江西省九江市修水县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次段考数字试题

2025—2026学年度上学期第二次段考试卷 高二（数学）参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C D D C A 8. 详解】设直线方程为，， 由的重心在直线上，得，则， ，解得， 由消去得， 于是，整理得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 10【详解】由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且. 对于A，拋物线的准线方程为，故A正确； 对于B，因直线过，且轴，把代入，解得， 故，故B错误； 对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为， 代入，可得，由韦达定理，可得，故C正确 对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立. 设的中点为，而即点到轴的距离， 因，， 的中点到轴的距离的最小值大于2，故D错误 故选：AC 11【详解】解：  以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，可得，，，则，即． A选项：若，，即，则，，， 因为，，所以，，因为，所以平面．所以A选项正确. B选项：若，即，则，， 设与所成角为，，则 因为，所 以, 所以， 当且仅当时，右边不等式等号成立，令，，则，可得. 当且仅当时，左边不等式等号成立，令，，则，可得. 综上所述，，所以.所以B选项错误. C选项：当时，，则，设平面的法向量，则即取，可得，则． 易得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，因为可判断是锐角，所以二面角的平面角为的余弦值为．所以C选项正确. D选项:设平面的法向量为，由，， 则即取，可得，，则是平面的一个法向量． 易知，设点到平面的距离为，则， 由，得，易知，则三棱锥的体积．所以D选 故选：D 三、填空题 12 13. 设是椭圆上不同的两点，且关于直线对称，设直线AB的方程为 ，代入椭圆得， 得，AB中点在直线上， ， 14. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图， 则，， 不妨设平面的法向量为且，由已知， 所以，则， 四、解答题 15．【详解】 （1）如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法．----------4分 （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内， 共有种选法----------------------------------------------------------8分 （3）选2男2女，再排顺序，-------------------------------------------13分 16.若AB两点再同侧，,直线，--------------3分 若AB两点再两侧，则过AB中点,,直线------------------7分 设圆方程为，将三点代入得 得 -------------------------------------------------------------13分 ----------------------------------------------15分 17（本题满分15分） 【详解】（1）由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为；--------------------------------------------------5分 （2）设，， 联立，消去得，-----------------------------------7分 ，解得，--------------------------------9分 ，，------------------------------------------------------10分 则、， ------------------------------------------------12分 -------------------------------------------------14分 ， 故两直线斜率.---------------------------------------------------------------15分 18 .（本题满分17分） 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB；------------------------------------5分 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， -----------8分 设平面PAD的一个法向量为 ，得 同理可得，平面PBC得法向量-------------------------------------------------10分 平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为------------------------------------------------------------------12分 （3）设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，.-----------------------------------------------------14分 设, ， 则，----16分 ,当点M与点P重合时或点M与点B重合时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为-------------------------17分 19.（本题满分17分） (1)取，则 所以Q得坐标是----------------------------------------------5分 （2）取图像上任一点，绕原点逆时针旋转得到 则 又，点Q得轨迹方程是双曲线------------------8分 ----------------------------------------------------------9分 由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积.-------------------------------------11分 设， 联立方程：，得， ，----------------------------------------------------13分 三角形面积， 整理得，解得或，-----------------------------------14分 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或，-------------------------------------15分 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，.------------------------------------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期第二次段考试卷 高二数学 命题人： 说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D. 2．圆和圆的位置关系为（   ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3．已知点是圆上的动点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A. B. C. D. 4．已知直线与直线平行，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．0 5．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若 ，且，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为3，，为线段的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与椭圆交于A,B两点，则的最大值为（   ） A.2 B. C. D.4 8．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上， 则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（   ） A B    C D     10．已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A．拋物线的准线方程为 B．若直线过，且轴，则 C．若直线过，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 11．已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中 ，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则二面角的平面角的正切值为 D．若，则三棱锥的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知是两两垂直的单位向量，则= ． 13．若直线，椭圆上存在两点关于直线对称，则的取值范围为 ． 14．如图，已知棱长为3的正方体，在平面的 同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为 1和，则顶点到平面的距离为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．（本小题13分） 修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （3）辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 16． （本小题15分） 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）求三角形ABC外接圆方程的标准方程． 17．（本小题15分） 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 18．（本小题17分） 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．平面ABCD，. （1）若F，G分别为PD，PE的中点，求证：平面PAB； （2）求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值. （3）问在线段PB上，是否存在点M,使直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求点M的位置；若不存在，说明理由； 19． （本小题17分） 已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式. （1）点绕坐标原点逆时针旋转得到点Q，求点Q的坐标； （2）已知反比例函数． ① 请证明的图像是双曲线，并求出该双曲线标准方程及左右焦点的坐标； ② 若该双曲线存在上两点A，B满足（），且四边形的面积为，求的值． 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $