2.3 确定二次函数的表达式 同步基础训练 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 同步基础训练 一．选择题 1．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3（x﹣2）化为一般形式，一次项系数为（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．﹣7 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+3x+10 C．y＝x2﹣6x+10 D．y＝x2﹣3x+10 4．已知某二次函数的图象如图所示，则该二次函数的解析式可能是（　　） A．y＝（x+1）（x+4） B．y＝（x+1）（x﹣4） C．y＝（x﹣1）（x+4） D．y＝（x﹣1）（x﹣4） 5．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（0，5） B．（1，2） C．（﹣2，1） D．（2，1） 6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2 7．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2 C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2 8．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 2 … A．y＝x B．y C．y（x﹣1）2+2 D．y（x﹣1）2+2 二．填空题 9．请写出一个开口向上，且对称轴为x＝3的抛物线的解析式　 　 ． 10．把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则k的值为　 　 ． 11．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 … 从上表可知，x＝4时，y的值为　 　 ． 12．已知抛物线y＝（m+2）x2与y＝3x2﹣2的形状相同，并且x＞0时，y随x的增大而减小，抛物线的解析式为　 　 ． 13．如图，二次函数的图象经过原点，正方形ABCD的边AD在x轴上，顶点B、C在二次函数的图象上，直线AC对应的函数表达式为y＝﹣x﹣2，则这个二次函数图象对应的函数表达式为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　 　 ． 三．解答题 16．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为点A（3，0），与y轴的交点为点B（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）求y的最值． 17．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； （3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围． 18．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n（m、n为常数，m≠0），线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，2），B（2，2）． （1）该二次函数的图象的对称轴是直线 　 　 ； （2）当m＝﹣1时，若点B（2，2）恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； （3）当m＝﹣1时，当此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求n的取值范围． 19．如图，抛物线y＝x2+m的图象与一次函数y＝x+1的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求△ABC的面积． 20．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2﹣bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（4，1）两点，则函数的表达式为　 　 ． （2）当a＝2时，写出一个b的值，使函数y＝ax2﹣bx+1图象的顶点坐标始终在直线y＝﹣1的下方，并说明理由． （3）当a＝1，b＝2时，函数y＝ax2﹣bx+1图象上有点M（t，y1），直线上有点N（t，y2），若，试求t的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D D B C D 二．填空题 9．y＝（x﹣3）2（答案不唯一）． 10．3． 11．0． 12．y＝﹣3x2． 13．y＝﹣x2． 14．﹣1． 15．yx2． 三．解答题 16．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为点A（3，0），与y轴的交点为点B（0，﹣3） ∴， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，a＝1＞0， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣4． 17．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． （2）∵y＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2， ∴抛物线顶点坐标为1，a2﹣a﹣2， ∴a2﹣a﹣2＝0， ∴a＝2或﹣1， ①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+2； ②当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x﹣1． （3）由题意可得： ①当a＞0时，∵y1＜y2，∴﹣1＜m＜3； ②当a＜0时，∵y1＜y2，∴m＞3或m＜﹣1． 18．解：（1）二次函数y＝mx2﹣2mx+n（m、n为常数，m≠0）， 二次函数的图象的对称轴是直线x＝1． 故答案为：x＝1； （2）当m＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+n， 把B（2，2）代入，得 n＝2， ∴二次函数的关系式为y＝﹣x2+2x+2； （3）当m＝﹣1时， y＝﹣x2+2x+n ＝﹣（x﹣1）2+n+1， ∵此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点， ①当抛物线顶点落在AB上时，n+1＝2， 解得n＝1， ②当抛物线经过点B时，n＝2， ③当抛物线经过点A时， ﹣1﹣2+n＝2， 解得n＝5， 综上所述：2＜n≤5或n＝1． 19．解：（1）把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1， 解得：x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， 把A（﹣1，0）代入y＝x2+m得：0＝（﹣1）2+m， 解得：m＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣1， 联立， 解得或， ∴点B的坐标为（2，3）； （2）把x＝0代入y＝x2﹣1得y＝﹣1， ∴点C的坐标为（0，﹣1）， 把x＝0代入y＝x+1得y＝1， ∴点D的坐标为（0，1）， ∴CD＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD2×12×2＝3． 20．解：（1）∵函数的图象经过（1，0）和（4，1）两点， ∴a﹣b+1＝0，且16a﹣4b+1＝1． ∴a，b． ∴二次函数的表达式为yx2x+1． 故答案为：yx2x+1． （2）由题意，当a＝2时，函数为y＝2x2﹣bx+1． ∴对称轴是直线x． ∴顶点为（，1）． 又∵顶点坐标始终在直线y＝﹣1的下方， ∴1＜﹣1． ∴b2＞16． ∴b＞4或b＜﹣4． （3）由题意，当a＝1，b＝2时，函数为y＝x2﹣2x+1． ∴y1＝t2﹣2t+1． 又∵y2t+1， ∴MN＝|t2﹣2t+1t﹣1|． ∴|t2t|． ∴或． ∴t或1≤t或t≥3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:55:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $