精品解析：河北省八校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

2025—2026学年上学期期中高三调研考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义求解. 【详解】． 故选:D． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特点求出与的关系，再利用平均数的计算公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】由题意，得可得，解得. 故选：D. 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 详解】由等比数列性质可知，， 又，解得或， 当时，， 所以，故， 当时，， 所以，故， 综上，， 故选：D 5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 6. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长． 【详解】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得，，利用对数的运算性质可得，由此可确定答案. 【详解】由题意得，. ∵函数在为减函数， ∴，即， ∵函数在为增函数， ∴，即，∴. ∵，， ∴， ∵，∴， 由得，，由得，， 综上得， 故选：A. 8. 已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，求出其范围，再利用对勾函数性质即可求得结果. 【详解】定点为，联立， 得， 解得，， 且，则， 则 ， 设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，此时取最大值， 当或者时，取最小值2（取不到）， 令，则，令， 由对勾函数性质可知上单调递减，在单调递增， 当时，或（舍去），当时，， 故． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D. 【详解】对A，，A正确； 对B，的最小正周期，B错误； 对C，由得， 所以图象的对称中心为，C正确； 对D，由得， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 10. 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义求出函数，再结合各选项条件逐项分析判断. 【详解】依题意，，当时，；当时，， 则，， 对于A，，A正确； 对于B，，由，解得，B错误； 对于C，，令，， 函数是偶函数，C正确； 对于D，由，得或， 而，则，即，该方程有且仅有一个正根， 或， ，该方程有且仅有一个负根，且， ，该方程要么无解，要么一解，要么两个正根， 且，所以关于的方程的所有解的乘积为，D正确. 【点睛】关键点点睛：利用给定的定义求出最小值函数和最大值函数的解析式是求解问题的关键. 11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.  同理，中含个元素的子集也不满足.  综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.   若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.   若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.  又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.   故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出点到轴的距离. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为.  设点的坐标为，由抛物线的定义，已知，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为. 点到准线的距离为，所以. 解方程，可得.  点到轴的距离就是点横坐标的绝对值，因为，所以点到轴的距离为.  故答案为：. 13 已知，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】将平方可得①， 将平方可得②， 将①②两式相加可得， 所以. 故答案为：-1 14. 已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出柱体体积，再利用导数求解即可. 【详解】 设，则，解得. 连接，则， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 因为，所以，所以， 同理可得， 因为平面，所以平面， 连接，过点作的平行线与交于点，因为，所以， 在中，，所以， 易得为正三角形，所以， 则三棱柱的体积， 则， 令，解得， 当时，，当时，，所以， 故当三棱柱的体积取得最大值时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过几何体几何特征证得平面，连接，过点作的平行线与交于点，从而找到三棱柱的高，从而求出柱体体积，再利用导数求解最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由翻折后的位置关系和可得平面，进而得，进而可得； （2）先在平面中找到，进而转化为求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，进而可得. 【小问1详解】 连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. 【小问2详解】 过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 【答案】（1） （2），0.782． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分两种成功情况分别计算概率后相加； （2）利用最小二乘公式求回归方程参数； （3）通过分析失败概率乘积构造递推关系，结合代数变形证明不等式. 【小问1详解】 第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为． 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为． 【小问2详解】 ， 所以，则所求经验回归方程为． 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于0.782， 故预测成功志愿者的比例为0.782． 【小问3详解】 依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能， 第一种可能为直接摸出白球，概率为， 第二种可能为摸出黑球后再摸出白球， 概率为， 所以， 则， 因此. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用，从而可求解； （2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出，，从而求出，同理求出，从而可证；②中由（1）可得当时，且，则可得直线方程为：，再由到到的距离，从而求出，令，再利用导数求出，从而得，又因为而时，，从而可证. 【小问1详解】 双曲线， 双曲线的离心率. 【小问2详解】 ①证明：由题意将与双曲线联立，， 化简得，， ， 同理将与双曲线联立，，同理可得， 同理 ，，． 从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递增， ，， 又因为时，， ． 从而可证． 【点睛】方法点睛：第二问的第一小问可分别将两条射线，和双曲线联立，进而求出和的坐标，从而算出和的斜率，直接代入斜率公式，可以得到是一个关于，的式子，其值为定值，故也有．最后一小问受（2）第一小问的启发可分别写出，的坐标，并写出直线的方程，算出的长和点到直线的距离，进而表示出的面积，并视为主元，构造一个函数，求出的最小值，进而得到的最大值，接着就是对进行放缩处理了，向右裂项放缩即可得出结果，本题比较综合涵盖三角形面积的转化求解，主元法和构造函数求最值以及数列中裂项放缩求和等经典元素，实属一道不可多得的好题，值得一做． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期中高三调研考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（ ） A 74 B. 76 C. 78 D. 80 4. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 6. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 10. 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 11. 已知，记为集合中元素个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______． 13. 已知，则______． 14. 已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数值； （2）求函数的极小值． 16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $