专题4.2 等差数列（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题4.2 等差数列 教学目标 1.掌握求等差数列通项公式的方法——叠(累)加法，能够灵活运用等差数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题； 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的3.掌握等差数列前n项和的性质以及等差数列前n项和公式的函数特征； 4.在用等差数列的通项公式及性质解决问题的过程中体会方程思想，运用等差数列的性质解决问题，发展数学运算素养，在等差数列前n项和公式的运用过程中，领悟函数思想，培养用联系的观念思考问题的能力． 教学重难点 1.重点 等差数列通项公式及其性质的应用，等差数列前n项和公式及其性质的应用； 2.难点 等差数列通项公式和前n项和公式的推导方法的的推导等差数列前n项和公式的函数特征。 知识点01 等差数列的定义 1．等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的___________，常用字母d表示. 注：①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 【即学即练】 1．下列数列是等差数列的是（  ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 等差中项 等差中项的定义： 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 【即学即练】 1．已知，，则、的等差中项为（  ） A． B． C． D． 2．方程的两根的等差中项为（  ） A． B． C． D． 知识点03 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. 通项公式的推广形式： 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 等差数列与一次函数的关系： 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的___________，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 等差数列的单调性的判别： 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受___________影响. ①当d>0时，数列为___________数列； ②当d<0时，数列为___________数列； ③当d=0时，数列为___________数列. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 【即学即练】 1．在等差数列中，则等于（  ） A． B．15 C．25 D． 2．若公差为的等差数列满足，，则n等于（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 知识点04 等差数列的性质 等差数列的性质： 设{an}为等差数列，公差为d，则若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 注：①数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为___________的等差数列. ②若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. ③下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为___________的等差数列. ③在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【即学即练】 1．在等差数列中，若，则的值为（  ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．已知等差数列满足，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点05 等差数列的前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式： ①=； ②= 2.等差数列的前n项和公式②与二次函数的关系： 等差数列{an}的前n项和，令，，则. ①当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. ②当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. ③当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质： 性质1：等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2：若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3：{an}为等差数列为等差数列 性质4：若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 【即学即练】 1．设等差数列的前n项和为，若，则的值为（  ） A．6 B．20 C．25 D．30 2．设等差数列的前项和为，若，则（  ） A． B． C． D． 题型01 等差数列的概念及辨析 【典例1】给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 对等差数列概念的理解： ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 【变式1】下列数列不是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知等差数列，则使数列一定为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 题型02 等差中项及其应用 【典例1】若数列是等差数列，且，则（  ） A．22 B．32 C．20 D．10 等差数列等差中项的应用： (1)由等差数列的定义知，即，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. (2)在设等差数列的项时，可利用上述性质. 【变式1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C． D．3 【变式2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【变式3】已知数列是等差数列，且满足，则__________ 【变式4】数列满足，，且，则等于_________ 题型03 等差数列通项公式及其应用 【典例1】已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 【变式1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列是等差数列，且，则（  ） A．0 B． C． D． 【变式4】等差数列满足，，则___________ 题型04 利用等差数列的性质计算 【典例1】已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 等差数列的性质： (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 【变式1】已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式2】若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 【变式3】在等差数列中，，则 . 题型05 等差数列单调性的判断及其应用 【典例1】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是_________ 等差数列的单调性： ①当d>0时，数列为递增数列； ②当d<0时，数列为递减数列； ③当d=0时，数列为常数列. 【变式1】(多选)已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【变式2】已知等差数列，则“单调递增”是“”的（  ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 题型06 求等差数列中的最大（小）项 【典例1】已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【变式1】已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【变式3】在等差数列中，记，则数列（  ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 题型07 等差数列的判定与证明 【典例1】已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 判定等差数列常用的2种方法： (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 注：判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 【变式1】已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，，则数列是（  ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【变式3】 在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型08 等差数列通项公式及前n项和的基本量计算 【典例1】（1）设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 （2）等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 等差数列中基本量计算的两个技巧： (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 【变式1】若在等差数列中，．则的公差为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2】已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（  ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 【变式3】记等差数列的前n项和为，已知，则________ 题型09 由等差数列的前n项和求通项公式 【典例1】已知数列中，，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】设为数列的前n项和，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知等差数列的前项和为，，.则数列的通项公式为________； 题型10 求等差数列的前n项和 【典例1】已知在递增的等差数列中，； (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式1】设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则 ． 【变式2】．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型11 含绝对值的等差数列前n项和 【典例1】在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 等差数列，求数列的前n项和问题： 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 【变式1】在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 【变式2】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 题型12 等差数列前n项和的性质 【典例1】（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 等差数列前n项和的性质： （1）若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 （2）若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则，也成等差数列，公差为 （3）设两个等差数列的前项和分别为，则. （4）在等差数列中，若，则 【变式1】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【变式2】（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【变式3】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【变式4】等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 题型13 等差数列前n项和的最值 【典例1】(1)记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 (2)数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（  ） A．23 B．24 C．25 D．26 等差数列前项和的最值： (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 【变式1】等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（  ） A．14 B．13 C．11 D．7 【变式3】已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 题型14 等差数列的简单应用 【典例1】元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 【变式1】我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（  ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【变式2】“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列，则为（  ） A． B． C． D． 【变式3】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（  ） A．27 B．31 C．35 D．39 【变式4】中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 1．下列数列中，不成等差数列的是（  ） A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 2．在等差数列中，，则（  ） A．16 B．8 C．10 D．14 3．已知数列为等差数列，且，则（  ） A． B． C． D． 4．已知递增数列是等差数列，若，，则（  ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 5．已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 6．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 7．（多选）下列命题中为真命题的是（  ） A．若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，（k为常数）一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 8．（多选）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 9．（多选）已知数列的前项和为，若，则（  ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 10．在数列中，，则等于____________ 11．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 12．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 13．已知数列满足：，，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，求数列的通项公式． 14．已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等差数列 教学目标 1.掌握求等差数列通项公式的方法——叠(累)加法，能够灵活运用等差数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题； 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的3.掌握等差数列前n项和的性质以及等差数列前n项和公式的函数特征； 4.在用等差数列的通项公式及性质解决问题的过程中体会方程思想，运用等差数列的性质解决问题，发展数学运算素养，在等差数列前n项和公式的运用过程中，领悟函数思想，培养用联系的观念思考问题的能力． 教学重难点 1.重点 等差数列通项公式及其性质的应用，等差数列前n项和公式及其性质的应用； 2.难点 等差数列通项公式和前n项和公式的推导方法的的推导等差数列前n项和公式的函数特征。 知识点01 等差数列的定义 1．等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 注：①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 【即学即练】 1．下列数列是等差数列的是（  ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 知识点02 等差中项 等差中项的定义： 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 【即学即练】 1．已知，，则、的等差中项为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的定义可求得结果. 【解析】、的等差中项为. 故选：B. 2．方程的两根的等差中项为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【解析】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 知识点03 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. 通项公式的推广形式： 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 等差数列与一次函数的关系： 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 等差数列的单调性的判别： 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 【即学即练】 1．在等差数列中，则等于（  ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解析】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．若公差为的等差数列满足，，则n等于（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【解析】由题意可得，则，解得. 故选：B. 知识点04 等差数列的性质 等差数列的性质： 设{an}为等差数列，公差为d，则若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. 注：①数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. ②若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. ③下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. ③在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【即学即练】 1．在等差数列中，若，则的值为（  ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【解析】由，得，即，所以 故选：D. 2．已知等差数列满足，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【解析】在等差数列中， 故选：B. 知识点05 等差数列的前n项和公式 1.等差数列的前n项和公式： ①=； ②= 2.等差数列的前n项和公式②与二次函数的关系： 等差数列{an}的前n项和，令，，则. ①当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. ②当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. ③当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质： 性质1：等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2：若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3：{an}为等差数列为等差数列 性质4：若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 【即学即练】 1．设等差数列的前n项和为，若，则的值为（  ） A．6 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【分析】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果. 【解析】因为，所以，解得， 则. 故选：D. 2．设等差数列的前项和为，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【解析】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 题型01 等差数列的概念及辨析 【典例1】给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【解析】对于①，②，④利用等差数列的定义判断，对于③，对等差数的通项公式化简即可判断 【解析】解：根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，①错误； 对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以②正确； 对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以③正确； 对于④，因为，所以数列是等差数列.，所以④， 故选：C 对等差数列概念的理解： ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 【变式1】下列数列不是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列定义依次判断各个选项即可. 【解析】对于A，数列为常数列，是等差数列； 对于B，，数列是公差为的等差数列； 对于C，，数列是公差为的等差数列； 对于D，，数列不是等差数列. 故选：D. 【变式2】已知等差数列，则使数列一定为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，结合特例法逐一判断即可. 【解析】∵数列{an}是等差数列， ∴设an＋1－an＝d(常数)． 对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，所以该选项符合题意， 设等差数列为. 显然不是等差数列，选项B不符合题意； 因为没有算术平方根，故选项C也不符合题意；因为没有倒数，选项D也不符合题意， 故选：A. 题型02 等差中项及其应用 【典例1】若数列是等差数列，且，则（  ） A．22 B．32 C．20 D．10 【答案】A 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【解析】数列是等差数列，则是和的等差中项，有. 故选：A. 等差数列等差中项的应用： (1)由等差数列的定义知，即，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. (2)在设等差数列的项时，可利用上述性质. 【变式1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义即求. 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 【变式2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【解析】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【变式3】已知数列是等差数列，且满足，则__________ 【答案】1 【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果. 【解析】由等差中项的性质可得，可得，因此，. 故答案为：1. 【变式4】数列满足，，且，则等于_________ 【答案】 【分析】由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解. 【解析】由，可知：数列是等差数列， 首项为，公差为：. ∴， ∴. 故答案为： 题型03 等差数列通项公式及其应用 【典例1】已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)，;(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【解析】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 【变式1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【解析】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 【变式2】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解析】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 【变式3】已知数列是等差数列，且，则（  ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的公式计算即可. 【解析】由等差数列公式得：， 所以， 所以. 故选：A. 【变式4】等差数列满足，，则___________ 【答案】3 【分析】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【解析】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故答案为：3. 题型04 利用等差数列的性质计算 【典例1】已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【解析】因为，解得. 故选：B. 等差数列的性质： (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 【变式1】已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【解析】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 【变式2】若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据等差数列的定义以及性质即可求出． 【解析】因为在等差数列中，，所以，， 即 故选：B. 【变式3】在等差数列中，，则 . 【答案】18 【分析】利用等差数列的性质直接求得. 【解析】在等差数列中，. 因为， 所以. 故答案为：18. 题型05 等差数列单调性的判断及其应用 【典例1】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解析】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故答案为： 等差数列的单调性： ①当d>0时，数列为递增数列； ②当d<0时，数列为递减数列； ③当d=0时，数列为常数列. 【变式1】(多选)已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C. 【解析】解：由题意得,,， 所以，解得，所以，故A错误； 由，故B正确； 由，故，C选项正确； 由等差数列性质，，故D正确. 故选：BCD 【变式2】已知等差数列，则“单调递增”是“”的（  ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【解析】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式3】已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，;(2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【解析】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以 题型06 求等差数列中的最大（小）项 【典例1】已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【解析】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为：. 【变式1】已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故选：D. 【变式2】等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【解析】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【变式3】在等差数列中，记，则数列（  ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【解析】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 题型07 等差数列的判定与证明 【典例1】已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析;(2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解析】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 判定等差数列常用的2种方法： (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 注：判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 【变式1】已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【解析】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 【变式2】在数列中，，，则数列是（  ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【答案】B 【分析】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【解析】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 【变式3】 在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【解析】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 题型08 等差数列通项公式及前n项和的基本量计算 【典例1】（1）设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【解析】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D. （2）等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差. 【解析】为等差数列， ， ， 设的首项为，公差为，则， 解得， 故选：A. 等差数列中基本量计算的两个技巧： (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 【变式1】若在等差数列中，．则的公差为（  ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解析】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B. 【变式2】已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（  ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 【答案】D 【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果. 【解析】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为， 又，，且，则， 即，所以， 故选：D. 【变式3】记等差数列的前n项和为，已知，则________ 【答案】-1 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【解析】设等差数列的公差为，则，解得. 故答案为：-1. 题型09 由等差数列的前n项和求通项公式 【典例1】已知数列中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和. 【解析】数列中，前项和， 时，， 时， ，时，也满足， ∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列， 则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和. 故选：C 【变式1】设为数列的前n项和，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【解析】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A. 【变式2】已知等差数列的前项和为，，.则数列的通项公式为________； 【答案】 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. 故答案为: 题型10 求等差数列的前n项和 【典例1】已知在递增的等差数列中，； (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出，则得到其公差，则得到其通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可. 【解析】（1）设该等差数列的公差为， 因为，且递增， ∴，则，则， 所以. （2）， 则. 【变式1】设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用基本量代换求出首项和公差，得到，再利用公式法求和. 【解析】设等差数列的公差为， 由题意得，即，解得：． ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式2】．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合条件求出，，从而得到其通项公式； （2）根据等差数列前和公式，即可求解； 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，， 即，化简得． 所以数列的通项公式． （2）由（1）可知， 所以 题型11 含绝对值的等差数列前n项和 【典例1】在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件得到，得到； （2）设，的前项和为，求出，当时，；当时，，从而得到答案. 【解析】（1），故， 又，故， 所以； （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故 当时，，故； 当时，， 故， 综上，. 等差数列，求数列的前n项和问题： 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 【变式1】在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【解析】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C. 【变式2】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1)；(2)6；(3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 题型12 等差数列前n项和的性质 【典例1】（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 等差数列前n项和的性质： （1）若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 （2）若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则，也成等差数列，公差为 （3）设两个等差数列的前项和分别为，则. （4）在等差数列中，若，则 【变式1】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可. 【解析】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：50 【变式2】（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【解析】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABC 【变式3】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【解析】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 【变式4】等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【解析】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故答案为： 题型13 等差数列前n项和的最值 【典例1】(1)记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的下标和性质，得到等差数列中的项的正负情况，从而得解. 【解析】因为等差数列的前项和为，设等差数列为， 由，得，则， 由，得，则， 所以，故， 则数列的前项为负数，从第项开始的项都是正数， 因此当时，最小. 故选：B. (2)数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（  ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可. 【解析】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列， 所以， 关于的二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，最大，即数列的前项和最大， 故选：. 等差数列前项和的最值： (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 【变式1】等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值. 【解析】设等差数列的首项为， 因为，且， 所以， 解得， 则 ， 即取最大值为9. 故选：C. 【变式2】设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（  ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【解析】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B. 【变式3】已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1);(2)， 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 题型14 等差数列的简单应用 【典例1】元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【解析】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B. 【变式1】我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（  ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】B 【分析】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项. 【解析】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为， 由题意可得，解得，A结论正确； ，B结论错误； ，C结论正确； ，D结论正确. 故选：B. 【变式2】“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定数列的通项公式，由此确定. 【解析】被3除余数为2的正整数从小到大排列可得，， 被5除余数为2的正整数从小到大排列可得，， 两个数列的公共项按从小到大排列可得，， 所以为首项为2，公差为15的等差数列， 所以． 故选：D. 【变式3】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（  ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【解析】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C. 【变式4】中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 1．下列数列中，不成等差数列的是（  ） A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义逐个分析判断即可. 【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意， 对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意， 对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意， 对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意， 故选：B 2．在等差数列中，，则（  ） A．16 B．8 C．10 D．14 【答案】A 【分析】计算，再根据计算得到答案. 【解析】设等差数列的公差为，，所以， 所以. 故选：A. 3．已知数列为等差数列，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，进而根据结合诱导公式求解即可. 【解析】解：因为数列为等差数列，且 所以，解得， 所以. 故选：C 4．已知递增数列是等差数列，若，，则（  ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质并以为中心求，即可得结果. 【解析】设数列的公差为d（）， 由得， 又因为，即，解得， 所以. 故选：C． 5．已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 【答案】C 【分析】由题意解出公差后求解 【解析】∵等差数列的前项和为，， ∴， ∵代入解得， ∵，∴，即， ∴ 故选：C 6．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【解析】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 7．（多选）下列命题中为真命题的是（  ） A．若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，（k为常数）一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 【答案】BCD 【分析】举特例说明即可判断选项A，B，D；利用等差数列的定义推理即可判断选项C作答. 【解析】对于A，取，，，显然a，b，c成等差数列，而，，，此时，，不成等差数列，A是假命题； 对于B，令，显然a，b，c成等差数列，则，此时，，是公差为0的等差数列，B是真命题； 对于C，因a，b，c成等差数列，则(d为常数)， 于是得，，而k为常数， 因此，(kd为常数)， 所以，，(k为常数)成等差数列，C是真命题； 对于D，令，显然a，b，c成等差数列，则，此时，，是公差为0的等差数列，D是真命题. 故选：BCD 8．（多选）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 【答案】ABD 【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【解析】对选项A，因为，， 所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知： 数列的前n项和，故B正确. 对选项C，因为，所以，故C错误. 对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD 9．（多选）已知数列的前项和为，若，则（  ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【解析】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．在数列中，，则等于____________ 【答案】765 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【解析】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 故答案为：765 11．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 【答案】 【分析】根据题意求得及，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为：. 12．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，得到，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，化简得到，结合的值，求得的最小值是，即可求解. 【解析】因为，所以， 所以数列是常数列，则，可得，故， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而， 当时，，当时，， 因为，所以的最小值是，即， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 13．已知数列满足：，，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，可证明数列为等差数列； （2）由（1）可得，利用，当 时，，由此即可求出结果. 【解析】（1）解:因为 ， 所以      ，     所以   又                                       所以数列 是以首项为,公差为的等差数列. （2）解：由 (1) 得 , 所以   即       当 时， 所以  . 14．已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）先由条件可得公差，再由等差数列前项和公式，代入计算，即可求解； （2）由等差数列的前项和公式可得，从而可得，再结合对勾函数的性质代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）为等差数列，由，得， 再由，可得， 即，化简得，解得. （2）由（1）可得，，则， 所以， 由，得， 即， 令， 由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值， 又当时，， 当时，， 所以，故的最大值为1. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $