专题03 空间向量在立体几何中的应用的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题03 空间向量在立体几何中的应用的六种题型 题型一：平面法向量的概念及求解 题型二：用向量证明空间中的平行和垂直问题 题型三：空间向量求异面直线夹角 题型四：空间向量求二面角 题型五：用向量求异面直线间的距离 题型六：用向量求点或直线到平面的距离 题型一：平面法向量的概念及求解 1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为 . 7．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为 ． 8．在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为 （用向量的坐标表示）． 9．如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量 ．（注：法向量要用来表示）    10．已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量 ，点P的坐标满足的方程是 . 11．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 12．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 题型二：用向量证明空间中的平行和垂直问题 1．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 5．已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 6．在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（    ） A． B． C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为 7．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 9．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    10．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 11．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是 ． 12．正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则 ． 13．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若 ，则 . 14．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 15．如图在多面体中，，，平面，，为线段上一点且，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行． 16．如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为 (1)求的长； (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面求． 17．如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 题型三：空间向量求异面直线夹角 1．如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 2．在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 5．设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 6．在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 7．若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则＝ ． 8．在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 9．如图，在正方体中，，分别为棱和的点，则与所成角的余弦值的范围是    10．若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 11．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是 .    12．如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 13．如图，在三棱柱中，. (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 14．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 15．如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 题型四：空间向量求二面角 1．在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为．若，则二面角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 4．相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，则与Oxy平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．    7．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 8．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 ． 9．已知正方体的棱长为，若点在正方体的内部，且满足，则平面与平面所成二面角的余弦值为 . 10．如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别是，的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 12．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 14．如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，且. (1)证明：平面； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值. 15．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 题型五：用向量求异面直线间的距离 1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 5．在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 6．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 7．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点. (1)证明：AE⊥平面PCD． (2)求平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值. (3)若H，Q分别是直线AE，CF上的动点，求HQ长度的最小值. 9．如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 10．如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 11．如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 题型六：用向量求点或直线到平面的距离 1．若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （    ） A． B． C． D． 6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为 . 8．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最大值是 . 9．已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为 . 10．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 . 11．已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为 . 12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 13．如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是线段上的一个动点，点在上，且满足. (1)证明：平面平面. (2)若，，，四点共面，求到平面的距离. 14．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 15．定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点， 且法向量为的平面的点法向式方程为 ， 将其整理为一般式方程为，其中. (1).已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2).请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3).斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量在立体几何中的应用的六种题型 题型一：平面法向量的概念及求解 题型二：用向量证明空间中的平行和垂直问题 题型三：空间向量求异面直线夹角 题型四：空间向量求二面角 题型五：用向量求异面直线间的距离 题型六：用向量求点或直线到平面的距离 题型一：平面法向量的概念及求解 1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 2．已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案. 【详解】设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 选项A：，故在平面内； 选项B：，故在平面内； 选项C：，故不在平面内； 选项D：，故在平面内； 故选：C 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 4．已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 5．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论． 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故答案为： 7．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 8．在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为 （用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 9．如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量 ．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 10．已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量 ，点P的坐标满足的方程是 . 【答案】 【分析】利用向量坐标运算求出向量，再由平面的法向量的意义，结合数量积得点的坐标满足的方程． 【详解】由点在平面上，是平面上任意一点，得向量 ， 由是平面α的一个法向量，得，即， 所以点的坐标满足的方程是. 故答案为：， 11．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 12．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 【答案】9 【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出. 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 题型二：用向量证明空间中的平行和垂直问题 1．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】C 【分析】根据空间向量的垂直与共线的定义即可判断. 【详解】依题意，都不是零向量， 由可得，又，则可得，即. 故选：C 2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面与平面垂直的向量表示可以得出答案. 【详解】由题意得，,即,解得. 故选：B 3．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用空间向量研究空间位置关系，一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 易得，故C错误； 对于D，若，则，即，易得， 故D错误. 故选：A 4．已知直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用直线方向向量和平面法向量的关系证明线面关系即可. 【详解】由已知得直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 可得，则或，故D正确. 故选：D 5．已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（    ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【分析】由题意为直线与所成的角，即可判断A；举反例判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证线线垂直和线面平行判断B、D. 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 6．在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（    ） A． B． C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为 【答案】B 【分析】利用向量垂直的条件，即可判断A；通过计算向量的数量积判断其位置关系，即可判断B；利用法向量的定义，即可判断C，利用向量的夹角公式求出，进而求解三角形的面积，即可判断D． 【详解】因为，，，， 所以，，，． 对于A：，所以，故A正确； 对于B：，所以，故B错误； 对于C：由A、B可得：，，所以是平面的一个法向量， 故C正确； 对于D：因为，，所以， 所以，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为，故D正确． 故选：B 7．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点在平面内，则需满足，设点的坐标依次为A，B，C，D中的坐标，求出，然后验证是否成立即可． 【详解】A，若，则，． B，若，则，． C，若，则，． D，若，则，． 一题多解    多方法解题 设，则，若点在平面内， 则，则． 依次验证A，B，C，D中的坐标知，只有B选项中的坐标满足（即）． 故选：B. 8．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据得，然后利用空间向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为，所以，故，解得，则． 故答案为： 9．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 10．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 【答案】/ 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 11．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】以为空间一组基底，得到，得到⊥，即⊥. 【详解】以为空间一组基底， 则 ＝· ＝· ， 所以⊥，即⊥. 故答案为：垂直 12．正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则 ． 【答案】/0.125 【分析】建立空间直角坐标系，由题设分别写出四点的坐标，利用垂直关系即可求解． 【详解】正三棱柱中，在平面内过作，以为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 则，由， 得，解得， 所以. 故答案为：. 13．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若 ，则 . 【答案】 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故答案为：. 14．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【详解】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则 ； （2）由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 15．如图在多面体中，，，平面，，为线段上一点且，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行． 【答案】(1) (2)证明见解析． 【分析】（1）建立空间直角坐标系计算异面直线所成角的余弦值； （2）先求平面的法向量，再应用得出直线与平面不平行. 【详解】（1）因为，平面，， 所以以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 设异面直线与所成角为， 则； （2）设平面的一个法向量为， 因为，所以， 所以，所以， 令，则， 因为不是，所以直线与平面不平行． 16．如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为 (1)求的长； (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面求． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，记，应用向量法求面面角的余弦值，得到方程求参数，即得结果； （2）设，得，进而可得，结合线面平行及向量垂直的坐标表示求参数，即可得解； 【详解】（1）如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 记，则，，，，BC中点 因为平面ABC，平面ABC，所以，又， 由 且都在平面内，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又，， 设为平面的法向量，有，则， 令，所以平面的一个法向量， ，解得． （2）由（1）知，， 设，则，， 因为平面，所以，由（1）知 所以，解得，所以． 17．如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 题型三：空间向量求异面直线夹角 1．如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以. 故选：C 2．在正三棱锥中，是侧棱的中点，.若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件证明出两两垂直，再通过向量法求解出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设在平面内的射影点为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，且，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为几何体是正三棱锥，所以两两垂直； 以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则，所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 3．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱中，，，为的中点. 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 则，， 设异面直线与所成角为， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 4．在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得， 则直线与所成角的余弦值为， 所以直线与所成角的大小为， 故选：C 5．设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 6．在正四棱柱中，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】    如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则， 则，设， 则，因为， 所以，解得， 所以，则， 因此， 即直线与直线所成角的余弦值为， 故答案为：. 7．若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则＝ ． 【答案】 【分析】根据直线夹角与其方向夹角大小的关系，利用空间向量夹角求异面直线所成角的余弦值. 【详解】由题意，两条异面直线所成角为两个方向向量的夹角或其补角， 所以. 故答案为：. 8．在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先判断点的轨迹，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BP与直线SC 所成角的余弦值. 【详解】设，连接，则平面， ，则， 则，，则， 所以在以为原点，半径为的圆上， 当A，P两点间距离最小时，在上， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设直线BP与直线SC 所成角为， 则. 故答案为： 9．如图，在正方体中，，分别为棱和的点，则与所成角的余弦值的范围是    【答案】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，利用空间向量法求解线线角可得，根据换元法，结合基本不等式和二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】建立如图空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，， 则， 设，则， 当或时，； 当或时，令， 则， 当且仅当时，等号成立， 令，则，函数在为增函数， 所以，故，得. 故答案为： 10．若异面直线 的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/0.4 【分析】先分别求出两个方向向量的模长，再利用向量夹角公式求出向量夹角的余弦值，最后取绝对值得出异面直线夹角的余弦值． 【详解】异面直线 的方向向量分别是， ，， ， 异面直线与的夹角， ． 故答案为：． 11．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，运算得解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 故 设异面直线和所成的角为，则， . 异面直线和所成的角是. 故答案为：. 12．如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 13．如图，在三棱柱中，. (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）由空间向量线性运算可得，由向量数量积运算律计算即可求解； （2）由空间向量线性运算可得，进而可得，由空间向量夹角公式计算即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， 因为， 所以，，， 故，所以； （2）因为， 所以，即， 因为， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值. 14．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算直接表示即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）在直四棱柱中， 因为底面是菱形，且，分别为，的中点， 所以，. （2）因为在直四棱柱中，平面， 所以，，即，， 因为，，所以， 所以 . ， ， 所以，， 设直线与所成角的大小为，则. 所以直线与所成角的余弦值为. 15．如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）连接DG、CE，利用平行四边形性质及线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面ABG的法向量，然后利用点面距的向量公式列方程求解即可； （ii）法一：设，由（i）得，设直线AP与直线DQ所成角为，可得，利用正弦函数性质求解最值即可； 法二：设，则，由（i）得，设直线AP与直线DQ所成角为，可得，然后按照和分类求解最大值即可. 【详解】（1） 连接DG、CE，因为， 所以为等腰直角三角形，， 在半圆DGC上，是半圆弧中点，所以，所以， 因为，所以四边形ECBF为在平行四边形，， 所以，在半圆DGC上，，所以， 又因为平面平面ABF，所以， 因为平面平面， 所以平面BCG . （2）（i）由题意，构建如图示空间直角坐标系. 设，则， 所以， 若是平面ABG的一个法向量， 则，令，     因为点到面ABG的距离， 所以，解得，即 所以. （ii）（法一）设，其中， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 其中， 所以， 等号成立当且仅当， 所以直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值为. （法二）设，其中， 则， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 ， 当时，， 所以， 令在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， ， ， 所以， 综上，此时. 16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    (1)试用向量，，表示向量； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. 【详解】（1）因为是的中点， 所以. （2）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.             因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 题型四：空间向量求二面角 1．在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间平面夹角向量公式，利用基本不等式求解范围即可. 【详解】以点A为坐标原点，分别为轴，过点A垂直平面的线为z轴，建立空间直角坐标系，如图： 则．设，因为，． 所以，所以，．易知平面的一个法向量为， 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 设平面与平面夹角为， 所以 . 令，则， 所以， 当且仅当即，即时，等号成立，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 故选：B 2．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接可得解. 【详解】由题意得平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 3．在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为．若，则二面角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用法向量和平面垂直的关系可得两个法向量所成角与二面角相等或者互补，从而可求． 【详解】当二面角为锐角时，其大小为；当二面角为钝角时，其大小为． 故选：C． 4．相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与相等或互补即可求解. 【详解】由题可知与相等或互补，且为锐角，故ACD错误， ，B正确， 故选：B 5．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，则与Oxy平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得平面Oxy的法向量，根据向量夹角公式，可得，分析即可得答案. 【详解】因为平面Oxy的法向量为， 所以， 因为，所以， 则平面与Oxy平面的夹角为. 故选：D 6．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．    【答案】 【分析】以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进一步得平面与平面夹角的余弦值的最大值的表达式，结合换元法、基本不等式求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 7．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，，平面夹角的余弦值即为两个法向量所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式计算即可. 【详解】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为， 依题意得：，令，可取， 同理可得平面的一个法向量为． 故平面与平面夹角的余弦值为．    故答案为： 8．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】代入余弦公式即可求得. 【详解】设两个平面的夹角为，则. 则与的夹角为. 故答案为： 9．已知正方体的棱长为，若点在正方体的内部，且满足，则平面与平面所成二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由，求出点的坐标，再求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，所以，，，故，从而点的坐标为. 显然平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，. 令，得，故可取，则. 由于点在正方体内部，故平面与平面所成二面角为锐角，所以该二面角的余弦值为. 故答案为：. 10．如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而求出两个面所成角的余弦值. 【详解】如图，平面内，过点作的垂线交于， 以为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    ∵，∴，又， ∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为， 则有，，，， 设平面的法向量为， ∵，， ∴，取，得平面的一个法向量为， 又，设平面SAB的法向量为， ，即令，则， ∴. 故平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，分别是，的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，再根据线面平面推得线线，则可证平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据线面角的向量公式求解即可； （3）由（2）可知平面的法向量，再求出平面的法向量，进而根据面面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）连接，因为底面是正方形，，分别是，的中点，所以， 因为，所以， 因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ， ， 则， 令，则，，所以， 又 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）可知平面的法向量，设平面的法向量为， ， ， 则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 12．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，进而求出平面法向量，最后根据向量夹角公式求出二面角的余弦值. （3）根据点到平面的距离公式，利用（2）中求出的平面法向量和相关向量计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 由已知条件可知，四边形是正方形，所以. 又，，平面，所以平面. （2）以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为，可得，，，，，. 则，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为. 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3） ，平面的法向量为. 又，， 点到平面的距离为. 13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【详解】（1）因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2）依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3）依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 14．如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，且. (1)证明：平面； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）如图，过点作 交于点，连接， 则平面. 在正方体中，. . 又 . 平面平面平面. 平面平面， ∴平面平面， 平面. （2）以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. ， 则， 当，即分别为的中点时，的长度最小， 此时. 设向量为平面的应该法向量， 则令，则. 易知平面即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 15．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以. （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又，，，， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面，得是平面的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 题型五：用向量求异面直线间的距离 1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， .    故选：D. 2．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 3．如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求. 【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得， 因此，. 故选：. 4．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解. 【详解】    如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 由题意得， 则. 设异面直线与的公垂线的方向向量， 则，即，令，得，， 所以异面直线与之间的距离. 故选：C. 5．在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 6．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则 . 故答案为： 7．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点. (1)证明：AE⊥平面PCD． (2)求平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值. (3)若H，Q分别是直线AE，CF上的动点，求HQ长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形性质得到，再证明平面，由线面垂直的定义转化得到，再由线面垂直的判定定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，找到相关点和向量的坐标，利用向量法求解面与面的夹角的余弦值， （3）求HQ长度的最小值，即求异面直线AE与CF的距离，利用向量法直接求解. 【详解】（1）∵侧面是正三角形，E是PD的中点， ∴. ∵侧面底面ABCD，侧面底面，， ∴平面 ∵平面 ∴. ∵平面， ∴平面； （2）如图，以AD的中点O为原点，建立空间直角坐标系. ，，，，. 设平面EFC的法向量为， 则， 取，则，，得. 易得平面ABCD的一个法向量为， ∴平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值为. （3）当HQ的长度取得最小值时，直线HQ是直线AE与CF的公垂线. 由（2）得，，，， 设向量，由，，得， 令，得，，得. 故HQ长度的最小值为. 9．如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 10．如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法分析可知，直线与直线既不平行，也不相交，由此可证得结论成立； （3）设，，、，求出点、的坐标，根据可得出，再利用空间向量的模长公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 11．如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】根据题意可得到，又平面，可以建立空间直角坐标系，利用数量积可得证. 求得平面的法向量，易得平面的一个法向量是，利用夹角公式求. 利用得点，得点，根据两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）因为，，，是的中点， 所以，两边平方，得， 即，得， 所以.    又平面，所以，，两两垂直., 如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 所以，， 所以， 所以. （2）由题意，知平面的一个法向量是. 易得，. 设平面的法向量是，则即 令，得，所以平面的一个法向量是， 所以， 由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）因为点N，Q分别是直线，上的动点， 设，，则，所以. 设，，则，所以， 所以 所以当，时，取得最小值，为. 题型六：用向量求点或直线到平面的距离 1．若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】，点到平面的距离. 故选：A. 2．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则有，令， 则解得，所以， 而，设，故， 设，则，得到，解得， 可得，即，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故A正确. 故选：A 3．已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】证明出四点共面后，根据当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以 ， 所以四点共面，当平面时，有最小值． 可得，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离，故A正确. 故选：A． 4．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中长度，可证OA，OB，OC两两垂直，如图建系，根据条件可得，设，，则，所以，，，四点共面，求得各点坐标，进而可得平面的一个法向量，根据点到平面距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以，即， 同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 所以，设，， 则，所以，，，四点共面， 因为，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 因为，所以的最小值为. 故选：D. 5．我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】在平面上任取一点，不妨取原点，设点为， 所以，点为坐标原点， 由题意平面的法向量为， 则点到平面的距离． 故选：D 6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】应用点到平面的距离公式结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】由题意知，则，， 所以点P到平面的距离. 故选：C. 7．已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，利用点到面的距离的向量法公式求解即可. 【详解】由题意知平面的法向量，而由可得，于是， 所以，故点到的距离. 故答案为： 8．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据类比性质，可知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，从而的最大值就是球心到平面的距离加上球的半径，再对距离与半径进行计算即可. 【详解】如图，由题，当与共线时，则，即，此时的点记作点，则， 所以动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，   的最大值就是球心到平面的距离加上球的半径. . ， . 故答案为：. 9．已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为 . 【答案】 【分析】运用点到平面距离的向量求法即可. 【详解】由题可知，在平面内，，. 故答案为：. 10．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【详解】由题意可知平面的一个法向量是，且， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 11．已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件及四棱锥的几何性质，求出相应的边长，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算求解． 【详解】（1） 平面，，平面， 互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，为棱的中点， ， ， ， ． （2）设平面的法向量为， ， ，令，则， ， 点到平面的距离． 13．如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是线段上的一个动点，点在上，且满足. (1)证明：平面平面. (2)若，，，四点共面，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，法一：求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直证明面面垂直；法二：先用向量法证明，进而利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可；法三：结合直棱柱的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可； （2）利用共面向量定理求得，利用线面垂直的判定定理得是平面的一个法向量，进而利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面， 又因为，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 因为，， 所以，，，，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 法一：设平面的法向量为，，， 所以， 令，则，所以， 设平面的法向量为，，， 所以， 令，则，所以， 因为，所以，即平面平面； 法二：，，， ，所以， ，所以， 则，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面； 法三：在直四棱柱中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，点为的中点，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面，所以， 因为平面，，平面， 所以，， 因为，所以，， 在中，，所以， 因为为的三等分点，所以， 在中，由余弦定理得 ， 则，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为，，，四点共面，所以，，共面， 因为为线段上的点， 所以设，. 所以，即， 因为，， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得，所以，则， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以，又 ，，平面，平面， 所以，因为，点为的中点，所以， 又，，平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量， 设到平面的距离为，则， 所以到平面的距离为. 14．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出，可知，即可证得； （2）先证明面，得到点到平面的距离等于，再根据三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求得三棱锥的体积； （3）根据点到平面的距离的向量求法求得点到平面的距离. 【详解】【小问1】 在直三棱柱中，平面，平面， 所以.所以. 所以，. 所以，所以是等腰三角形. 因为为中点，所以. 【小问2】 由（1）知. 因为平面，所以平面. 因为∥，平面，平面， 所以∥平面，所以点到平面的距离等于. 又. 则. 【小问3】 如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ， 则. 设平面的一个法向量为. 所以，所以. 令，则，即. . 所以点到平面的距离为. 15．定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点， 且法向量为的平面的点法向式方程为 ， 将其整理为一般式方程为，其中. (1).已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2).请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3).斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题目涉及定义可得直线的方向向量与平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （2）在平面内取一点，又由题意可得平面的法向量，然后由可得点到平面距离公式；由题意可得 所围成的几何体为由这六个顶点形成的正八面体.，然后由所得公式可得答案； （3）由题意可得侧面的法向量，侧面的法向量，据此可得平面与平面的交线的方向向量，然后由平面的一个法向量为，结合题意可得.最后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）因为直线的点方向式方程为， 所以直线的一个方向向量坐标为. 因为平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 故. （2）因为，不妨设， 在平面内取一点， 则向量. 取平面的一个法向量. 所以点到平面的距离为： . 因为.故表示这六个顶点形成的正八面体. 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则，所以内切球的表面积为.    （3）因平面经过三点， 可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得. 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为. 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得. 因为侧面所在平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为，由 ， 则，，解得，即.    故平面与平面夹角的余弦值为： . 58 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $