第2讲 展开与折叠(同步讲义)2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

该初中数学讲义以“展开与折叠”为核心构建知识体系，通过分类框架梳理正方体11种展开图类型，借助表格对比棱柱、圆柱等几何体的表面及侧面展开图特征，清晰呈现空间图形与平面展开图的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，含正方体展开图辨析、立体图形推理判断等题型，如“小正方体翻转后朝上汉字”的动态问题培养空间观念与推理意识。基础题助学生掌握规律，综合题提升几何直观，支持学生自主复习，也为教师精准教学提供依据。

丰富的图形世界 展开与折叠知识梳理 正方体的展开与折叠 正方体11种不同的展开图 一四一型： 二三一(或一三二型)： 二二二型(或阶梯型)与三三型： 柱体、锥体的展开与折叠 几种常见几何体的展开图 棱柱 圆柱 圆锥 棱锥 表面展开图 两个相同的多边形和一些长方形 两个相同的圆和一个长方形 一个圆和一个扇形 一个多边形和一些三角形 侧面展开图 长方形 长方形 扇形 三角形 图例 根据展开图判断立体图形形状 展开图全是 长方形或正方形 时，考虑 长方体或正方体 展开图中有 三角形 时，考虑 三棱柱或三棱锥 展开图中有 长方形和圆 时，考虑 圆柱 展开图中有 扇形 时，考虑 圆锥 棱柱展开图的规律 要将n棱柱展开为平面图形，需剪开 2n-1 条棱，有 n+1 条棱未剪开 正方体的展开图 下列平面图形中，经过折叠能围成一个正方体的是 (D) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正方体展开图的特点，可以判断各个选项中的图形，哪个可以围成正方体 解：A.折叠后重合了一个面，故选项不符合题意; B.折叠后重合了一个面，故选项不符合题意; C.折叠后重合了一个面，故选项不符合题意; D.折叠后能围成一个正方体，故选项符合题意； 故选：D 下列图形中，不是正方体表面展开图的是 (D) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正方体展开图的特点，可以判断各个选项中的图形，哪个是正方体表面展开图 解：根据正方体的展开图的11种情况可得，D选项的图形不是正方体的展开图 故选：D 下列图形中，折叠后不能围成正方体的是 (D) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案. 解：A图中的每个都有对面，故A不符合题意 B图中的每个都有对面，故B不符合题意 C图中的每个都有对面，故C不符合题意 D图中中间层的左边的面没有对面，故D符合题意 故选：D 如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添加上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下列添加方式(图中阴影部分)正确的是 (A) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】正方体的展开图中每个面都能找到相对的面，如果找不到或者一个面对多个面，就不是正方体的展开图. 解:：A图中每一个面都能找到相对面，因此A可围成正方体,符合题意. B图中后面有"田"字形，四个连面无法折叠起来，因此B不能围成正方体.不符合题意. C图中第一行的第一个正方形和阴影部分正方形相对的面是同一个，因此C不能围成正方体，不符合题意. D图中有"凹"字形，折叠后缺一个面，有一个面重复，因此D不能围成正方体，不符合. 故选：A 如图，正方体纸盒三个面上印有文字"十，四，运"，将该纸盒沿着某些棱剪开，能展开的平面图形是 (B) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将展开图复原成正方体，能复原者即是答案. 解：四个选项的展开图折叠，能复原的是B. 故选：B 如图正方体纸盒，展开图可以得到 (D) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据折叠后圆、等于符号及小于符号所在的面的位置进行判断. 解：A图小于符号和等于符号的面折叠后是对面，不符合题意; B图折叠后，小于符号开口没有指向圆，不符合题意； C图折叠后，小于符号的开口方向与等于符号开口方向不同，不符合题意； D图折叠后,等于符号和小于符号所在的面是邻面,且小于符号的开口与等于符号开口一致,符合 故选：D 如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图 (C) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据所给立体图形对展开图进行想象可得出正确答案. 解：A项应该为：，不符合题意； B项应该为：，不符合题意； C项应该为：，符合题意； D项应该为：，不符合题意； 如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与数字4重合的数字是 (B) A.2和5 B.2和8 C.2和10 D.2和13 【答案】B 【解析】将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，再根据正方体的展开图即可求解. 解：当把这个平面图形折成正方体时，将有数字3、6、11、14的面固定为正方体的底面，数字2、3、14、1的面膜呢固定为正方体的左面，数字7，8，9，10的面固定为正方体的上面，此时与4重合的数字是2，8 故选：B 一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与A重合的点是点 D 【答案】D 【解析】根据正方体展开图还原几何体，找邻面公共点即可. 解：与A点重合的点是D点； 故答案为：D 正方体展开图的相对面 1. 某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"豫"字所在面相对面上的汉字是 (D) A.老 B.南 C.河 D.家 【答案】D 【解析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可. 解：在原正方体中，与"豫"字所在面相对面上的汉字是"家", 故选：D 如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，与"诚"字所在面相对面上的汉字是 (D) A.守 B.信 C.担 D.实 【答案】D 【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点判断即可. 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 故"诚"字对面的字是"实". 故选：D 图1是一个正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上一面的字是 (C) 图1 图2 A.来 B.常 C.州 D.越 【答案】C 【解析】利用正方体的表面展开图的特征判断对面，利用翻转得出答案. 解：由正方体的表面展开图的"相间、Z端是对面"可知， "常"与"来"是对面，"州"与"好"是对面，"越"与"越"是对面, 翻动第1次，第2次时，"好"在前面，"州"在上面， 翻动第3次时，"好"在下面，"州"在上面. 故选：C 如图1是一个小正方体的表面展开图，小正方体从如图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 路 图1 图2 【答案】路； 【解析】由图①可知，"国"和"兴"是对面，"中"和"梦"是对面，"复"和"路"是对面， 再由图②可知，1、2、3、4、5分别对应的面是"兴"、"梦"、"中"、"兴"、"复"， 所以第5格朝上的字是"路". 因此答案为"路". 有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第70次后，骰子朝下一面的数字是 (C) 第一次 第二次 第三次 A.4 B.5 C.3 D.2 【答案】C 【解析】观察图形可知第一次点数5和点数2相对，第二次点数4和点数3相对，第三次点数2和点数5相对，第四次点数3和点数4相对，第五次点数5和点数2相对，且四次一循环，从而确定答案. 解：观察图形可知，第一次点数5和点数2相对，第二次点数4和点数3相对，第三次点数2和点数5相对，第四次点数3和点数4相对，第五次点数5和点数2相对，且四次一循环， ∵70÷4=17...2，∴滚动第70次后与第2次相同 ∴朝下的数字是4的对面3， 故选：C 柱体和椎体的展开图 1. 如图所示的三棱柱的展开图不可能是 (C) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】三棱柱表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成，从而判断即可. 解：选项A、B、D均可能是该三棱柱的展开图，不符合题意： 而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意， 故选：C 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是 (B) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题. 解：A可以围成四棱柱，B不能围成棱柱，C可以围成三棱柱，D可以围成五棱柱. 故选：B 如图所示为几何体的平面展开图,则从左到右,其对应的几何体名称分别是 (C) A.圆柱，圆锥，三棱柱，正方体 B.圆锥，圆柱，三棱柱，正方体 C.圆柱，正方体，圆锥，三棱柱 D.三棱锥，圆柱，三棱柱，正方体 【答案】C 【解析】把每一个几何体的平面展开图经过折叠后判断能围成什么几何体. 解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：圆柱、正方体、圆锥，三棱柱 如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，回答下列问题： 如果面A在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面? 如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面? 从右面看是面C，面E在左面，那么哪一个面会在上面? 【答案】a)F面 b)C面或E面 c)B面或D面 【解析】根据长方体表面展开图的特征进行判断即可. 解：(1)根据"相间、Z端是对面"可知， "A"与"F"相对，"B"与"D"相对，"C"与"E"相对， 所以面A在长方体的底部，那么F面会在它的上面; (2) 若面F在前面，从左面看是面B，则A在后面，D在右面， 此时C在上面，E在下面，或E在上面，C在下面; 答：如果面F在前面，从左面看是面B，那么C面或E面会在上面 (3) 若右面看是面C，面E在左面，则B面或D面在上面 展开图的相关计算 1. 如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形.根据图中标示的长度，可得此长方体的体积为 224 【答案】224； 【解析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可. 解：设原长方体的底面边长为a，长方体的高为b， 12=3a,2a+b=22,解得a=4，b=14，∴长方体的体积为：4×4×14=224, 故答案为：224 圆柱的底面周长为2π,高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为 2π 【答案】2π 【解析】圆柱侧面展开图的面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，代入相关值即可求解. 解：∵圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长， ∴圆柱侧面展开图的面积为：2π×1=2π. 故答案为：2π 如果一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，侧面积扩大 3 倍，体积扩大 9 倍. 【答案】3；9 【解析】①S圆柱侧=2πrh，②V圆柱=πr²h，根据以上公式代入解答即可. 解：S圆柱侧=2πrh，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r， 此时圆柱的侧面积为：2π(3r)h=3S圆柱侧; 故当底面半径扩大3倍，侧面积扩大3倍； V圆柱=πr²h，当底面半径扩大3倍时，半径变为3r， 此时圆柱的体积为：π(3r)²h=9V圆柱; 故当底面半径扩大3倍，体积扩大9倍； 故答案为：3，9. 如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm，15cm，20cm.将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长是 310 cm. 【答案】310 【解析】根据边长最长的多剪，边长最短的剪得最少，可得答案. 解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪得最少，得到下图： 这个平面图形的最大周长是25×8+20×4+15×2=310(cm), 故答案为：310cm 圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为 8或4π 【答案】8或4π 【解析】分两种情况：①以2π为底面周长，4为高；②以4为底面周长，2π为高；分别求解. 解：① 以2π为底面周长，4为高，此时圆柱体的底面半径为=1， ∴圆柱体的体积为：π×1²×4=4π ②以4为底面周长，2π为高，此时圆柱体的底面半径为= ∴圆柱体的体积为：π×()²×2π=8 故答案为：8或4π 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①是一个同学们熟悉的包装盒，图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的8×8的网格中. 图① 图② 图③ 0. 在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图的位置是 字母B 若在图③中，网格中的每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积. 【解析】a)根据长方体的表面展开图找相对面的方法判断即可； b)根据长方体的表面积公式进行计算即可； 解：a) 在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图的位置：字母B b) 由题意得： 2×3×2+2×3×1+2×2×1=22 ∴包装盒的表面积为22 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰富的图形世界 展开与折叠知识梳理 正方体的展开与折叠 正方体11种不同的展开图 一四一型： 二三一(或一三二型)： 二二二型(或阶梯型)与三三型： 柱体、锥体的展开与折叠 几种常见几何体的展开图 棱柱 圆柱 圆锥 棱锥 表面展开图 两个相同的多边形和一些长方形 两个相同的圆和一个长方形 一个圆和一个扇形 一个多边形和一些三角形 侧面展开图 长方形 长方形 扇形 三角形 图例 根据展开图判断立体图形形状 展开图全是 长方形或正方形 时，考虑 长方体或正方体 展开图中有 三角形 时，考虑 三棱柱或三棱锥 展开图中有 长方形和圆 时，考虑 圆柱 展开图中有 扇形 时，考虑 圆锥 棱柱展开图的规律 要将n棱柱展开为平面图形，需剪开 2n-1 条棱，有 n+1 条棱未剪开 正方体的展开图 下列平面图形中，经过折叠能围成一个正方体的是 ( ) A. B. C. D. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 下列图形中，折叠后不能围成正方体的是 ( ) A. B. C. D. 如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添加上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下列添加方式(图中阴影部分)正确的是 ( ) A. B. C. D. 如图，正方体纸盒三个面上印有文字"十，四，运"，将该纸盒沿着某些棱剪开，能展开的平面图形是 ( ) A. B. C. D. 如图正方体纸盒，展开图可以得到 ( ) A. B. C. D. 如图是一个正方体，下列哪个选项是它的展开图 ( ) A. B. C. D. 如图所示是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与数字4重合的数字是 ( ) A.2和5 B.2和8 C.2和10 D.2和13 一个正方体盒子的展开图如图所示，如果要把它粘成一个正方体，那么与A重合的点是点 正方体展开图的相对面 1. 某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"豫"字所在面相对面上的汉字是 ( ) A.老 B.南 C.河 D.家 如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，与"诚"字所在面相对面上的汉字是 ( ) A.守 B.信 C.担 D.实 图1是一个正方体的展开图，小正方体从图2的所示位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上一面的字是 ( ) 图1 图2 A.来 B.常 C.州 D.越 如图1是一个小正方体的表面展开图，小正方体从如图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 图1 图2 有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第70次后，骰子朝下一面的数字是 ( ) 第一次 第二次 第三次 A.4 B.5 C.3 D.2 柱体和椎体的展开图 1. 如图所示的三棱柱的展开图不可能是 ( ) A. B. C. D. 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是 ( ) A. B. C. D. 如图所示为几何体的平面展开图,则从左到右,其对应的几何体名称分别是 ( ) A.圆柱，圆锥，三棱柱，正方体 B.圆锥，圆柱，三棱柱，正方体 C.圆柱，正方体，圆锥，三棱柱 D.三棱锥，圆柱，三棱柱，正方体 如图所示的是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，回答下列问题： 如果面A在长方体的底部放置，那么哪一个面会在它的上面? 如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面? 从右面看是面C，面E在左面，那么哪一个面会在上面? 展开图的相关计算 1. 如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形.根据图中标示的长度，可得此长方体的体积为 圆柱的底面周长为2π,高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为 如果一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，侧面积扩大 倍，体积扩大 倍. 如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm，15cm，20cm.将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长是 cm. 圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长方形，则圆柱体的体积为 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①是一个同学们熟悉的包装盒，图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的8×8的网格中. 图① 图② 图③ 0. 在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图的位置是 若在图③中，网格中的每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $