第3章 空间向量及其应用（知识清单）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“空间向量及其应用”章节内容，涵盖空间向量的概念运算、基本定理及坐标表示、立体几何应用三大知识范畴，搭建了从基础概念辨析到定理推理应用再到空间角距离计算的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类”和“典型例题解析”呈现知识体系，如将空间角问题分为范围、大小、三角函数值三类易错点，标注“空间角范围”等提醒培养数学思维。设计“公式坐标表示表”和“法向量求法步骤”，帮助学生精准掌握运算逻辑，既便于学生自主复习，也为教师教学设计提供清晰框架。

第3章 空间向量及其应用 知识点01：空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量 共面向量 平行于 的向量 2.两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝ ． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝ ； ②交换律：a·b＝ ； ③分配律：a·(b＋c)＝ . 知识点02：空间向量的基本定理及坐标表示 1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ ，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 λa＝ 数量积 a·b＝ 3.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔ (a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 4.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝ ； (2)dAB＝||＝ 知识点03：空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 易错提醒 1．三种空间角的范围： 两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°； 直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°； 平面与平面的夹角：0°≤θ≤90°. 2．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错． 易错点1：求三种空间角的范围与最值 1.（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 2.（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    3．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为 ．(结果用反余弦表示) 4.（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. 6．（25-26高二上·上海·月考）如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，求： (1)直线和直线所成角的范围． (2)直线和直线所成角的范围． 7．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 易错点2：求三种空间角大小 1．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线和直线所成角的大小为 . 2．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为 . 3．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成角的大小. (2)证明：面. 4．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 7．（24-25高二下·上海·期中）如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 8．（25-26高二上·上海·月考）在直三棱柱中，分别为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与的所成角． 9．（25-26高二上·上海·期中）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 易错点3：求三种空间角的三角函数值 1．（25-26高二上·上海普陀·期中）在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为 . 2．（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别满足、.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 4．（25-26高二上·江苏镇江·月考）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 5．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，点在上，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高二上·上海·月考）如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，. (1)证明：平面ABCD； (2)求二面角的正弦值. 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 8．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 9．（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 10．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 11．（24-25高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二上·上海·月考）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为（），，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（   ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·月考）已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ． 6．（25-26高二上·上海·期中）空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积 7．（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 . 8．（24-25高二下·上海·月考）在四棱柱中，底面为平行四边形，已知，且，则异面直线与所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 9．（25-26高二上·上海·期中）如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为 .    10．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 11．（24-25高二上·上海·月考）棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 12．（24-25高二上·上海·月考）如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为 .    13．（25-26高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，有下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角的正切值为3； ③平面； ④平面截正方体的截面周长为. 其中，正确结论的序号有 . 三、解答题 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 15．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 16．（24-25高二上·上海·月考）如图，在  中，  D是AC中点， E、F分别是BA、BC边上的动点，且   将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证： 平面 (2)若 ， 二面角 是直二面角，求二面角的正切值： (3)当 时，求直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围． 17．（24-25高二上·上海松江·月考）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 18．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 19．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用 知识点01：空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点02：空间向量的基本定理及坐标表示 1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 3.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 4.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝ 知识点03：空间向量在立体几何中的应用 1.平面的法向量 (1)定义：如图，直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。给定一点和一个向量，那么过点，以向量为法向量的平面是完全确定的。 (2)平面法向量的求法：求平面法向量的步骤： ①设出平面的法向量为； ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ； ③根据法向量的定义建立关于、、的方程组； ④解方程组，取其中的一组解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。 2.平行与垂直的向量表示 设直线、的方向向量分别为、，平面、的法向量分别为、，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论： 3.两点间的距离的求法 、两点间的距离为。 4.点线距离的求法 如图，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为：。 5.点面距离的求法 如图，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。 6. 两异面直线距离的求法 如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。 7.求异面直线所成的角 如图，已知、两异面直线，、与、分别是、上的任意两点，异面直线、所成的角为，则。 8.求直线和平面所成的角 如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即有 9.求平面和平面所成的角（二面角） 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角， 。若、分别为面、的法向量，或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角)。 (1)当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角等于法向量、的夹角，于是。 (2)当法向量与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角等于法向量、的夹角的补角，于是。 易错提醒 1．三种空间角的范围： 两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°； 直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°； 平面与平面的夹角：0°≤θ≤90°. 2．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错． 易错点1：求三种空间角的范围与最值 1.（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，再写出坐标结合异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 2.（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为 ．(结果用反余弦表示) 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在棱长为4的正方体中，得到，， ，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，设，， 得到，， 即，，，解得， 故，则， 设异面直线与所成角为，， 则， ， 令，当时，， 当时，， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，则，得到， 若异面直线与所成角最小，则最大， 此时，故. 故答案为： 4.（25-26高二上·上海·期中）如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 5．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的结构特征和球心的位置即可求出正方体的棱长. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，结合垂线段最短即可确定最小值. （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据平行求出点的坐标关系，然后求出平面的法向量，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，再求出正弦值，从而可求出正切值的表达式，最后根据点的坐标范围求出正切值的范围即可. 【详解】（1）因为正方体内接于球，即球外接于该正方体， 那么球心位于正方体的中心，所以体对角线长为. 设正方体的棱长为，则， 所以，所以正方体的棱长为2. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，如图所示， 那么的长度的最小值就是点到线段上点的距离的最小值. 过点作，垂足为，线段与线段交于点， 因为， 所以为等腰直角三角形，且，， 所以，又， 所以为等腰直角三角形，又， 所以，，， 所以，所以 所以当点与点重合，点与点重合时， 取取 最小值，最小值为. （3）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 所以，设平面的法向量为， 则，则有，令，则. 所以法向量，而，因为平面， 所以，所以，所以. 因为平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 所以，又，所以. 因为，所以. 所以. 由二次函数的性质得知，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值的范围为. 6．（25-26高二上·上海·月考）如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，求： (1)直线和直线所成角的范围． (2)直线和直线所成角的范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）记，以为基底，将所求表示为关于的表达式，利用三角函数性质求解可得； （2）将所求表示为关于的表达式，利用三角函数性质求解可得. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，， 因为，所以为正三角形，所以， 记， 因为，所以 ， 记直线和直线所成角为，则， 因为， 且， 所以，， 所以，即， 又，所以 （2）因为，所以 ， 记直线和直线所成角为，则， 由（1）知，所以    ， 得，所以， 即，又， 所以. 7．（24-25高二下·上海·月考）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 易错点2：求三种空间角大小 1．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线和直线所成角的大小为 . 【答案】 【分析】应用直线夹角的向量求法求其余弦值，即可得夹角的大小. 【详解】由题设， 所以直线和直线所成角的余弦值为，故所成角的大小为. 故答案为： 2．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是SB的中点，则异面直线AE与SD所成角的大小为 . 【答案】 【分析】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解两直线所成夹角即可. 【详解】以两对角线与的交点作为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设边长为2，则有， 则， 故直线AE与SD所成角的余弦值为. 直线AE与SD所成角为 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成角的大小. (2)证明：面. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求向量和利用向量夹角公式求异面直线所成角； （2）建立空间直角坐标系，证明与垂直且与垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论. 【详解】（1）设正方体的棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。则各点坐标为：； ，， 设异面直线与所成角为， 则， 因为， 所以，即异面直线与所成角的大小为； （2），则， 因为，所以，即； 因为，所以，即； 因为，且平面，所以平面. 4．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再由直棱柱的性质得到，即可得证； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）底面是等腰直角三角形，且， ， 在直三棱柱中，平面， 又 平面， ， ，平面， 平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，、，， 则，取， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角为的大小为 . 6．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量的方法证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知是平面DBC的一个法向量，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，， 故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题知，可得点，，，，，， ，， 则，，， 所以，， 所以，. 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，， 设是平面ABD的法向量， 则，即， 令，可得，，， 即平面ABD的一个法向量是. 由（1）知，是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为， 则. 又，∴. 结合三棱柱可知，二面角是锐角， ∴所求二面角的大小是. 7．（24-25高二下·上海·期中）如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直和等腰三角形性质分别证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角， 【详解】（1）底面，底面， ， 是的中点, ， 则平面，平面， 平面. （2）因为，所以， 则三棱柱的体积，所以. 如图，以点为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以. 8．（25-26高二上·上海·月考）在直三棱柱中，分别为的中点，．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与的所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得出平面； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量进行求解． 【详解】（1）分别是的中点，， 平面，平面， 又平面，， 是的中点，， 又，平面，平面， 平面． （2）以为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    则， 得，， 则， 设异面直线与的所成角为， 得， 故异面直线与的所成角为． 9．（25-26高二上·上海·期中）在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系， 则,,,,, 即，， ， 即异面直线与所成角为； （2）由（1）的，，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角为； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 且，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 又二面角为锐二面角， 即二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 易错点3：求三种空间角的三角函数值 1．（25-26高二上·上海普陀·期中）在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】 根据异面直线所成角的求法求解；或建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求解. 【详解】方法一：如图所示，连接，由，得四边形是平行四边形，所以. 所以即直线与所成的角. 在中，， ， ， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 方法二：长方体中，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 则，所以. 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 【答案】 【分析】设二面角的平面角为，根据题意分析可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，得，进而即得. 【详解】取的中点， 因为底面是边长为2的菱形，且， 由余弦定理得， 所以,则，即得， 如图所示，分别以、、为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，，则， 令，则，即可得， 因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， , 所以二面角的正切值是． 故答案为： 3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别满足、.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判断证明结论； （2）在上取，使，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，则平面； （2）在上取，使，则，而，则， 所以为平行四边形，则，又，则， 又平面，则可构建如下图示的空间直角坐标系， 则，又、， 所以，则， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 由图，锐二面角的余弦值为. 4．（25-26高二上·江苏镇江·月考）如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面； （2）因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，点在上，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用向量法证明； （2）由（1）可证明平面，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ， 故，即. （2）因为，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，故平面， 所以，由（1），又平面， 所以平面，即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 6．（25-26高二上·上海·月考）如图，在正方体中，棱长为2，M是棱的中点，是DM的中点，. (1)证明：平面ABCD； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】（1）取CD的中点，在BC上取，连接PE，EF，QF， 由是DM的中点，是的中点，得，且， 由，得且， 所以， 所以四边形PEFQ是平行四边形， 所以， 而平面平面ABCD， 所以平面ABCD. （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设平面CPQ的法向量为，则，取，得， 设二面角的大小为，则， 所以，所以二面角的正弦值为. 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）由平面得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，得到 ，设异面直线与所成的角为，由求解. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以，又，且， 平面， 平面， 所以平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则 . 8．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 9．（24-25高二下·上海虹口·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 三角形中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 且，四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 中，则， 平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 10．（24-25高二下·上海杨浦·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相关点的坐标. 利用向量垂直的性质求出点的坐标，进而得到直线的方向向量.求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解与平面所成角的正弦值. （2）分别求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式求解二面角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，，， 设.所以，. 因为直线与所成角为，即. 根据向量垂直的性质，则， 即，解得，所以，那么. 设平面的法向量为，，. 由，可得. 令，则，，所以. 设与平面所成角为. 根据线面角的向量公式. ，，. 所以. （2）对于平面，其法向量已求得为. 平面的法向量：因为平面，所以可作为平面的一个法向量. 设二面角为，根据二面角的向量公式. ，，. 所以，观察图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 11．（24-25高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行的传递性及线面平行的判定定理即可证明； （2）取线段中点，由面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解. 【详解】（1）因为分别为棱的中点， 所以，又因为， 所以， 平面，平面， 所以直线平面. （2）取线段中点，连接，则正三角形中有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，分别以向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 设直线与平面所成的角为， . 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为. 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期中）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：且相交，可得，故A错； 对于B：若，则或相交或在内，故B错； 对于C：设的方向向量为，的法向量分别为， 由可得：， 即， 所以， 所以，故C正确， 对于D，若，则，或在内，故D错； 故选：C 2．（24-25高二上·上海·月考）如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【分析】设所有棱长均为2，建系标点，利用空间向量求线面夹角可得，结合复合函数单调性分析判断. 【详解】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，， 可得，，， 设平面BDE法向量，则， 令，则，可得. 设直线BF与平面BDE所成角为， 则， 令，可知在内单调递减，且， 则，可知在内单调递减， 可得在内单调递增，所以随着x增大而增大. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为（），，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次求出各反射点的坐标，利用空间两点之间的距离公式求出线段，，，的长度即可. 【详解】直线的方程为：， 交平面于点，所以； 直线被平面反射， 反射线方程为：， 交平面于点， 所以； 直线被平面反射，反射线方程为：， 交平面于点， 所以； 直线被平面反射，反射线方程为： 交平面于点， 所以. 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：因为直线是与长方体的各个面相交，所以时刻要注意条件. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（   ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件确定点的位置，利用空间向量判断空间线面的位置关系，求异面直线所成的角，和点到平面的距离，判断各命题的准确性. 【详解】由题意，可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 对①：当，，时，点在平面上，所以平面就是平面， 因为，平面，平面，所以平面. 即平面，故①正确； 对②：当，时，点在线段上. 因为，， 所以，所以， 即异面直线与所成的角不是，故②错误； 对③：当，时，点位于线段上. 此时，，其中， 此时，所以，故③正确； 对④：当时，点位于平面上，则线段的长度最小值为点到平面的距离，设为. 由.即线段的长度最小值为.故④正确. 故选：D 二、填空题 5．（25-26高二上·上海·月考）已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据共面向量可知存在实数，使得，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 若、、是共面向量，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：7. 6．（25-26高二上·上海·期中）空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积 【答案】/ 【分析】设，先求出，再利用点到直线的距离的向量公式求中边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可. 【详解】不妨设，则， 且，与同方向的单位向量为，， 则中边上的高， 故的面积为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海·期中）已知向量 ，若 四点共面，则 . 【答案】3 【分析】根据空间向量共面的充要条件可得. 【详解】因为 四点共面，所以共面，所以存在实数对使得， 即. 所以，解得. 故答案为：3. 8．（24-25高二下·上海·月考）在四棱柱中，底面为平行四边形，已知，且，则异面直线与所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由空间向量夹角公式计算夹角余弦值即可得. 【详解】，， 则， 即， 由底面为平行四边形，所以， 所以， 则， 所以， 故异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期中）如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为 .    【答案】 【分析】由，结合向量数量积公式计算即可得模长. 【详解】由， 则 ，则. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，，所以， ，，由，得，即可得的取值范围，又，计算求解即可. 【详解】因为，，，均为单位向量，所以， 设，，，所以， 因为与夹角为，所以， 因为与夹角为，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以，即， 设与的夹角为， ， ， ， 因为为空间中任意单位向量， 所以当，时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：设出空间向量，利用空间向量的模可求解的取值范围，根据空间向量的数量积运算可知当与的夹角为时，可求解最值. 11．（24-25高二上·上海·月考）棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，设平面的法向量，利用空间向量法求点到平面距离得到关于的表达式，从而得解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，即， 点到平面距离为，即， 联立，解得， 所以到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，利用求点面距离的向量法得到相关式子，从而得解. 12．（24-25高二上·上海·月考）如图所示，已知正方体的棱长为，为面对角线上的动点，为中点，则的最小值为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算线段长，根据点的位置作和的展开图，问题转化为求的长，利用余弦定理分析特征即可得到结果. 【详解】由题意得，为等腰直角三角形，.    如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，， ∴，.    如图，作和的展开图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长. 在中，由余弦定理得，， 由得，， ∵，∴， ∴，即的最小值为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点，有下列四个结论： ①； ②直线与平面所成角的正切值为3； ③平面； ④平面截正方体的截面周长为. 其中，正确结论的序号有 . 【答案】①② 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方式验证线线垂直、线面角、线面平行以及空间距离. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，那么. 所以，①正确； 因为正方体，所以平面, 因为平面,所以， 因为平面， 所以平面，即是平面的一个法向量， 又，设直线与平面所成角为， 则. 所以，所以，所以②正确； 因为正方体，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面， 平面，即是平面的一个法向量， 因为，所以， 所以与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，所以③错误； 取靠近点的四等分点，易证. 四点共面，所以即为平面截正方体的截面， 所以截面周长为，所以④错误. 故答案为：①②. 三、解答题 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）方法1，利用点到平面距离的向量求法求解；方法2，找出点C到平面的距离求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以点C到平面即直线CD到平面的距离. 方法1：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量. 所以点C到平面的距离. 方法2：连接交于点，则， 因为平面 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以是点C到平面的距离， 因为，所以，即直线CD到平面的距离为. 15．（25-26高二上·上海嘉定·期中）已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可； （2）根据线面角和异面直线所成角的定义，找出和，再结合三角函数的知识，求证即可； （3）由题意知在平面上的投影为，由得出，利用勾股定理和判别式，即可求出棱长的最大值． 【详解】（1）若正四棱柱的高为1，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 则点到平面的距离为， （2）证明：设正四棱柱的高为，连接，    因为平面， 所以是与底面所成角，即， 所以，即， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 在中，，， 所以，即， 所以． （3）连接，    由题意知，在正四棱柱中，在平面上的投影为， 因为，所以， 设，则，设棱长，则； △中，，即， 化简得，，因为，解得， 即的最大值为． 16．（24-25高二上·上海·月考）如图，在  中，  D是AC中点， E、F分别是BA、BC边上的动点，且   将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证： 平面 (2)若 ， 二面角 是直二面角，求二面角的正切值： (3)当 时，求直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理即得. （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可. （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面，平面， 所以平面. （2）由，得，在四棱锥中，， 平面，平面平面，则， 由二面角是直二面角，得平面平面，平面平面 ， 平面，平面，以 分别为 轴建立空间直角坐标系， ， 设平面法向量为 ，则，令， 得 ， 而平面法向量为 ，显然二面角大小为锐角，设为， ，， 所以二面角的正切值. （3）以直线和分别为轴，过C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且，，即， 平面的法向量为，设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则 ，令，函数在上递减， ，因此，则，解得， 所以直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围是. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 17．（24-25高二上·上海松江·月考）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，写出和的值； (2)已知，求的最小值及此时的值； (3)设，求证：； 【答案】(1)4，3 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由向量的坐标，利用新定义求和的值； （2）由向量的坐标，表示出，利用分段函数的单调性求最小值及此时的值； （3）由新定义，有，，所以. 【详解】（1），故， ，故； （2），于是 ， 由一次函数单调性可知，当时，. （3）， 因为， 所以，， 所以，，， 所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 18．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解； （2）根据空间点到平面的距离向量公式运算得证； （3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球心的坐标，进而求得顶点的坐标，利用（2）的结论求出四面体的高，运算求得四面体的体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由，解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是理解新定义，求出四面体的各个顶点坐标运算得解. 19．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设基向量，根据空间向量的线性运算可得，又因三点共线可得，即可求得； （2）利用空间向量的数量积运算可得，从而得到不等式，求解得到的最大值； （3）利用空间向量的基本定理与线性运算得到，，再利用向量法求异面直线的夹角的余弦值得到，从而求得的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $