2026年中考数学专题复习（河北） 专题十一　三角形、四边形综合题

专题十一　三角形、四边形综合题 类型一　旋转问题 　　旋转前后的图形全等,因此会隐含线段相等、角相等等条件.而有的题目不会直接给出旋转的条件,需要自己根据题中条件抽象出旋转模型,这种情况下,一般两个图形共顶点,公共顶点为旋转中心. ❶ (2025·邯郸二模)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20.将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE(点B的对应点为点D,点C的对应点为点E),延长DE与BC交于点P,且点P始终在边BC上(不与点B,C重合),连接AP,BD,设CP=x. (1)求证:CP=EP. (2)如图2,当AD∥BC时,求x的值. (3)如图3,在△ABC旋转过程中,设DP与AB交于点O. ①当OE=8时,求x的值; ②直接写出点E到直线BC的距离.(用含x的式子表示) ❷ 如图1,已知点D是等边三角形ABC内一点,且BD=3,AD=4,CD=5. (1)求∠ADB的度数. 以下是甲、乙、丙三位同学的谈话: 甲:我认为这道题的解决思路是借助旋转,我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或逆时针旋转60°; 乙:我也赞成旋转,不过我是将△ABD进行旋转; 丙:我是将△ACD进行旋转. 请你借助甲、乙、丙三位同学的提示,选择适当的方法求∠ADB的度数. (2)若改成BD=6,AD=8,CD=10,则∠ADB=　　　　°,点A到BD的距离为　　　　.  类比迁移: (3)如图2,已知∠ABC=90°,AB=BC,BE=1,CE=,AE=,求∠BEC的度数. 类型二　平移问题 　　平移的距离相等,平移可以改变图形的位置,但不改变图形的形状和大小,平移时能保持角的两边的方向不变,并保持线段平行且相等. ❸ 在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),B(6,0),点C在y轴的正半轴上,∠ACB=90°. (1)如图1,求点C的坐标. (2)将△AOC沿x轴向右平移得△A'O'C',点A,O,C的对应点分别为A',O',C'.设OO'=t,△A'O'C'与△OBC重叠部分的面积为S. ①如图2,当△A'O'C'与△OBC重叠部分为四边形时,A'C',O'C'分别与BC相交于点D,E,试用含t的式子表示S,并直接写出t的取值范围; ②当S取得最大值时,直接写出t的值. ❹ (2025·邯郸三模)在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,AD=2,CD=4,过点D作DH⊥BC于点H.在△EFG中,FG=2,EG=2,∠G=90°.将△EFG按如图1放置,此时EF与AB重合,然后将△EFG沿AD平移至点E与点D重合,再改变△EFG的位置,如图3,将顶点E沿DC移动至点C,并使点H始终在EF上. (1)求证:△EFG≌△DCH. (2)如图2,当线段FG经过点B时,求DE的长. (3)当点E在CD上运动时,EG交DH于点P. ①当EG⊥CD于点E时,求EH的长; ②设DE=d,请直接用含d的式子表示PH,并直接写出PH的最小值. 类型三　动点问题 　　动点常与三角形、四边形结合出题,探究三角形或四边形的面积、线段的长度、周长、各线段之间的数量关系或最值等问题.解决这类问题要熟练掌握三角形全等、相似或三角函数等有关三角形的知识以及矩形、菱形、正方形、平行四边形的相关性质. ❺ 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B运动.设点P的运动时间为t s(t>0). (1)AC=　　　　.  (2)求斜边AB上的高. (3)①用含t的式子表示PB; ②若点P在∠BAC的平分线上,求出t的值. (4)当△PBC是等腰三角形时直接写出t的值. ❻ 如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度也为1 cm/s.当一个点停止运动时,另一个点也停止运动,连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F,设运动时间为t(s)(0<t<6). (1)求当t为何值时,△AOP是等腰三角形. (2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),求S关于t的函数关系式. (3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 类型四　轴对称问题 　　三角形、四边形结合轴对称问题的题目常结合等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等几何图形的对称性进行考查,且一般的三角形、四边形均可作轴对称变换,因此是非常重要的一个题型,常以折叠的形式命题,折叠后重合的两部分关于折痕成轴对称. ❼ (2025·保定一模)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点P为AC边上一点(不含端点),将△ABC沿BP所在直线折叠,点A落在点D处,直线PD与BC边交于点E,设AP=x. (1)∠DBC=5°时,∠DPC的度数为　　　　.  (2)如图1,点P为AC中点时,求tan∠PBC. (3)如图2,BD平分∠PBC时,求出∠DPC的度数及此时x的值. (4)如图3,点D在BC上方时,直接写出点D到BC的距离.(用含x的代数式表示) ❽ (2025·石家庄三模)综合与实践 问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在▱ABCD中,BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点,连接EF,BF. 独立思考:(1)试猜想EF与BF的数量关系:　　　　.  实践探究:(2)嘉嘉将▱ABCD沿着BF所在直线折叠,如图2,点C的对应点为C',连接DC'并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明. 问题解决:(3)在▱ABCD的AD边上有一个动点M,点M沿AD方向从点A开始运动,到点D停止.随着点M的运动,琪琪沿BM所在直线折叠▱ABCD,折叠后点A的对应点为A',当A'B与▱ABCD的边垂直时,问题:若▱ABCD的面积为5,AB=,BC=,请直接写出△A'BM与▱ABCD重叠部分的面积. 【详解答案】 1.解:(1)证明:由旋转的性质得AE=AC,∠AED=∠C=∠AEP=90°, 又∵AP=AP, ∴Rt△AEP≌Rt△ACP(HL), ∴CP=EP. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,依据勾股定理得AB==25, 由旋转的性质得AD=AB=25,DE=BC=20, 由(1)可知△AEP≌△ACP, ∴PC=PE,∠APE=∠APC, ∵AD∥BC,∴∠DAP=∠APC, ∴∠DAP=∠APE, ∴DP=DA=20, ∴CP=PE=DP-DE=25-20=5, 即x=5. (3)①分两种情况讨论: 当O在E,P之间时,如图,过点P作PF⊥AB,垂足为F, 故△OFP和△BFP为直角三角形, PC=PE=x,BP=20-x,∠C=∠BFP=∠OEA=90°,OP=x-8, 又∵∠ABC=∠PBF, ∴△ABC∽△PBF, ∴,, ∴FP=BF,BF=BP, ∴FP=BP. ∵BP=20-x, ∴FP=12-x,BF=16-x, ∵AE=AC=15,∠OEA=90°, ∴AO==17, ∵AB=25,∴BO=AB-AO=8, ∴OF=BO-BF=8-x-8, ∵OP=x-8,FP=12-x,∠BFP=90°,∴OF2+FP2=OP2, 即=(x-8)2,解得x=. 当O在E,D之间时,如图. 同理可得OF=8-x,OP=x+8,FP=12-x,由OF2+FP2=OP2,可得=(x+8)2, 解得x=. 综上所述,x的值为或. ②点E到直线BC的距离为. 解析:过点E作EG⊥BC,垂足为G,则EG∥AC,四边形ACGE为直角梯形,如图. 设点E到直线BC的距离为h,即EG=h, ∴GP=, GC=GP+PC=x+, ∵△ACP,△AEP,△EGP共同组成直角梯形ACGE,且都是直角三角形, ∴S梯形ACGE=S△ACP+S△AEP+S△EGP, 即+ , ∴, 整理得h=, 故点E到直线BC的距离为. 2.解:(1)选择乙:如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转60°,得到△ACD',连接DD', ∴AD'=AD=4,CD'=BD=3, ∠DAD'=60°, ∴△ADD'是等边三角形, ∴DD'=AD=4,∠AD'D=60°, ∵DD'2+CD'2=42+32=52=CD2, ∴∠DD'C=90°, ∴∠ADB=∠AD'C=60°+90°=150°. (2)150　4 解析:如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转60°,得到△ACD',连接DD', ∴AD'=AD=8,CD'=BD=6, ∠DAD'=60°, ∴△ADD'是等边三角形, ∴DD'=AD=8,∠AD'D=60°, ∵DD'2+CD'2=82+62=102=CD2, ∴∠DD'C=90°, ∴∠ADB=∠AD'C=60°+90°=150°. 过A作AH⊥BD交BD的延长线于H,∴∠AHB=90°, ∵∠ADB=150°,∴∠ADH=30°, ∴AH=AD=4, 故点A到BD的距离为4. (3)如图2,把△BEC绕点B逆时针旋转90°,得到△BE'A,连接EE', ∴∠EBE'=90°,BE=BE'=1, AE'=CE=,∠AE'B=∠CEB, ∴EE'2=12+12=2, ∠BEE'=∠BE'E=45°, ∵EE'2+AE'2=2+3=5=AE2, ∴∠EE'A=90°, ∴∠BEC=∠AE'B=90°+45°=135°. 3.解:(1)∵A(-2,0),B(6,0), ∴OA=2,OB=6, ∵∠AOC=90°,∠ACB=90°, ∴∠ACO=90°-∠CAO=90°-∠BCO,∴∠CAO=∠BCO, ∴tan∠CAO=tan∠BCO, 即, ∴CO==2, ∴点C的坐标为(0,2). (2)①设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(6,0),C(0,2), 则解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+2. ∵OC=2,OB=6, ∴tan∠OBC=, ∴∠OBC=30°, ∴∠C'=∠ACO=30°. ∵O'C'⊥x轴, ∴∠DEC'=∠O'EB=60°, 当△A'O'C'与△OBC重叠部分为四边形时,2≤OO'<6,即2≤t<6, ∵OO'=t, ∴E, ∴O'E=2t. ∵∠C'=30°,∠C'ED=60°, ∴∠C'DE=90°, ∴S△DEC'=DE×DC'=DE×DEtan 60°=DE2, ∵DE=C'E=(C'O'-O'E)=t, S△A'O'C'=AO×OC=×2×2=2, ∴S=S△A'O'C'-S△DEC'=2DE2=2=2t2 (2≤t<6). ②t的值为. 解析:由①可知,当2≤t<6时,S=2t2,∴t=2时,S取得最大值. 如图,当0<t<2时,重叠部分为五边形OGFHO', 同理可得C'H=t,FH=t,FC'=t. ∵OO'=t,∴OA'=2-t, ∴OG=(2-t), ∴S=S△A'O'C'-S△A'OG-S△C'FH =2(2-t)2-t×t =-t2+2t =-, ∴当t=时,S有最大值, 如图,当6≤t≤8时,重叠部分为△A'MB, ∵将△AOC沿x轴向右平移得△A'O'C',OO'=t,OA=2,OB=6, ∴AA'=t,AB=8, ∴A'B=8-t, ∴A'M=(8-t),BM=(8-t), ∴S=(8-t)×(8-t)=(8-t)2, ∴当t=6时,S有最大值. ∵, ∴t=时,S取得最大值. 4.解:(1)证明:∵DH⊥BC,CD=4,∠C=60°, ∴∠HDC=30°, ∴CH=2, ∴DH==2. ∵EG=2,FG=2,∠G=90°, ∴EG=DH,∠G=∠DHC=90°,GF=HC, ∴△EFG≌△DCH(SAS). (2)∵AD∥BC,∠ABC=90°, ∴∠A=90°, ∵DH⊥BC, ∴四边形ABHD为矩形, ∴AB=DH=2. 设EF与BC交于点Q,如图. 同理四边形ABQE为矩形, ∴EQ=2, ∴FQ=4-2, 在Rt△BQF中,BQ=FQ·tan 60°=4-6, ∴AE=BQ=4-6, ∴DE=AD-AE=2-(4-6)=6-2. (3)①由(1)知∠GEF=∠CDH=30°, 当EG⊥CD于点E时,∠DEG=90°, ∴∠DEH=120°, ∴∠HEC=60°, ∵∠C=60°, ∴△EHC为等边三角形, ∴EH=CH=2. ②PH=,PH的最小值为. 解析:∵∠PHE=∠EHD,∠PEH=∠EDH,∴△PHE∽△EHD, ∴,∴PH=, 过点H作HN⊥CD于点N,如图. ∵∠C=60°,∴∠HDN=30°, ∴HN=DH=,DN=3, ∴EN=|3-d|, ∴EH2=EN2+HN2=(d-3)2+3, ∴PH==, ∴当d=3时,PH的值最小,最小值为. 5.解:(1)8 (2)设斜边AB上的高为h, 则S△ABC=AC·BC=AB·h, ∴×8×6=×10h, ∴h=, ∴斜边AB上的高为. (3)①当点P在AC上,即0<t<4时,如图1. ∵AP=2t, ∴CP=AC-AP=8-2t, ∴PB== ; 当点P在BC上,即4≤t≤7时,PB=AC+BC-2t=14-2t. 综上,PB= ②当点P在∠BAC的平分线上时,过点P作PD⊥AB于点D,如图2. ∵AP平分∠BAC,PC⊥AC,PD⊥AB, ∴PD=PC, ∵PC=2t-8,PB=14-2t, ∴PD=2t-8, 在Rt△ACP和Rt△ADP中, ∴Rt△ACP≌Rt△ADP(HL), ∴AD=AC=8, 又∵AB=10,∴BD=2, 在Rt△BDP中,由勾股定理得 22+(2t-8)2=(14-2t)2, 解得t=, ∴若点P在∠BAC的平分线上,t的值为. (4)t的值为1. 解析:由题意可知,当△PBC是等腰三角形时,点P必在线段AC上,如图3. ∵∠C=90°,∴CP=CB=6, ∴8-2t=6,∴t=1, 故当△PBC是等腰三角形时,t的值为1. 6.解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,∠ABC=90°, ∴AC=10 cm,AO=AC=5 cm. 当△AOP为等腰三角形时,分三种情况讨论: ①当AP=PO=t cm时, 过点P作PM⊥AO于点M,如图1, ∴AM=AO= cm. ∵∠PMA=∠ADC=90°,∠PAM=∠CAD, ∴△APM∽△ACD, ∴,∴AP= cm, ∴t=. ②当AP=AO=5 cm时,t=5. ③当PO=AO时,点P与点D重合,t=8.不合题意,舍去. 综上所述,当t=或5时,△AOP为等腰三角形. (2)∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm, ∴S△ODC=S△OBC=6×8÷4=12(cm2), ∵QF∥AC, ∴△DFQ∽△DOC, ∴, ∴S△DFQ=t2. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AO=CO, ∴∠PAO=∠ECO, 在△AOP和△COE中, ∴△AOP≌△COE(ASA), ∴AP=EC=t cm, ∴,∴S△OEC=t, ∴S=S△ODC-S△DFQ+S△OEC= -t2+t+12(0<t<6). (3)存在某一时刻t,使OD平分∠COP. 如图2,过点D作DM⊥PE于点M,DN⊥AC于点N, ∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm, ∴S△ADC=×6×8=×10DN, 解得DN= cm. ∵∠POD=∠COD, ∴DM=DN= cm, ∴ON=OM= cm. ∵S△POD=OP·DM=DP×3, ∴OP·DM=3PD, ∴OP= cm, ∴PM=OP-OM= cm, ∵PD2=PM2+DM2, ∴(8-t)2=, 解得t=16(不合题意,舍去)或t=, ∴当t=时,OD平分∠COP. 7.解:(1)40°或50° 解析:当点D在BC下方时,如题图1,由折叠可知∠BDP=∠A=90°, ∵∠DBC=5°, ∴∠BED=90°-5°=85°, ∴∠CEP=∠BED=85°, ∵AB=AC=4, ∴∠C=45°, 在△PEC中,∠DPC+∠CEP+∠C=180°, ∴∠DPC=180°-∠C-∠CEP=50°; 当点D在BC上方时,如题图2, 由折叠可知∠ABP=∠DBP,∠APB=∠DPB, ∵∠DBC=5°,∠ABC=∠C=45°, ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=40°, 则∠ABP=∠ABD=20°, 在Rt△ABP中,∠APB=90°-∠ABP=70°, ∴∠DPB=70°. ∵∠APB+∠DPB+∠DPC=180°, ∴∠DPC=180°-∠APB-∠DPB=40°. 综上,∠DPC的度数为40°或50°. (2)如图,过点P作PG⊥BC于点G, ∵P为AC中点, ∴AP=CP=AC=2. ∵∠C=45°, ∴△PGC为等腰直角三角形, ∴PG=GC, ∵sin C=, ∴PG=GC=. ∵在Rt△ABC中,BC==4, ∴BG=BC-CG=3, ∴tan∠PBC=. (3)∵BD平分∠PBC, ∴∠PBD=∠DBC, 由折叠可知∠ABP=∠DBP, ∠APB=∠DPB, ∴∠ABP=∠PBD=∠DBC=∠ABC, ∵∠ABC=45°, ∴∠ABP=∠PBD=∠DBC=15°, 在Rt△ABP中,∠APB=90°-∠ABP=75°, ∴∠DPB=75°, ∴∠DPC=180°-∠DPB-∠APB=30°. 如图,过点P作PM⊥BC于点M, ∵∠PBM=∠PBD+∠DBC=30°, sin 30°=, ∴BP=2PM,∴BP2=4PM2, 在Rt△PMC中,AP=x, 则PC=4-x,∵=sin 45°=, ∴PM=(4-x), ∴BP2=4×=2(4-x)2, 在Rt△ABP中,BP2=AP2+AB2=x2+16, ∴2(4-x)2=x2+16, 解得x=8-4或x=8+4, ∵x<4,∴x=8-4. ∴∠DPC的度数为30°,此时x的值为8-4. (4)点D到BC的距离为. 解析:如图,过点D作DF⊥BC于点F,连接AD交BP于点H, 在Rt△ABC中,BC==4,∠BCA=45°, 由折叠可知,BP垂直平分AD, 在Rt△ABP中,BP=, ∴S△ABP=AB·AP=BP·AH,则×4×x=·AH, ∴AH=, ∴AD=2AH=. 过点D作DK⊥AC于点K,连接CD, ∴∠AKD=∠BAP=90°, ∵∠DAK+∠APB=∠APB+∠ABP=90°, ∴∠DAK=∠ABP, ∴△ABP∽△KAD, ∴, ∴, ∴KD=. ∵S△ABC=2S△ABP+S△DCP+S△DCB, ∴×4×4=2××4x+(4-x)·×4DF, ∴8=4x++2DF, ∴DF=, 即点D到BC的距离为 . 8.解:(1)EF=BF 解析:如图1,过点F作FH∥AD交BE于点H, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∵FH∥AD,∴DE∥FH∥CB, ∵DF=CF,∴=1, ∴EH=HB, ∵BE⊥AD,FH∥AD, ∴FH⊥EB,∴EF=BF. (2)AG=BG,证明如下: 如图2,连接C'C, 由折叠可得C'F=CF,C'C⊥BF, ∵F为CD的中点, ∴DF=CF=CD, ∴C'F=DF=CF, ∴∠FC'C=∠FCC',∠FC'D=∠FDC', ∵∠FC'C+∠FCC'+∠FC'D+ ∠FDC'=180°, ∴∠DC'C=∠FC'C+∠FC'D=90°, ∴C'C⊥DG,∴DG∥BF, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴CD=AB,CD∥AB, ∴四边形BFDG为平行四边形, ∴DF=BG=CD=AB=(AG+BG), ∴AG=BG. (3)△A'BM与▱ABCD重叠部分的面积为或-5. 解析:①A'B与CD边垂直时,如图3,过点D作DJ⊥AB于点J,过点M作MT⊥AB于点T,设A'B交CD于点H. ∵S四边形ABCD=AB·DJ, ∴DJ=5,∴DJ=2. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC=,AB∥CD, ∴AJ===1. ∵A'B⊥AB,DJ⊥AB, ∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°, ∴四边形DJBH是矩形, ∴BH=DJ=2, ∴A'H=A'B-BH=-2=. ∵tan A==2, ∴MT=2AT. 设AT=x,则MT=2x, ∵∠ABM=∠MBA'=45°, ∴MT=BT=2x, ∵AB=AT+BT,∴x+2x=, 解得x=, ∴MT=2x=, ∵tan A=tan A'==2, ∴NH=1, ∵S△A'BM=S△ABM=AB·MT=, ∴S四边形BHNM=S△A'BM-S△A'NH=×1×. ②A'B与AD边垂直时,如图4,设A'B交AD于点P. ∵S四边形ABCD=BC·BP, ∴BP=5,∴BP=, ∴A'P=A'B-BP=, ∵tan A=tan A'==2, ∴PM=2, ∴S△MPB=BP·PM=×2=-5. 综上,△A'BM与▱ABCD重叠部分的面积为或-5. 学科网（北京）股份有限公司 $