精品解析：江苏省盐城市射阳县2025-2026学年上学期11月期中考试九年级数学试题

2025年秋学期期中考试 九年级数学试卷 试卷总分：150 答题时间：120分钟 一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 2. 如图是盐城市2025年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（ ） A. 10，14 B. 12，14 C. 12，12 D. 11，14 3. 抛物线不相同的是（ ） A. 形状大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 4. 将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D. 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上) 9. 甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是_______班． 10. 将一个小球在如图所示的地撰上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为_____． 11. 已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点_____个． 12. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是_____． 13. 2025年某公司一月份的销售额是50万元，要使三月份的销售额达到98万元，平均每月销售额增长的百分率为x，可列方程为______________． 14. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 15. 若函数是关于的二次函数，则____________． 16. 如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点D恰好落在边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F，交于点G，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④扇形围成的圆锥底面积为π．上述结论中．所有正确的序号是______． 三、解答题(本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17. 解方程： （1） （2） （3）（配方法） （4）（公式法） 18. 有六张完全相同的卡片，分A、B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示． （1）若将A组卡片无标记的一面朝上摆在桌上，A组卡片中随机抽取一张，则卡片上标记是“×”的概率为 ． （2）若从A、B两组卡片中随机各抽取一张，用列表法或画树状图法求两张卡片上标记都是“√”的概率． 19. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 20. 学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 21. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 23. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有280人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 24. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 26. 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径应为 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 27. 如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； （3）在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中考试 九年级数学试卷 试卷总分：150 答题时间：120分钟 一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可． 【详解】∵数据的平均数是6， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 如图是盐城市2025年4月日的天气情况，这5天中最低气温（单位：）的中位数与众数分别是（ ） A. 10，14 B. 12，14 C. 12，12 D. 11，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，根据中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：最低气温中，出现的次数最多，故众数为， 将温度按从小到大排列为，，，，，故中位数为． 故选：B． 3. 抛物线不相同的是（ ） A. 形状大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影响． 比较两条抛物线和的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐标．由于二次项系数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y轴；顶点均为原点；但开口方向相反． 【详解】解：抛物线的形状大小相同；对称轴均为；顶点均为，但开口方向相反， 故选：B． 4. 将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵原方程为 ， 展开得 ， ∴ ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ， ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ， 故选：D 5. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，由题意得，，即，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故选：B． 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解：，是的直径， ， 故选：D． 7. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上) 9. 甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是_______班． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 10. 将一个小球在如图所示的地撰上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终没有停在黑色方砖上的概率即停在白色方砖上的概率就是白色区域面积与总面积的比值． 【详解】观察这个图可知：白色区域与黑色区域面积相等，各占，故其概率等于． 故答案为 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 11. 已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键． 由，得到，故直线l与相交，则有两个公共点． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离， ∴，故直线l与相交，有两个公共点， 故答案为：2． 12. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的弧长公式为，其中为圆心角度数，为半径．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：已知 ，， 代入公式得： 故答案为：． 13. 2025年某公司一月份的销售额是50万元，要使三月份的销售额达到98万元，平均每月销售额增长的百分率为x，可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，销售额每月以相同的百分率增长，三月份销售额是一月份的倍，据此列方程． 【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为， 根据题意，得． 故答案为：． 14. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 15. 若函数是关于的二次函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，得且． 解方程得 ， 即 ， 解得 或 又，故， 所以 ． 故答案为：2 16. 如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点D恰好落在边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F，交于点G，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④扇形围成的圆锥底面积为π．上述结论中．所有正确的序号是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据正方形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，，求得，故③正确；根据三角函数的定义得到，求得，根据弧长公式得到弧的长度，设扇形围成的圆锥底面圆的半径为，则有，求得，求得圆锥的底面积，故④正确，根据等腰三角形的性质得到，故②错误，根据已知条件推出与不全等，故①错误． 【详解】解：把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ，，， ， 点是中点， ， ， 将绕点顺时针旋转， ，，， ，故③正确； ， ， ， 弧的长度， 设扇形围成的圆锥底面圆的半径为， 则有， ， 圆锥的底面积，故④正确， ，， ， ，故②错误， ，， ， 与不全等，故①错误 所以所有正确的序号为：③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键． 三、解答题(本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17. 解方程： （1） （2） （3）（配方法） （4）（公式法） 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再系数化1，再由直接开平方法求解； （3）先把常数项移至等号右边，然后等号两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再直接开平方法求解； （4）先求出的值，再由公式求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或， ∴， 【小问3详解】 解： 或 ∴； 【小问4详解】 解： ， ∴． 18. 有六张完全相同的卡片，分A、B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，√”，B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示． （1）若将A组卡片无标记的一面朝上摆在桌上，A组卡片中随机抽取一张，则卡片上标记是“×”的概率为 ． （2）若从A、B两组卡片中随机各抽取一张，用列表法或画树状图法求两张卡片上标记都是“√”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，所有等可能的情况有3种，其中抽取到的标记是“×”的情况有1种， 则卡片上标记是“×”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： √ × √ √ （√，√） （×，√） （√，√） × （√，×） （×，×） （√，×） × （√，×） （×，×） （√，×） 共有9种等可能的结果，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种， 两张卡片上标记都是“√”的概率为． 19. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键. 根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为． 20. 学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【答案】长为14米，宽为13米． 【解析】 【分析】设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40-2x）米，由长方形的面积计算公式结合活动场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解方程得x的值，再结合40-2x≤25确定x的值即可． 【详解】设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米，依题意，得： x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）a=1， （2）当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小 （3）顶点坐标为(0，0)，对称轴直线x=0（或轴） 【解析】 【分析】（1）把P代入y=2x-1，求得的值，然后将代入二次函数解析式即可求解； （2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为，进而即可求解； （3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1， 则P(1，1)， 把P代入中得：1=a×1， ∴a=1； 【小问2详解】 解： 由题（1）得， ∵a=1>0， 对称轴为直线x=0， ∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由可得，抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0（或轴） 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，一次函数的性质，的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入，再解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 解得， ∴的取值范围是． 【小问2详解】 解：根据题意得，，， ∵， ∴， 解得：，， 又， ∴． 23. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有280人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15，88.5，96 （2）73人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， ∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：15，88.5，96； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有73人． 24. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 直线是的切线． （2）8 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分定理、等边对等角、圆切线的判定及勾股定理等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． （1）由角平分线定理得，又，可得，结合即可证明即可证明； （2）在中，利用勾股定理求出半径，进而得到的直径． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得，，为的半径， 在中，由勾股定理， 的直径为8． 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）首先确定、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该“快乐方程”的“快乐数”； （2）首先确定、、的表达式，然后求得判别式，根据的取值范围即可确定判别式的取值范围，由判别式是完全平方数可进一步确定判别式的取值，进而求得的值及、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该方程的“快乐数”． 【小问1详解】 解：对于“快乐方程”， ，，， 其“快乐数”为： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于关于的一元二次方程， ，，， ， ， ， 是完全平方数， 或， 若，则， 若，则（与为整数相矛盾，故舍去）， ， ，，， 该一元二次方程变为：， 该方程的“快乐数”为： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的四则混合运算，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，计算单项式乘多项式，合并同类项，不等式的性质，完全平方数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 26. 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径应为 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，正方形的性质． （1）图（Ⅰ）中，三个正方形并排一个矩形，过圆心分别作长和宽的垂线，根据垂径定理得两垂足分别为长、宽的中点，再利用勾股定理求得半径长；图（Ⅱ）（Ⅲ）中，易看出半径即为正方形对角线长； （2）设与交点为，因为垂直即垂直，根据垂径定理推论可得为直径的一部分，即圆心在上．连接、，构成与，设长为，利用勾股定理以为等量关系，列方程求得，再求半径长． 【小问1详解】 解：（Ⅰ）如图①，设圆心为，、、为正方形与圆的交点， ∴， 连接、、，过作于点，作于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； （Ⅱ）如图②，半径为正方形对角线长， 故答案为：； （Ⅲ）如图③，半径为正方形对角线长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图4，设圆心为，与交点为，连接、、． 则垂直平分、，， 在上，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ． 直径为． 27. 如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； （3）在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2） 证明：设， ∵， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点M到两边的距离相等； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了定系数法求函数解析式，勾股定理，等边对等角，等边三角形的性质，解一元二次方程． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得，即，根据平行线的判定和性质证明即可； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $