陕西省汉中市十校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C点(x,y,z)关于xOy平面的对称点是(x,y,一)，所以点(1，一2，一1)关于xOy平面的对称点的坐标为(1，一2,1). 故选C. 2B椭圆苦+号-1的焦点在y轴上，√6-可-厅，放焦点坐标为0，士).故选R 3.DBM=BB+i=-B丽+号成=-AA+号A市-A=-AA+A市-号AB=AA+AD-号AB =-a+2b6放选D 4.A因为点M在C上，|MF|=5,所以点M到C的准线x=-2的距离为5，所以点M到直线x=一4的距离为7.故 选A D设P的坐标为，0，则式万×，文尼=-专a士②).整理得号+y=1.版点P的轨迹方程为号+y=1子 0).故选D. 6.C由题知圆M的圆心为(a,0),半径为2，圆N的圆心为(0，a),半径为2√2，MN|=√2a.若圆M和圆N相交，则 22-√2<√2|a<22+2,解得-3<a<-1或1<a<3.故选C {道+=1 7.B设A,B两点的坐标分别为(a),(2,则十=2， 又 两式作差得十)()十 y+y2=-2. y±y二)=0，故二业=-4m+, 4 C2-x1 一所以2=爱解得m=2放选R &.B由Ai=-2Oi+O成+m0,得Oi-Oi=-2Oi+O成+m0,所以oi=号oi+O成+m0d.由A, B,C,M四点共面，知号++m=1,解得m=子又01·0i-Oi·0元-2cos号=1,0市，0元-4c0s号=2,0Mi- 号Oi+0成+是=是(2O+O市+心)，所以1oM1=子√(2Oi+0i+0= √4O+10+1G+401.0i+40i.0元+20成.0元=4件4牛4牛44-故选B 9.AC由题知圆C的圆心为C(一2,0)，半径为2.①当直线1的斜率不存在时，直线x=0与圆C相切，满足题意；②当直 线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=x十1，则2温-2，解得k=一子，所以直线1的方程为3x十4y一4=0.综 /+I 上直线1的方程为x=0或3.x+4y-4=0.故选AC 10.ABD由题知2a=4,26=2,即a=2,b=1,所以C的方程为子+y=1,A正确：△ABF:的周长为AB到+AF十 IBF2=|AF|+|BF1|+|AF2+|BF2|=4a=8,B正确；由题知|AF1|+|AF2=4,所以|AF|·|AF2|≤ 子(AE十AE,)P=4(当且仅当AF=AF=2时取等号)，C错误；当A为椭圆的上顶点时，AF=AF,= 2,设BF=m,则BF:=4-m,在△ABF,中，∠EAF-,由余弦定理，得(4-m2=4+(m+22+2(m十2)，解 得m=号，所以AB=2+号=9，D正确.故选ABD, 11.BC如图，以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0), 【高二12月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 北师大 C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D(0,0,2),AB=(0,2,0),设点P的坐标 为(m,n,0)(0≤m≤2,0≤≤2)，则DP=(m,n,-2).当点P在AD上时，△PBC的面 积最大，为2×2X2=2,所以三校锥D-PBC体积的最大值为号×2X2=专，A错误： 1cos(AB,DP)1=、 2n ,又√m2++4≥√0十n2+4= 2√m2+n2+4√m2+n2+4 中质以.长司 -号当m=0,n=2时取等 号，所以AB与PD1所成角的最小值为T,B正确：连接DP,由DD⊥平面ABCD,知∠DPD为DP与底面ABCD 所成的角.由∠DPD=,得DP=2,所以点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，所以BP的最小值为BD-2= 22-2,C正确；由PD=BP,得√m2+n+4=√/(m-2)2+(n-2)严，整理得m+n=1,所以点P的轨迹长度为√2， D错误.故选BC. 12.(-1,+∞)方程x2+y2-2x=a可化为(x-1)2+y2=a+1,则a+1>0,解得a>-1. 一1 +2>1, 13.(0,3)设点A关于直线l的对称点为M(m),则 解得/2产0， 即点A关于直线（对称的 -2+h十1-1=0 y%=3, 2 2 点的坐标为(0,3). 14.√5设C的右焦点为F(c,0),连接AF,BF,因为O,M分别是AB,BF的中点，所 以OM/AE.又直线OM是C的一条新近线，所以tam∠AFO=,os∠APO 名.由双曲线的对称性，得BF=AF1.由BF=3AF,得AF1=3AF.又 |AF|-AF|=2a,所以|AF|=3a,AF=a.在△FAF中，由余弦定理得9a2= a2+4d-2a×2c×是，整理得3a2=c2,所以C的离心率e==3. a 15.解：(1)因为a=(0,3,3),b=(-2,5,3),所以a-b=(2,-2,0), 1分 所以川a=32,|a-b=2√2.… …3分 -6 设a与a-b的夹角为0，则os0d.9a”h35X22于 2 …5分 又0e[0,],所以a与ab的夹角为经 …7分 (2)因为a十b=(-2,8,6),a-b=(21,3一51,3-31)，a十b与a一b互相垂直，…9分 所以(a十b)·(a-b)=0,即-2X2t十8X(3-5t)十6X(3-3t)=0,……12分 解得1一引 …13分 16.解：(1)设圆M的一般方程为x2十y十Dx十Ey十F=0,…1分 1-D+F=0, 代人A,B,C三点的坐标，得5+D+2E+F=0, …3分 3+√5E+F=0, D=-2, 解得E=0, …6分 F=-3. 【高二12月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 北师大 所以圆M的一般方程为x2+y2-2x一3=0，故圆M的标准方程为(x一1)2+y2=4. …7分 (2)若直线1的斜率不存在，令x=0,得y=±√3， 则直线l被圆M截得的弦长为2√3，不合题意； …9分 直线1的斜率存在，设直线l的方程为y=x, 由直线l被圆M截得的弦长为√I4,得圆心M到直线l的距离为， 12分 即L= √+12 ,解得=士1， 14分 故直线l的方程为y=x或y=一x. 15分 17.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点E,连接ME.…1分 因为AD∥BC,AD=2BC,所以AE=2CE.…2分 又PM=2M心，所以EM∥AP.…3分 因为AP中平面MBD,EMC平面MBD,所以AP∥平面MBD.…4分 (2)解：由题知AB,AD,AP两两垂直，故以A为原点，直线AB,AD,AP分别为 x轴，y轴，之轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),D0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,1), BC=(0,1,0),B2=(-1,0,1),CD=(-1,1,0),D2=(0,-2,1).…5分 B武.m=y=0, 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z),则 取x=1,得y=0,2=1,故m=(1,0,1),…7分 B2,m=一x十x=0, CD.n=-a+6-0; 设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c),则 取a=1,得b=1,c=2,故n=(1,1,2),…9分 DP.n=-2b+c=0, 则|cos〈m,m)=m:n 3 mn√/2X/6 ,所以(m,m=晋， 2 故平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为答 …12分 (3)解：由(2)知AD=(0,2,0),平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2), 故点A到平面PCD的距离为D·m=2-5 n √63 …15分 18.(1)解：由题知F(专，0），设A,B两点的坐标分别为(y),(m2),设直线4的方程为my=x-, …1分 y=2px, 联立方程 my=x-g 消去x整理得y2-2p1y一2=0， 则△=(-2pm)2+4p2>0,y十2=2p1,y12=-p2, 所以x1x2= 道_(-)2= 4b2 4p2 4 …3分 所以0i.0市=0西十n%=公-仑=-3华=-3，解得p=2, 4 4分 所以C的方程为y2=4元.………5分 (2)(1)解：由(1)知C的准线方程为x=一1，直线AB的方程为1y=x一1(m≠0)，…6分 令x=-1,得y=品，即点P的坐标为（一1，一品）， …7分 m 由直线么的斜率为元，直线4与直线的倾斜角互补，知直线6的斜率为一 …8分 【高二12月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 北师大 故直线2的方程为y-(-名）=-[x-(-1D门，即十my十3=0,9分 171 故直线2过定点（一3,0）.… …10分 (ⅱ)证明：设点M的坐标为（为） y2=4x, 联立方程 消去x后整理得y2+4my+12=0,故号+4m%十12=0，……11分 x+my+3=0, 由(1)知y十y2=4m,y12=一4，… ………12分 直线AM的斜率为二业=的二丛= 4 …14分 一x1_y近为十y ,同理可得直线BM的斜率为，4 y⅓十y2 44 16 16 16 、又3X2十(y+边)的+为+4y-4-24三-1， 所以直线AM与直线BM互相垂直，故点M在以线段AB为直径的圆上，…16分 同理可得点N在以线段AB为直径的圆上， 故A,B,M,N四点共圆.… 17分 19.(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C中，CC⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BC⊥CC.… …1分 又AC⊥BC,AC∩CC=C,AC,CCC平面ACCA, 所以BC⊥平面ACCA. 3分 因为CNC平面ACC1A1,所以BC⊥CN.…4分 (2)解：设AC=x,BC=y则AC+BC=(2√2)≥2AC.BC, 则AC·BC=xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立.… 6分 则三棱柱ABC-ABC的体积V=yX2E≤4E, 所以三棱柱ABC-A1BC的体积的最大值为4√2. 8分 (3)解：由(2)知当三棱柱ABC-A1B1C的体积取得最大值时，AC=BC=2,以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线 分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,0,2√2)，B(0,2,0),M1,0,2√2)，N(2,0,wW2), 则AB=(-2,2,0),Bi=(1,-2,22),CN=(2,0,-2),… …10分 设B驴=ABM(0≤A≤1)，则AP=A店+B2=(a-2,2-2A,22x), …11分 所以|cos(AP,C衣|= IAP.CNI 2λ+4 6 2+入 IAPICNI (0λ≤1). √(a-2)2+(2-2)2+(2√2)X6 3 /13入2-12A+8 …13分 令2+λ=t∈[2,3]， 2+A …14分 √/13x2-12λ+8 3√13(1-2)2-12(1-2)+8 3/13-641+84 令0)- 、√/132-64+84 6 3 V84()+7 因为1E[2.3].所以∈[号·]，所以0x=f(g)=叠.0=2- 3 …16分 所以直线AP与CV所成角的余弦值的取值范围为「E,238 …17分 31 17 【高二12月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 北师大高二数学 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时问120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答題卡上。选择题每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择題请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.点(1，一2，一1)关于x0y平面的对称点的坐标为 A(1,2,-1) B.(-1,-2,-1) C.(1,-2,1) D.(-1,2,-1) 2椭圆若+号=1的焦点坐标为 A(士√7,0) B.(0,±√7) C.(±5,0) D.(0,土5) 3.在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AC与BD的交点为M,设A1B,=a,A1D=b,A1A=c,则BM 等于 Aa-叶e Ba+b叶 C-a-2叶e D.-a+叶c 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，|MF|=5,则点M到直线x=一4的距离为 A.7 B.6 C.5 D.4 5.已知点A(一2,0，BW2,0),直线PA和直线PB的斜率的乘积为一，则点P的轨迹方程为 A艺+=1 B苦+2=100) c号+y=1 D.号+y=10y≠0) 6.已知圆M:(x一a)2+y2=2与圆N:x2十(y一a)2=8相交，则a的取值范围为 A.(-√2，-1)U(1,√2) B.(-2,-1)U(1,2) C.(-3,-1)U(1,3) D.(-2√2，-√2)U(W,22) 【高二12月质量检测·数学第1页（共4页）】 北师大 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1.已知椭圆需+苦=1m>0且m≠)与直线y=2x-3相交于A,B两点，且线段AB的中点的横坐标 为1，则m= A.1 B.2 C.3 D,5 8.已知四面体OABC中，OA=1,OB=2,OC=2,∠AOB=∠AOC=∠B0C=号，空间-点M满尼AM= -Oi+O+mO心，若A,B,C,M四点共面，则1OM= A号 B C.√2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线1过点P(0,1),且与圆C:(x十2)2+y2=4相切，则直线1的方程可能为 A.x=0 B.y=1 C.3x+4y-4=0 D.2x+y-1=0 10.已知椭圆C:若+芳-1(a>6>0)的长轴长为4，短轴长为2，，R,分别是C的左、右焦点，过点B, 的直线与C交于A,B两点（异于C的左、右顶点），则 AC的方程为号十y2=1 B.△ABF2的周长为8 C.|AF|·|AF2|的最大值为6 D.当A为C的上顶点时，|AB引-9 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD1中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边 界)，则 A.当P,B,C不共线时，三棱锥D1-PBC体积的最大值为1 D B.AB与PD,所成角的最小值为于 C.当DP与底面ABCD所成的角为F时，BP的最小值为2√2-2 D当BP=PD,时，点P的轨迹长度为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若方程x2十y2一2x=a表示圆，则a的取值范围为 13.已知点A(-2,1),直线l:x十y一1=0，则点A关于直线l对称的点的坐标为 14如图，双曲线C差-芳=1(o>0,b6>0)的左焦点为F,过原点0的 直线与C交于A,B两点（点A位于第二象限），M为BF的中点，直 线OM为C的一条渐近线，且|BF|=3|AF|,则C的离心率为 【高二12月质量检测·数学第2页（共4页）】 北师大 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向Γa=(0,3,3),b=（一2,5,3) (1)求a与a一b的夹角， (2)若a+b与a一b互相垂直，求实数1的值， 16.(本小题满分15分) 已知圆M经过三点A(-1,0),B(1,2),C(0,3),O为坐标原点. (1)求圆M的标准方程； (2)过原点O的直线l被圆M截得的弦长为√14，求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,AD=2,点 M满足PM=2MC. (1)证明：AP∥平面MBD; (2)求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小； (3)求点A到平面PCD的距离. 【高二12月质量检测·数学第3页（共4页）】 北师大 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l1与C交于A,B两点，且OA·O克=-3， O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)若直线b1与C的准线交于点P,过点P作直线l2交C于M,N两点，且直线b与h的倾斜角 互补. （1)求直线2所过定点的坐标； (1)证明：A,B,M,N四点共圆. 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC LBC,AB=AA1=22,点M,N分别是A1C1,AA1的中点， 点P是线段BM上的点. =2,点 (1)证明：BC⊥CN; (2)求三棱柱ABC-A,BC体积的最大值； (3)当三棱柱ABC-A1B,C的体积取得最大值时，求直线AP与CN所成角的 余弦值的取值范围。 D 北师大 【高二12月质量检测·数学第4页（共4页）】 北师大 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP