可求解． 【详解】如图，在上截取，在上截取，连结、， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 同理，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 16. 如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，于F． （1）若，则的度数为_______； （2）若的半径为5，，则的长为 _____． 【答案】 ①. ##45度 ②. 6 【解析】 【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】解：（1）如图，连接，记，的交点为， ∵， 和都是等腰直角三角形， ∵， ， 故答案为：； （2）如图，延长交于点，连接， 由，得是的中位线，  ， 在中，， 由勾股定理得 ， ， ∵是的直径， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线的性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次． （1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； （2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， 【小问2详解】 解：把黄色区域看作两份，画树状图为： ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为． 4 18. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2）， 如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中线、无刻度直尺作图等知识． （1）根据网格的特点找到的中点D，连接即可； （2）根据网格的特点得到，，证明，得到，则，即可证明点E即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 已知二次函数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当x满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小． 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） 当 时，函数值 随 的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； （1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）通过开口方向以及函数的对称轴即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴在抛物线的左侧函数值  随  的增大而减小， ∴当  时，函数值  随  的增大而减小． 20. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 21. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 23. 已知二次函数过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数y值的范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由在的图象上，可得，则，进而可以得解； （2）依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最大值为8，结合当时，；当时，，进而可以得到当时，； （3）依据题意，由二次函数为，从而抛物线的顶点为，进而当时，；当时，，又，故当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6，从而范围在直线的一边，则当、时，函数有最大值或最小值，从而，求出t即可判断得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数过点． ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数为， ∴当时，y取最大值为8． 又∵当时，；当时，， ∴时，． 【小问3详解】 解：∵二次函数为， ∴抛物线的顶点为． ∴当时，；当时，． ∵， ∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和必大于6． ∴范围在直线的一边． ∴当、时，函数有最大值或最小值 ∴． ∴，， ∴t的值为2或． 24. 已知：为的直径，弦垂直平分于，连接、． （1）如图1，求证，为等边三角形． （2）如图2，为弧上一点，连接、、，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，点为、的交点，为延长线上一点，连接交于，连接，若平分，，，求弦的长． 【答案】 （1）证明：如图1中，连接， 在中，， ，， ， ， 又弦垂直平分于， ， ， ， ， ， 等腰为等边三角形． （2）证明：如图2中，在上取一点使得， 又， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ，即， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可解决问题． （2）如图2中，在上取一点使得，证明，推出，可得结论． （3）如图3中，在上取一点，使得，连接，证明，推出，由，，推出，推出，设，则，，利用勾股定理构建方程求出，证明，推出，推出，推出，，过作角的延长线于，设，，再利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3中，在上取一点，使得，连接， 设，则， 又平分， ， , 四边形为圆内接四边形, ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， 设，则，， 作交延长线于点，则，，， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ，，过作交的延长线于点， 设，，， 则在中，， ，， 由勾股定理可得， 解得， ． 【点睛】本题属于圆综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $