精品解析：广东省江门市新会区正雅学校2025-2026学年上学期数学八年级期中大练习B

2025-2026学年第一学期 八年级数学期中大练习B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方与完全平方公式、同底数幂除法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．根据合并同类项的法则、积的乘方与同底数幂除法运算法则、完全平方公式分别计算各项，然后再进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 4. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可得，撕掉的角的度数为． 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形一定全等； B. 两个等边三角形一定全等； C. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 D. 直角三角形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，等边三角形的性质，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据全等三角形的判定，等边三角形的性质，轴对称图形的概念，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．周长相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； B．两个等边三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； C．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，正确，该选项符合题意； D．直角三角形不一定是轴对称图形，原说法错误，该选项不符合题意． 故选：C． 6. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 7. 一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 8. 若，则的值是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解． 9. 小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 10. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 多项式分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，求代数式的值，利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：30． 13. 等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形面积公式及锐角三角函数的定义（或角的直角三角形性质），解题的关键是通过作等腰三角形的腰上的高，将其转化为含角的直角三角形，进而求出高的长度． 先根据等腰三角形的腰长和顶角，过底角顶点作其中一条腰的垂线（即腰上的高）；利用含30°角的直角三角形性质（或锐角三角函数）求出高的长度；最后代入三角形面积公式（面积，此处“底”为腰长，“高”为腰上的高）计算面积． 【详解】解：设等腰中，（腰长），（顶角）； 过点作于点，则为边上的高（即腰上的高）． ∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 三角形面积公式为，此处底为，高为， ∴ ． 故答案为：16． 14. 当的值为_______时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 15. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵的周长是，， ∴． 故答案：18． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分． 16. （1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解； （2）将所求式子变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 已知：如图，，，求证：． 证明：在与中， ， ______（______）． 【答案】 证明：在与中， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 18. （1）仅用直尺在图1中斜边上找一点P，使得P到，的距离相等． （2）折叠三角形，使点C落在上，折痕为（点D在边上），用直尺和圆规在图2中画出折痕． 【答案】 （1）如图1，点P即为所求： （2）如图2，线段即为所求： 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图-尺规作角平分线、角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． （1）根据角平分线的判定，点P在的平分线上，利用网格特点作图即可； （2）根据折叠性质得到，故作的平分线交于点D，则线段即为所求． 【详解】解：（1）作图依据：取格点E、F，连接交于点P， 由网格特点，，，， ∴平分， ∴P到，的距离相等． （2）略 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）点的坐标为． 20. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式； （2）小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 所以，． 21. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 小颖： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为______，小颖的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因在______． （2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）；1；没有变号 （2） 原式， ， ． 【解析】 【分析】（1）按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可 （2）正确写出完整的解答过程． 【小问1详解】 解：； 小颖的解答错从第 1步开始出错，错误的原因是没有变号， 正确的应是：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了因式分解的基本步骤，关键在于熟练掌握因式分解的算法，并对解题过程进行正确检验． 22. 如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 【答案】（1） 如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， （2） 如图，另任意作桥，连接，，， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分． 23. （1）如图1，在中，是它的角平分线，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，求证： 【答案】 证明：（1）如图1，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）如图2，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式得到的面积，的面积，即可证明； （2）过作于，于，得出，过作于，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24. 阅读材料，完成下列问题： 【背景】：重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 名称 线段 三角形 平行四边形 圆 图形 且 重心位置 中点 中线交点 对角线交点 圆心 【探究】：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，，例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为，． 【应用】如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求点、的坐标； （2）求“”形的重心坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了中点坐标公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据长方形的性质并结合中点坐标公式计算即可得解； （2）先求出、，再结合，计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图： ， ∵四边形为长方形，，， ∴，为的中点，， ∵， ∴，即； ∵四边形为长方形，，， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∴，， ∴“”形的重心坐标为． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图． 这个图形的面积可以表示成：或， 这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为______． 则②的阴影面积表示为______． 由此可以得到的等式是______． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图，表示个的正方形，即：，B表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得：． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 【答案】（1），  ， （2），图形如下： （3） 【解析】 【分析】（1）类比解决：如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是，第二个图形的阴影部分的面积是，可以验证平方差公式； （2）尝试解决：如图，表示一个的正方形，、、表示个的正方形，、、、、表示个的正方形，而、、、、、、、、恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，，进一步化简即可． 【小问1详解】 解：图①的阴影部分的面积是， 图②的阴影部分的面积是， ， 故答案为：，，， 【小问2详解】 如图，表示个的正方形，即； 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形， 因此：、、就可以表示个的正方形，即：； 与，与和可以表示个的正方形，即； 而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：； 【小问3详解】 由上面表示几何图形的面积探究可知，， 又， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 八年级数学期中大练习B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 3. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 4. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形一定全等； B. 两个等边三角形一定全等； C. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 D. 直角三角形是轴对称图形 6. 如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 24 9. 小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（ ） A. B. C. D. 10. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 多项式分解因式的结果为________． 12. 若，，则______． 13. 等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为______． 14. 当的值为_______时，分式的值为零． 15. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分． 16. （1）化简：； （2）计算：． 17. 已知：如图，，，求证：． 证明：在与中， ， ______（______）． 18. （1）仅用直尺在图1中斜边上找一点P，使得P到，的距离相等． （2）折叠三角形，使点C落在上，折痕为（点D在边上），用直尺和圆规在图2中画出折痕． 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 20. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式； （2）小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 21. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 小颖： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为______，小颖的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因在______． （2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 22. 如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分． 23. （1）如图1，在中，是它的角平分线，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，求证： 24. 阅读材料，完成下列问题： 【背景】：重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 名称 线段 三角形 平行四边形 圆 图形 且 重心位置 中点 中线交点 对角线交点 圆心 【探究】：“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，，例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为，． 【应用】如图1，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求点、的坐标； （2）求“”形的重心坐标． 25. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图． 这个图形的面积可以表示成：或， 这就验证了两数和的完全平方公式． （1）类比解决： 如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形． 则①的阴影面积表示为______． 则②的阴影面积表示为______． 由此可以得到的等式是______． （2）尝试解决： 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图，表示个的正方形，即：，B表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得：． 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $