第十七章 因式分解 单元测试2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章 因式分解 单元测试2025-2026学年人教版数学八年级上册 （满分：120分 时间：90分钟） 校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．把提公因式后， 则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 6．若二次三项式在实数范围内能因式分解，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 7．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 8．利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题5分，共30分） 9．因式分解： ． 10．已知，那么的值为 ． 11．已知二次三项式含有一个因式，则的值是 ． 12．在实数范围内分解因式： ． 13．若，则 ． 3、 解答题（本大题共8个小题，第14、15、16题每小题8分，第17、18题每小题10分，第19题每小题14分，共58分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14．分解因式： (1) ； (2)． 15．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 16．分解因式：（1） （2） 17．数学课上，王老师带领学生探究了与任意两个连续正整数相关的结论，具体如下： 【观察发现】请仔细观察以下算式特点： 【思考猜想】小亮猜想发现：“任意两个连续正整数的乘积与较大数的和，必为较大数的平方．” 小莹猜想发现：“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，必为较小数的平方．” 【推理证明】 结合以上信息，请你判断小亮、小莹两位同学的发现是否正确，并说明理由． 18．观察下列各式：；；；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍； (2)设偶数为2n，试说明比大7的数与的平方差能被7整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 19．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式：； (2)若，求和的值； (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：小明同学仿照上面的方法对进行因式分解，过程如下，请你帮助小明补全横线上的内容，并完成后续的因式分解过程． ______________________ （__________） ___________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章 因式分解 单元测试2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A B C D 1．C 【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶：可提公因式，得，不属于公式法，故A不符合； ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，故B不符合； ：符合平方差公式，可分解为，故C符合； ：不符合完全平方公式的结构，且无法用公式法分解，故D不符合． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是知识点的熟练应用； 根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； ∴选项A：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项B：右边是，不是积的形式； 选项C：右边是，不是积的形式； 选项D：右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 4．B 【分析】此题考查判断因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式，选项B中，左边为多项式，右边为乘积形式，符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解需满足左边为多项式，右边为整式乘积； A：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法； B：左边多项式，右边乘积，符合因式分解； C：左边为平方形式，右边为展开多项式，是整式乘法； D：右边非完全乘积形式，仍含加法； 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式，即可作答． 【详解】解：∵依题意，， ∴， 因此，另一个因式为 ， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查因式分解，根的判别式，根据二次三项式的定义得到，根据其在实数范围内能够因式分解，得到，进行求解即可． 【详解】解：二次三项式在实数范围内能因式分解，则且， 解得且， 故选：B． 7．C 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查因式分解,正确提取公因式是解题的关键．先提取公因数，再提取公因数，计算即可得答案． 【详解】解：原式 ． 故选D． 9． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】． 故答案为：． 10．9 【分析】本题考查的是因式分解的应用，代数式的求值，利用平方差公式分解因式，掌握“利用因式分解再逐步整体代入求值”是解本题的关键． 先利用平方差公式分解因式，再把代入进行计算，再提取公因式2，再代入化简求值即可． 【详解】解：， ． 故答案为：9． 11． 【分析】本题运用了待定系数法，通过设出因式分解的形式，利用等式两边对应项系数相等来确定未知系数，是解决此类问题的常用方法．根据因式分解的意义，若有因式，则可设它分解为的形式，展开后根据对应项系数相等列方程组求解． 【详解】解：∵有因式， 设， 故，， 求得，， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 13． 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．对等式左边进行分组分解，前两项用平方差公式进行因式分解，然后两组提取公因式 ，从而求出 ． 【详解】解： ， 与右边 比较，可得： ． 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用提公因式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．(1)12 (2) (3)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算出的值，再利用完全平方公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （2）先计算出，的值，再利用平方差公式将所求式子变形，最后整体代入计算即可得解； （3）先计算出，的值，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴． 16．（1）（2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．都正确，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，猜想与证明等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设两个连续的正整数分别为m和，分别计算任意两个连续正整数的乘积与较大数的和与差，再作出判断即可． 【详解】解：小亮、小莹两位同学的发现都正确． 理由如下： 设两个连续的正整数分别为m和，则 所以任意两个连续正整数的乘积与较大数的和，必为较大数的平方； 所以任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，必为较小数的平方． 18．(1)19 (2)能，见解析 (3)余数为5，见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用． （1）结合题干，利用平方差公式求解； （2）设偶数为，比大7的数为，比大7的数与的平方差表示为，利用平方差公式变形为，即可求解； （3）变形为，可得余数为5． 【详解】（1）解：， 的结果是3的19倍， 故答案为：19； （2）解：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）解：余数为5，理由如下： 设这个数为n，比n大5的数为， ∴， ∵， ∴被10整除的余数是5， ∴比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5． 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴， ∴； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $