精品解析：辽宁省沈阳市私立学校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期九年级阶段练习（二） 数学 （范围：九上至九下第二章） 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题分选择题和非选择题两个部分，包括三道大题，23道小题，共8页． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，这是某个工件的三视图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查由几何体的三视图得出几何体，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 根据三视图即可得出答案． 【详解】解：由主视图可知，该几何体有2条被遮住的线，只有D符合题意． 故选：D． 2. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故选A． 3. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型； 根据平行投影的定义判断即可； 【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是： 故选：D． 4. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式需大于零，由此列不等式求解． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∴ ，即 ． 故实数的取值范围是 ， 故选： B． 6. 2025年新学期，合肥市义务教育阶段学校课间由原先的10分钟延长至15分钟．某校课间开展跳绳、踢毽子、趣味游戏三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；用列表或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：：跳绳、：踢毽子、：趣味游戏 列表如下： 列表如下： 共有种等可能结果，他们选择同一项活动的有种结果， 他们选择同一项活动的概率是； 故选：C． 7. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】 解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 9. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形， A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意； B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意； C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意； 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 12. 如图，在▱中，点在边上，，连接交于点，若的面积为24，则的面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键． 14. 如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据点坐标求出点坐标是解题的关键．设点坐标为，由轴可得点的纵坐标为，则，于是可得，即点坐标为，则，进而可得，由此即可求出的面积． 【详解】解：设点坐标为， 轴， 点的纵坐标为，则： ， ， 点坐标为， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作的平行线，延长交平行线于，证明四边形为矩形，可得，，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作的平行线，延长交平行线于 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）把方程化为，再进一步求解即可． （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2） ． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形． （2）若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求OC的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴AFBE， ∴∠AFB=∠FBE， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠FBE， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF， 同理AB=BE， ∴AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴四边形ABEF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到ADBC，从而得到∠AFB=∠FBE，再由∠ABF=∠FBE，推出∠ABF=∠AFB，于是得到AB=AF，同理得出AB=BE，证出四边形ABEF是平行四边形，即可得出结论； （2）过点O作OG⊥BC，根据菱形的性质得到∠OBE =30°，∠BOE=90°，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：解：过点O作OG⊥BC，垂足为G， 由（1）可知四边形ABEF是菱形， ∴ EB=AB=4，∠OBE=， 在RtBOE中，OE=EB=2，OB=， 在RtBOG中，OG=OB=， BG==3， ∴ CG=BC-BG=63=3， ∴ BG=CG，即OG是BC的垂直平分线， ∴ OC=OB=． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 18. 如图，在工厂某处有一堵高的围墙，阳光恰从围墙上点经窗户照进车间地面．当阳光从最高点处照进车间地面点时，测得；当阳光从窗户最低点处照进地面点时，测得．此外，还测得窗户距地面的高度．求窗户的高度． 【答案】窗户的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键，证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 即窗户的高度为． 19. 某运动专卖店销售一款成本价为30元的跳绳．原计划售价为每条50元，为了搞促销活动，连续两次降价，并且每次降价的百分率相同，实际每条售价为元． （1）求该款跳绳每次降价的百分率； （2）该款跳绳至少要售出多少条、总利润才能不低于2100元？ 【答案】（1） （2）200条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该款跳绳每次降价的百分率为x，根据原计划每条的售价为50元，连续两次降价后，最终每条的售价为元，并且每次降价的百分率相同，列出一元二次方程，解方程即可； （2）设要售出y条，总利润才能不低于2100元，根据该款跳绳每条的成本价为30元，每条的售价为元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该款跳绳每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该款跳绳每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设要售出y条，总利润才能不低于2100元， 由题意得：， 解得， 答：至少要售出200条，总利润才能不低于2100元． 20. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度与水平距离之间的函数图象，点为两个水柱的落水点，点为两个水柱的最高点．点的坐标为．喷头的高度为． （1）求右面抛物线的函数关系式； （2）若需要在上的点处竖立雕塑，．，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）顶部不会碰到水柱 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用． （1）根据题意设右边的抛物线为：，再进一步求解即可． （2）当时，，再进一步判断即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为． ∴设右边的抛物线为：， ∵喷头的高度为． ∴， ∴， 解得：， ∴右面抛物线的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：∵， 当时， ， ∵， ∴， ∴顶部不会碰到水柱． 21. 如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． （1）求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； （2）某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 【答案】（1）驿站与驿站之间的距离约为． （2）快递员能在内到达驿站 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，过作于，作于，而，可得四边形为矩形，再进一步求解，，进一步可得答案． （2）利用路程除以速度结合快递员途经，两个驿站各停留存放快递，计算总时间，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过作于，作于，而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴驿站与驿站之间的距离约为． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴总时间为：， ∴快递员能在内到达驿站． 22. 点是线段上一点，点是线段外一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，连接． （1）如图1、点为的中点、求证：； （2）如图2．．若，求的值； （3）如图3，过点作，交的延长线于点，连接．若，．、求的长． 【答案】（1） 证明：设，， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，，可得，求解,可得，可得. （2）如图，延长交于点，证明，可得. （3）如图，延长交于点，证明，设，则，可得，证明，可得，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； （2）若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①或；②；③或. 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可． （2）①设，当点位于轴左侧时，即，当点位于轴右侧时，且时，当点位于轴右侧时，且时，再进一步求解即可. ②设，且，求解直线为：，可得，，再进一步求解即可． ③如图，当的横坐标为，当时，此时只有，此时不符合题意，舍去，当在之间时，即，如图，同理可得：此时只有，延长，过作于点，过作轴的平行线交于，交轴于，如图，当在之间时，此时不符合题意，舍去，当在的左边时，即时，此时只有，如图，记与轴的交点为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点．， ∴， 解得：， ∴抛物线． 当时，， ∴. 【小问2详解】 解：①设， 当点位于轴左侧时，即， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ． ∴． 解得，（舍去）． 当点位于轴右侧时，且时， 当时，函数最大值为， 当时，函数值为，即抛物线顶点为 ∵， ∴此时最高点和最低点的纵坐标之差不超过1，即此时无解； 当点位于轴右侧时，且时， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ∴， 解得 ，（舍去）． 综上所述，或． ②设，且， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为：， ∴， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为． ③如图，当的横坐标为，当时， 此时， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， 此时都不等于，不符合题意，舍去， 当在之间时，即，如图， 此时，，故只有， 延长，过作于点，过作轴的平行线交直线于，交轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴， 如图，当在之间时， 设直线：与抛物线有一个交点，在轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程中， 解得：， ∴直线为， ∴， ∴，而， ∴，， ∴，而 ∴， ∴， ∴，而，此时不符合题意，舍去， 当在的左边时，即时， 此时，，只有，如图，记与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线为， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的二次函数与几何综合，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级阶段练习（二） 数学 （范围：九上至九下第二章） 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题分选择题和非选择题两个部分，包括三道大题，23道小题，共8页． 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，这是某个工件的三视图，这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 3. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年新学期，合肥市义务教育阶段学校课间由原先的10分钟延长至15分钟．某校课间开展跳绳、踢毽子、趣味游戏三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为________． 12. 如图，在▱中，点在边上，，连接交于点，若的面积为24，则的面积为___________ 13. 某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______． 14. 如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为___________． 15. 如图，在四边形中，，，，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AD于点F，AE与BF交于点O，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形． （2）若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求OC的长． 18. 如图，在工厂某处有一堵高的围墙，阳光恰从围墙上点经窗户照进车间地面．当阳光从最高点处照进车间地面点时，测得；当阳光从窗户最低点处照进地面点时，测得．此外，还测得窗户距地面的高度．求窗户的高度． 19. 某运动专卖店销售一款成本价为30元的跳绳．原计划售价为每条50元，为了搞促销活动，连续两次降价，并且每次降价的百分率相同，实际每条售价为元． （1）求该款跳绳每次降价的百分率； （2）该款跳绳至少要售出多少条、总利润才能不低于2100元？ 20. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度与水平距离之间的函数图象，点为两个水柱的落水点，点为两个水柱的最高点．点的坐标为．喷头的高度为． （1）求右面抛物线的函数关系式； （2）若需要在上的点处竖立雕塑，．，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 21. 如图．点为某物流中心、为三个驿站，在的正北方向处，在的正东方向，在的北偏西方向处，在北偏西方向． （1）求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； （2）某日，快递员从该物流中心出发．以的速度沿的路线派送快递到各个驿站、快递员途经，两个驿站各停留存放快递，请计算说明快递员能否在内到达驿站？（参考数据：） 22. 点是线段上一点，点是线段外一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，连接． （1）如图1、点为的中点、求证：； （2）如图2．．若，求的值； （3）如图3，过点作，交的延长线于点，连接．若，．、求的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； （2）若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $