精品解析：宁夏回族自治区固原市隆德县第四中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

隆德县第四中学2025—2026学年度期中试题（卷） 九年级数学（上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，相似比为，则的比为（） A. B. C. D. 3. 一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则下列各式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 7. 正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 8. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______． 10. 如果x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，那么 ＝__________．_______． 11. <世上只有妈妈好>是台湾电影《妈妈，再爱我一次》的主题歌，这首歌曲充满了对母亲的深情厚爱，根据简谱中的音节，音节出现的概率是______． 12. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 13. 在与中，若，且的周长为，则的周长______． 14. 某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是___________． 15. 若方程是一元二次方程，则______． 16. 在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为_____． 三、解答题（17、18、19、20、21、22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共10小题，共计72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，，点的坐标分别是，，． （1）将向右平移两个单位长度得．请在网格内画出； （2）将绕着点旋转得．请在网格内画出； （3）的坐标是 ，的坐标是 ． 19. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 20. 如图，在矩形中，平分，平分，．求证：四边形是正方形． 21. 隆德县第四中学于2009年成立以来，学校以“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”的校训为精神支柱，狠抓五项管理、严格落实双减及课后服务，努力办人民满意的教育．小明将“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”，制成质地、颜色、大小完全一样的四张硬纸板卡片，将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字是“敬业”、“奉献”的概率（提醒：卡片名称可用字母表示）． 22. 某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？ 23. 如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，连接交于． （1）求证：； （2）若，，求的值． 24. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接　 　； （2）猜想：　 　=　 　； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 25. 如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． （1）用含的代数式表示，的长度； （2）当为何值时，为等腰三角形？ （3）是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形． （1）理解与判断： 邻边长分别为1和3的平行四边形是　　阶准菱形； 邻边长分别为3和4的平行四边形是　　阶准菱形； （2）操作、探究与计算： ①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值； ②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆德县第四中学2025—2026学年度期中试题（卷） 九年级数学（上） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，本题根据一元二次方程的定义解答即可．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）整理后二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对各个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，当时，方程化为，不含二次项，故不是一元二次方程； B、，含有两个未知数，故不是一元二次方程； C、，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； D、，是分式方程，故不是一元二次方程； 故选：C． 2. 若，相似比为，则的比为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似比即对应边之比，掌握这一性质是解题关键．相似三角形的对应边之比等于相似比，直接根据相似比即可得出与的比． 【详解】解：，相似比为， ． 故选：A． 3. 一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵布袋里装有3个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同， ∴从中任意摸出一个球,则摸出的球是白球的概率 故选C. 4. 已知，则下列各式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．用一个常数表示x、y是解答本题的关键． 根据比例的性质，可设、，代入分式求值后作出判断． 【详解】解：设，. A.， 正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. ，正确，不符合题意； D.， 不正确，符合题意． 故选:D． 5. 下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：线段，既是中心对称图形； 正三角形，不是中心对称图形； 平行四边形，是中心对称图形； 矩形，既是中心对称图形； 菱形，既是中心对称图形； 正方形，既是中心对称图形； 等腰梯形，是轴对称图形； 直角梯形，既不是中心对称图形； ∴既是中心对称图形，又是轴对称图形的有线段、矩形、菱形、正方形，共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 6. 关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】把一个根x=1代入方程得， 即， 解得或m=． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的基本概念和用因式分解法解一元二次方程, 本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解． 7. 正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解． 【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为， ∴另一条对角线长也为． 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．连接，根据菱形的对角线平分一组对角求出，，四条边都相等可得，再根据菱形的邻角互补求出，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角求出，从而求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：如图，连接， 在菱形中，，，， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 在和中，， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】a≤1 【解析】 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．据此可得△=b2-4ac=4-4a≥0，求解即可． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实根， 所以△=b2-4ac=4-4a≥0， 解之得a≤1． 故答案为a≤1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 10. 如果x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，那么 ＝__________．_______． 【答案】 ①. 6 ②. 5 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】解：∵的两个根, ∴ 故答案是: (1) 6 (2) 5 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记,是一元二次方程的两根时,. 11. <世上只有妈妈好>是台湾电影《妈妈，再爱我一次》的主题歌，这首歌曲充满了对母亲的深情厚爱，根据简谱中的音节，音节出现的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：简谱中的音节有：，，，，，，，，共8个，有3个， ∴音节出现的概率是 故答案为：． 12. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 13. 在与中，若，且的周长为，则的周长______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 根据相似三角形的判定，三组对应边成比例则两三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 的周长与 的周长之比为 ， ∵ 的周长为 ， ∴ 的周长为 ． 故答案为：． 14. 某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是___________． 【答案】25% 【解析】 【分析】设平均每月增长的百分率是x，根据4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，可列方程求解． 【详解】设平均每月增长的百分率是x， 160（1+x）2=250 x=25%或x=-225%（舍去）． 平均每月增长的百分率是25%． 故答案为25%． 15. 若方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 16. 在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】证明则BE=CF，在中由勾股定理即可求得EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，AB=BC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOF+∠COF=∠BOC=90°，∠ABC=90°， ∵OE⊥OF， 在△BEO与△OFC中 ， ∴BE=CF=3． ∴AB−BE=BC−CF． 即BF=AE=4. ∴在中，由勾股定理得：． 故答案为5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明两个三角形全等是关键． 三、解答题（17、18、19、20、21、22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共10小题，共计72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）通过因式分解法解一元二次方程； （2）通过移项和因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18. 如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，，点的坐标分别是，，． （1）将向右平移两个单位长度得．请在网格内画出； （2）将绕着点旋转得．请在网格内画出； （3）的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了作图−−旋转变换，作图−−平移变换，写出点的坐标． （1）根据平移性质，找到这三个点，再依次连接； （2）根据旋转性质，找到这三个点，再依次连接； （3）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的坐标是，的坐标是 故答案为：，． 19. 已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】m＞ 【解析】 【详解】试题分析：方程有两个不相等的实数根，则即可求出得取值范围. 试题解析：原方程可变形为 ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： ∴的取值范围为 点睛： 一元二次方程有两个不相等的实数根, 20. 如图，在矩形中，平分，平分，．求证：四边形是正方形． 【答案】 ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，． 又∵平分，平分， ∴． ∴． ∴． ∴是菱形（菱形的定义）． 在中， ∵， ∴． ∴菱形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 【解析】 【分析】由两个平行条件可得平行四边形BFCE，再由两个角平分线的条件可得EB=EC，从而可得四边形BFCE是菱形，进而易得四边形BFCE是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，角平分线的定义，掌握正方形的判定方法是关键． 21. 隆德县第四中学于2009年成立以来，学校以“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”的校训为精神支柱，狠抓五项管理、严格落实双减及课后服务，努力办人民满意的教育．小明将“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”，制成质地、颜色、大小完全一样的四张硬纸板卡片，将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字是“敬业”、“奉献”的概率（提醒：卡片名称可用字母表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率，先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：记“责任”、“担当”、“敬业”、“奉献”这4张卡片分别为， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的结果数为2， 所以两次抽到卡片上的文字含有“敬业”、“奉献”的概率． 22. 某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？ 【答案】20元 【解析】 【详解】试题分析：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润=1200元，列出方程求解即可． 试题解析：设每件童装应降价元，则 设每件童装应降价x元，则 (100−60−x)(20+2x)=1200， 即： 解得： ∵尽快减少库存， ∴舍去 答：每件童装应降价20元. 23. 如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，连接交于． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）证明 即可得证 （2）根据相似三角形的性质可得，代入，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 24. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接　 　； （2）猜想：　 　=　 　； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 【答案】 （1）连结AF（或连结CF） （2）AF=AE （3）证明：（以AF=AE为例，其他证法参照得分） ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD ∴∠ADB=∠ABD ∵∠ABD+∠ABF=180° ∠ADB+∠ADE=180° ∴∠ABF=∠ADE ∵BF = DE ∴△ABF≌△ADE（SAS） ∴AF=AE 【解析】 【详解】试题分析：根据观察图形，应该是连接AF或者CF （1）略 （2）猜想AF=AE（连结CF的，则猜想CF=AE） （3）略 考点：菱形的性质，全等三角形的判定和性质 点评：基本的几何综合题，考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明． 三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA． 25. 如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． （1）用含的代数式表示，的长度； （2）当为何值时，为等腰三角形？ （3）是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【小问1详解】 解：，，， ． ，； 【小问2详解】 由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； 【小问3详解】 假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 26. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形． （1）理解与判断： 邻边长分别为1和3的平行四边形是　　阶准菱形； 邻边长分别为3和4的平行四边形是　　阶准菱形； （2）操作、探究与计算： ①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值； ②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形． 【答案】（1）2,3； （2）①如图所示，或或 或 ②10阶准菱形 【解析】 【分析】（1）根据阶准菱形的定义，当邻边分别为1和3时，可以先剪去一个边长为1的菱形，再剪去一个边长为1的菱形，最后剩下的是一个边长为1的菱形，可得出结论；邻边长分别为3和4时，可以先剪去一个边长为3的菱形，再剪去一个边长为1的菱形，再剪去一个边长为1的菱形，最后剩下的是一个边长为1的菱形，可得出结论； （2）①利用3阶准菱形的定义，分四种情形作出图形即可得出答案； ②可知，所以可以剪5次，也可以前5次的，故可得出结论． 【详解】（1）邻边长分别为1和3的平行四边形是2阶准菱形； 邻边长分别为3和4的平行四边形是3阶准菱形； 故答案为2，3． （2）①略 ②10阶准菱形，如图所示． 如图所示： 故是10阶准菱形． 【点睛】本题考查了新定义的理解、菱形的判定，理解题中给出的新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $