专题7.2 三角函数概念（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题7.2 三角函数概念 教学目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义，并能确定函数值的符号． 2.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 3.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 4.理解诱导公式一～六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 5.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简． 教学重难点 1.重点 任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 2.难点 任意角的三角函数概念的建构过程；会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明；一～六的推导过程及公式的灵活应用；解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题. 知识点01 三角函数的定义 任意角的三角函数的定义： 1.利用单位圆定义任意角的三角函数; 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为______函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2.用角的终边上的点的坐标表示三角函数: 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 3.三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα 【即学即练】 1．已知是角的终边上的点，则（  ） A． B． C． D． 2．已知点在角的终边上，若，则（  ） A． B．为第二象限的角 C． D． 知识点02 三角函数的定义域和函数值的符号 三角函数值在各象限的符号: 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 【即学即练】 1．已知，，则角是（  ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．已知，且，则为第 象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 知识点03 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系: 基本关系式 语言描述 平方关系 商数关系 2.公式的常见变形: 【即学即练】 1．，且满足，则（  ） A． B． C． D． 2．如果，则（  ） A． B． C． D． 知识点04 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)______：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)______：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 2．若，则（  ） A． B． C． D． 题型01 任意角三角函数的定义及应用 【典例1】已知点在角的终边上，若，则（  ） A． B．为第二象限的角 C． D． 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 【变式1】若角的终边过点，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（  ） A．-6 B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则___________ 【变式4】已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 题型02 利用单位圆求三角函数值 【典例1】知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为____________-． 【变式3】已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 题型03 三角函数值在各象限符号的判定 【典例1】若，则为（  ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 判断三角函数值符号的两个步骤： (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号： (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【变式1】若，且，则角是（  ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2】“是第四象限角”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知点是第四象限的点，则角的终边位于第___________象限 题型04 同角三角函数的基本关系 【典例1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号． 【变式1】已知，则“”是“”的（  ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【变式2】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知，，且，下面选项正确的是（  ） A． B．或 C． D． 【变式4】已知，，则的值为________ 【变式5】在平面直角坐标系中，点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 题型05 正、余弦齐次式的计算 【典例1】已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； 关于sinα，cosα的齐次式的求值方法： (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 【变式1】已知角α满足，则=（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】设，则__________ 题型06 三角函数式的化简、求值 【典例1】已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 三角函数式的化简技巧： (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【变式1】已知，则（  ） A． B． C．1 D． 【变式2】若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【变式3】化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 题型07 三角恒等式的证明 【典例1】求证： (1)； (2). 证明三角恒等式的常用方法： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 【变式1】求证： (1)； (2)． 【变式2】求证： (1)； (2)； (3)． 题型08 同角三角函数基本关系的综合应用 【典例1】在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【变式1】如果角的终边在直线上，则__________ 【变式2】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 题型09 诱导公式的简单应用 【典例1】(1)（  ） A． B． C． D． (2)=（  ） A． B． C． D． (3)（  ） A． B． C． D． 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则（  ） A． B． C． D． 题型10 利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 【典例1】若，则（  ） A． B． C． D． 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 【变式1】已知角的终边与单位圆的交点为，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则 ． 题型11 利用诱导公式对三角函数恒等式进行证明 【典例1】求证： 【变式1】证明：． 【变式2】已知，求证：. 题型12 诱导公式的综合应用 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 诱导公式综合应用要“三看”： 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 【变式1】已知角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 题型13 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 【典例1】若为第二象限角，且，则的值是 ． 【变式1】知，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知为锐角，且，则角（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知角，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 1．已知角的终边经过点，则（  ） A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，角的终边在射线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．知，则“”是“，”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（  ） A． B． C． D．1 6．设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，，则下列选项中正确的有（  ） A． B． C． D． 9．（多选）在中，下列选项中正确的有（  ） A.； B.； C.； D.. 10．若，则__________ 11．设，则___________. 12．若，则的值为____________- 13．已知. （1）化简函数； （2）若，求. 14．已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 三角函数概念 教学目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义，并能确定函数值的符号． 2.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 3.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 4.理解诱导公式一～六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 5.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简． 教学重难点 1.重点 任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 2.难点 任意角的三角函数概念的建构过程；会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明；一～六的推导过程及公式的灵活应用；解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题. 知识点01 三角函数的定义 任意角的三角函数的定义： 1.利用单位圆定义任意角的三角函数; 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2.用角的终边上的点的坐标表示三角函数: 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 3.三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα 【即学即练】 1．已知是角的终边上的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【解析】因为为角终边上的一点， 所以，，， 所以． 故选：A 2．已知点在角的终边上，若，则（  ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【解析】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D. 知识点02 三角函数的定义域和函数值的符号 三角函数值在各象限的符号: 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 【即学即练】 1．已知，，则角是（  ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】分别根据条件确定所在的象限，即可判断选项. 【解析】由可知，是第一或第三象限角， 由可知，是第二或第三象限角， 所以是第三象限角. 故选：C. 2．已知，且，则为第 象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 【答案】二 【分析】判断出角的正余弦的符号后可判断角所处的象限. 【解析】由，得，则且， 又，则，故为第二象限角． 故答案为：二. 知识点03 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系: 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.公式的常见变形: 【即学即练】 1．，且满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，即可求解. 【解析】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A. 2．如果，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解. 【解析】由，得. 故选：B. 知识点04 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4．用诱导公式求值 用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. 【即学即练】 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解析】． 故选：D． 2．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【解析】. 故选：D. 题型01 任意角三角函数的定义及应用 【典例1】已知点在角的终边上，若，则（  ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【解析】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 【变式1】若角的终边过点，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【解析】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：C. 【变式2】已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（  ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【解析】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 【变式3】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则___________ 【答案】 【分析】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【解析】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故答案为： 【变式4】已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【解析】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 题型02 利用单位圆求三角函数值 【典例1】知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【解析】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 【变式1】在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【解析】由题意，且，解得， 所以. 故选：D. 【变式2】已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点，则以射线为终边的角的正切值为____________-． 【答案】1 【分析】先求出点坐标，再根据三角函数的定义求值；再求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； 【解析】由题意可知点坐标为， 所以，. 由题意可得点坐标为，所以. 【变式3】已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解析】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 题型03 三角函数值在各象限符号的判定 【典例1】若，则为（  ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【解析】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 判断三角函数值符号的两个步骤： (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号： (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【变式1】若，且，则角是（  ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限. 【解析】由，，得，， 因此，所以角是第四象限角. 故选：D 【变式2】“是第四象限角”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可求解． 【解析】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立； 当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立， 所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】已知点是第四象限的点，则角的终边位于第___________象限 【答案】二 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【解析】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故答案为：二 题型04 同角三角函数的基本关系 【典例1】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出的平方的值，结合角的范围，判断的正负，即可求得答案. 【解析】因为， 所以 ， 而，故， 故， 故选：B. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号． 【变式1】已知，则“”是“”的（  ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系结合充分条件、必要条件定义进行判断即可. 【解析】充分性：若，又，则，故充分性成立； 必要性：若，，则，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解析】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【变式3】（多选）已知，，且，下面选项正确的是（  ） A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角的基本关系和可求出的值，进而求出的值，然后就可以验证C，D选项. 【解析】由，，可得， ， ， 解得或. ，，经检验，当时，，不合题意， ， 此时，，. 故A项正确，B项错误，CD项正确. 故选：ACD. 【变式4】已知，，则的值为________ 【答案】 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解析】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故答案为： 【变式5】在平面直角坐标系中，点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由三角函数定义求得，进而求出，再由即可得出答案； （2）由同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】（1）点在角的终边上，， ，， 所以，， 所以. （2） 题型05 正、余弦齐次式的计算 【典例1】已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； 【答案】(1)3；(2) 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； 【解析】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； 关于sinα，cosα的齐次式的求值方法： (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 【变式1】已知角α满足，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的商数关系“弦化切”，即可求值. 【解析】由题意，， 故选：C. 【变式2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解. 【解析】由 . 所以 . 故选：B. 【变式3】设，则__________ 【答案】 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解析】因为， 所以 . 故答案为： 题型06 三角函数式的化简、求值 【典例1】已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【解析】（1）∵为第二象限角，∴ ∴ . （2）由，得， ∴， 所以 . 三角函数式的化简技巧： (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【变式1】已知，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【解析】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A. 【变式2】若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解. 【解析】 ， 由于，所以，故， 故选：D. 【变式3】化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由已知可求，利用诱导公式化简所求即可计算得解. （2）将平方得出，再将平方，根据 的范围， 即可得解. 【解析】（1） 所以 （2）， 所以， 又，，则，故 而， 所以. 题型07 三角恒等式的证明 【典例1】求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 证明三角恒等式的常用方法： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 【变式1】求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式2】求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解析】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 题型08 同角三角函数基本关系的综合应用 【典例1】在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得. （2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得. 【解析】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点的坐标为． 【变式1】如果角的终边在直线上，则__________ 【答案】 【分析】先求出，再由弦化切公式转化为进行求解； 【解析】 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 故答案为: 【变式2】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，再代入计算可得. 【解析】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以； （2）因为角的终边经过点，所以，， 所以 . 题型09 诱导公式的简单应用 【典例1】(1)（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【解析】. 故选：D. (2)=（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【解析】. 故选：A. (3)（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式化简，即可得到结果. 【解析】. 故选：D. 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简即可. 【解析】 故选：C 【变式2】（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解析】． 故选：D． 【变式3】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得解. 【解析】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 题型10 利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 【典例1】若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【解析】，． 故选：. 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． 【变式1】已知角的终边与单位圆的交点为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点求出，结合选项验证即可. 【解析】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C. 【变式2】已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简已知等式，可得，结合角的范围，即得答案. 【解析】因为， 所以，解得或，故或， 由于，则，所以， 故选：A. 【变式3】已知，则 ． 【答案】 【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解 【解析】设，由题意得，， 根据诱导公式五，. 故答案为：. 题型11 利用诱导公式对三角函数恒等式进行证明 【典例1】求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【解析】左边＝＝右边，所以原等式成立． 【变式1】证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【解析】左边右边， 所以． 【变式2】已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【解析】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 题型12 诱导公式的综合应用 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． (1)若点的横坐标为，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0;(2) 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【解析】（1）由题意：， 所以 . （2） . 诱导公式综合应用要“三看”： 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 【变式1】已知角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【解析】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【解析】（1）由题意可知：，则，，， 所以 （2）由题意可知， ∴， ， ∴. 题型13 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 【典例1】若为第二象限角，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【解析】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 【变式1】知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用诱导公式对化简可得，从而得，而，进而可得结果 【解析】因为， 所以，即， 所以，， 所以， 故选：C 【变式2】已知为锐角，且，则角（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简已知条件，结合诱导公式，求得的大小. 【解析】由， 得， 即， 因为，所以， 所以， 解得. 故选：C 【变式3】已知角，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 【变式4】已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式； （2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式可化简得出的值. 【解析】（1）. （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 1．已知角的终边经过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【解析】由题意有， 所以. 故选：A. 2．在直角坐标系中，角的终边在射线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可得答案. 【解析】因为角的终边在射线上，所以在射线上可取点， 所以， 故选：B 3．已知角的终边经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求值计算作答. 【解析】因为角的终边经过点，则， 因此，所以. 故选：B 4．知，则“”是“，”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊角正弦函数值，可得答案. 【解析】由，则可能取值为，故“”是“，”的不充分条件； 由，，则恒成立，故“”是“，”的必要条件. 所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据条件求出、的值，然后可得答案. 【解析】因为第二象限角的终边与单位圆交于，所以， 解得，， 所以， 故选：B． 6．设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，推出是周期函数，周期为，利用周期得，根据推出，再利用单位圆可求出结果. 【解析】因为为奇函数，所以，所以， 又因为，所以，， 所以是周期函数，周期为， 所以， 因为，所以，即，， 根据单位圆中的三角函数线可得：，， 故选：D 7．（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【解析】依题意，，， 两边平方得， ，所以，A选项错误，B选项正确. 则，所以 ，所以D选项正确. 由，两式相减并化简得，所以C选项错误. 故选：BD 8．（多选）已知，，则下列选项中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由，得， 所以，故选项A正确； 因为，，所以，， 又因为，所以，故选项B正确； 因为，故选项C错误； 由，，所以，故选项D错误； 故选：AB 9．（多选）在中，下列选项中正确的有（  ） A.； B.； C.； D.. 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，得到，然后利用诱导公式或者举特例排除可判断四个答案的正确与否. 【解析】根据三角形内角和定理得：， A.，正确； B.当时，，错误； C.当时，，错误； D.，正确. 故选：AD. 10．若，则__________ 【答案】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【解析】. 故答案为： 11．设，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简所求代数式后，利用齐次化切法求值即可解决. 【解析】 又，则 故答案为： 12．若，则的值为____________- 【答案】 【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【解析】因为，所以， 即，得． 所以． 故答案为： 13．已知. （1）化简函数； （2）若，求. 【答案】（1）;（2）1 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数即可； （2）分式中分子分母同除，化弦为切即可求解. 【解析】（1）； （2）因为，所以， 所以. 14．已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解析】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $