培优专题06 分式运算及分式方程（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦分式运算与方程，构建“基础运算-参数探究-实际应用”三阶训练体系，渗透裂项相消、换元等解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式运算|4题型15题|裂项相消法、规律探究、化简求值策略|从混合运算到代数式变形，强化分式性质应用| |分式方程|5题型19题|参数分类讨论（有解/无解/整数解）、换元法|从方程求解到参数探究，深化转化与分类思想| |综合应用|7题型20题|新定义迁移、材料阅读分析、实际问题建模|结合工程/经济/行程等情境，发展应用意识与推理能力|

专题06 分式运算及分式方程 题型1分式混合运算（常考点） 题型9 与分式运算/分式方程有关的新定义问题（难点） 题型2分式的化简求值问题（常考点） 题型10与分式运算/分式方程有关的材料阅读类问题（难点） 题型3分式的裂项相消法运算（难点） 题型11分式方程与工程问题 题型4与分式运算有关的规律探究问题 题型12分式方程与经济问题 题型5解分式方程（常考点） 题型13分式方程与方案选择问题 题型6根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（重点） 题型14分式方程与行程问题 题型7根据分式方程解的情况求参数（整数解）（重点） 题型15分式方程与和差倍分问题 题型8解可化为分式方程的特殊方程（难点） 题型16分式方程与其它问题 题型一 分式混合运算（共4小题） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：，小明的解题步骤如下： 解：原式…① …② …③ ．…④ 问： (1)从第　　　　步开始出错，出错的原因是　　　　； (2)请写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①，除法没有分配律 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用分式的混合运算法则判断即可; （2）直接利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出错，出错的原因是除法没有分配律； 故答案为：①；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 题型二 分式的化简求值问题（共4小题） 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． (2)，其中，满足． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，掌握先化简分式，再根据条件代入求值，注意分母不为零的限制是解题的关键． （1）先计算括号内的分式减法，通分后合并，再将除法转化为乘法，因式分解约分，最后根据分母不为零的条件选择合适的值代入求值； （2）先计算括号内的分式加减，通分合并后，将除法转化为乘法，因式分解约分，再根据绝对值与平方的非负性求出的值代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． ∵，， ∴，， ∴． 当时，原式． （2）解：原式 ． ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 8．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 题型三 分式的裂项相消法运算（共3小题） 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 10．（22-23八年级上·河南许昌·期末）小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）根据题意得到规律即可得到答案； （3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案； （4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：第1个式子为：； 第2个式子为：； 第3个式子为：； 第4个式子为：； …… ∴第n个式子为：； 故答案为：； （3）证明：∵左边， 右边， ∴； （4）解：∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 11．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 题型四 与分式运算有关的规律探究问题（共4小题） 12．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 13．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 15．（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）先观察已知等式的结构，猜想的结果，再通过计算验证猜想的正确性． （2）通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式． （3）先利用（2）的规律将每个根式化简，再结合裂项相消的规律，对式子进行求和计算． 【详解】（1）解：猜想：． 验证： . （2）解：通过观察等式①②③，可得规律： .（为正整数） （3）解： ． 题型五 解分式方程（共4小题） 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 17．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后，再检验，即可得到分式方程的最终结果． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得， 解得， 经检验，当时，， 所以，是增根， 因此原分式方程无解． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 方程的两边同时乘，得， 解得． 经检验，为原分式方程的增根． 所以原分式方程无解． （2） 方程的两边同时乘，得， 解得． 经检验，是原分式方程的根． 19．（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，从第①步开始错，，解答过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 题型六 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共4小题） 20．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于的方程的解是解题的关键．先解方程求得值，再根据题意可求得的解为，将代入方程可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解比的解多， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得， ∴ 题型七 根据分式方程解的情况求参数（整数解）（共3小题） 24．（21-22八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 【答案】(1) (2)，－2，－4 【分析】（1）把m＝4代入原方程得，方程两边都乘最简公分母（x−3）（x＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）方程两边都乘最简公分母（x−3）（x＋3），分式方程转化为整式方程，m（x−3）＋（x＋3）＝m＋4，整理得，原分式方程的解为整数，，，对代数式进行分析即可求解． 【详解】（1）解：将带入原分式方程得 去分母可得： 解得： 经检验，符合题意， 即原分式方程的解为． （2）解：去分母可得： 整理可得： ∵原分式方程的解为整数 ∴， ∴， ∵为整数，且m为整数 ∴，－1，3，－3， ∴，－2，2，－4 ∵当时原分式方程无解， ∴，－2，－4． 【点睛】本题考查分式方程，分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．在对分式方程进行分析时，要注意考虑分母不为零的情况． 25．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查了分式方程的相关知识，正确理解分式方程的增根是关键； （1）先解分式方程求出方程的根，再把增根代入即可求解； （2）根据题意可得：且，再代入方程的解，求解不等式即可； （3）先根据得到x的范围，进而得到方程的整数解，即可得出m的值，再求和即可． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 26．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 题型八 解可化为分式方程的特殊方程（共3小题） 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得． 经检验：都是方程的根． 所以当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：或都是原分式方程的根． 所以原分式方程的根为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得：，根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：， 解得：或2， 经检验：和2都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：和是原分式方程的解， （2）解：原方程可化为 ， 即 ， 整理得 ， 设，则原方程化为， 方程两边同乘以y，得， 解得． 经检验：都是方程的根． 所以，当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的根， 所以，原分式方程的根为． 28．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：, 然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：, 再方程两边同时减去3，方程变形为, 再根据题意给出的规律，即可得出答案 【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程的解为： ，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， ∴， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 题型九 与分式运算/分式方程有关的新定义问题（共4小题） 30．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 31．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 32．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3，见解析 【分析】本题考查了实数的新运算与分式方程的求解，根据新运算的定义正确列出式子是解决本题的关键． （1）根据☆的新运算定义计算即可； （2）根据☆的新运算先表示出与，再由分式方程的解法求解并检验即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵， ∴，即， 即， 去分母，得， 解这个方程，得． 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为． 33．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 题型十 与分式运算/分式方程有关的材料阅读类问题（共4小题） 34．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 35．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． 36．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）根据完全平方公式化简即可； （2）用换元法解方程组； （3）用完全平方公式对分式化简变形，根据条件求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得：，即， ， ， ； （2）解：原方程组整理得， ， 令，， 则， 解得， ， 经检验，是原方程组的解； （3）解：， ， 即：， 为常数且为整数，为正整数， 为整数， ，， 为正整数， 或4． 37．（22-23八年级上·山东烟台·期中）阅读材料：将多项式因式分解． 原式＝ ＝ ＝ ＝． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中， ∵≥0 ∴≥-1 即的最小值是-1 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； (3)解分式方程：． 【答案】(1)25 (2)，最小值为 (3)或 【分析】（1）加一次项系数10的一半的平方25即可； （2）仿照例题进行配方，分解因式并求最小值； （3）先去分母，再解整式方程，最后检验． 【详解】（1）∵ ∴常数项为25， 故答案为：25； （2） = = = =， ∵， ∴的最小值为； （3） 去分母得：， 解这个整式方程得：或， 经检验：或都是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了因式分解的应用及解方程，配方法是解题的关键． 题型十一 分式方程与工程问题（共3小题） 38．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 【答案】60米 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系． 通过设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际效率提高和提前完成的时间差建立方程，求解得到原计划每天铺设长度，进而求出实际每天铺设长度． 【详解】解：设原计划每天铺设排水管道x米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 实际每天铺设米 答：实际每天铺设排水管道60米． 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是5万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，若两队合作6天后，要抽调一个工程队完成其他任务，剩下的任务由另一个队单独完成，问抽调哪个队能使工程费用较少？ 【答案】(1)甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天； (2)抽调甲工程队能使工程费用较少． 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可； （2）通过列方程，分别求出甲、乙两工程队还需要完成的天数．再分别计算出所需的工程费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （天， 答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天； （2）解：若剩下的任务由甲单独完成，设甲还需要完成，则 ， 解得：， 甲还需要10天完成， 则所需的工程费用为：（万元）， 若剩下的任务由乙单独完成，设乙还需要完成，则 ， 解得：， 乙还需要15天完成， 则所需的工程费用为：（万元）， ， 抽调甲工程队能使工程费用较少． 40．（24-25八年级上·广东广州·期末）为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多米． (1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的倍，则甲队每天要改造多少米？ (2)若甲队负责改造米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？ 【答案】(1)甲队每天要改造米 (2)甲队每天要改造米，乙队每天要改造米 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）根据题意，找准等量关系列方程求解即可； （2）根据题意，找准等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米， 由题意得： ， 解得：， 答：甲队每天要改造米； （2）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队每天要改造米，乙队每天要改造米． 题型十二 分式方程与经济问题（共3小题） 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 43．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【答案】(1)成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． (2)该景区门票打8折销售． (3)小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． （1）设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设景区门票打m折，根据题意列出分式方程求解即可； （3）设小明购买了a张成人票，b张学生票，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． （2）解：设景区门票打m折， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，符合题意，且满足方程． 答：该景区门票打8折销售． （3）解：设小明购买了a张成人票，b张学生票，则． 即． 化简，得． ∵a， b均为正整数， ∴或． ∴小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 题型十三 分式方程与方案选择问题（共3小题） 44．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【答案】(1)甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 (2)选方案一更节省 【分析】此题主要考查分式方程与二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． （1）设甲车间人，乙车间人，根据题意列出二元一次方程组故可求解； （2）设方案二调配到甲车间人，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】（1）解：设甲车间人，乙车间人，根据题意得 ， 解得， 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人； （2）解：设方案二调配到甲车间人，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 方案一费用：（元） 方案二费用：（元） ∵． ∴选方案一更节省． 45．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【答案】(1)甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天； (2)第③种施工方案最节省费用，理由见解析． 【分析】此题主要考查了分式方程的应用， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 ． （1） 设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天．根据题意列出方程解答即可； （2） 根据已知算出各种方案的价钱之后， 再根据题意进行选择 ． 【详解】（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天． 依题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天． （2）这三种施工方案需要的费用为： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：（万元）． ∵， ∴第③种施工方案最节省费用． 46．（23-24七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 【答案】任务一：A车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；任务二：车间需要到其他企业调配8人． 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用是解题的关键． 任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人， 根据题意可列方程： 解得， 答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验，是该方程的解， 答：车间需要到其他企业调配8人． 题型十四 分式方程与行程问题（共3小题） 47．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 48．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 49．（25-26八年级上·重庆巴南·阶段检测）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 题型十五 分式方程与和差倍分问题（共3小题） 50．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元 (2)2 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可； （2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元． （2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克， 由题意得，， 即， ∵a、b均为正整数， ∴或， 答：共有2种购买方案． 51．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花1800棵，乙种花1200棵 (2)应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据“计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花1800棵，乙种花1200棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 题型十六 分式方程与其它问题（共3小题） 52．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得关于v的分式方程，解方程并检验即可； （2）将代入原式，将其通分并整理后即可求得答案． 【详解】（1）解：  ，代入得： ， 即， 所以， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 答：拍摄时胶片到镜头的距离是． （2）当时，， 所以， 解得． 54．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题干信息设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列出方程即可； （2）根据题干信息设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，列出方程即可； （3）根据解析（1）列出的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 故答案为：； （2）解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得： ； 故答案为：； （3）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运产品． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式运算及分式方程 题型1分式混合运算（常考点） 题型9 与分式运算/分式方程有关的新定义问题（难点） 题型2分式的化简求值问题（常考点） 题型10与分式运算/分式方程有关的材料阅读类问题（难点） 题型3分式的裂项相消法运算（难点） 题型11分式方程与工程问题 题型4与分式运算有关的规律探究问题 题型12分式方程与经济问题 题型5解分式方程（常考点） 题型13分式方程与方案选择问题 题型6根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（重点） 题型14分式方程与行程问题 题型7根据分式方程解的情况求参数（整数解）（重点） 题型15分式方程与和差倍分问题 题型8解可化为分式方程的特殊方程（难点） 题型16分式方程与其它问题 题型一 分式混合运算（共4小题） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 2．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：，小明的解题步骤如下： 解：原式…① …② …③ ．…④ 问： (1)从第　　　　步开始出错，出错的原因是　　　　； (2)请写出正确的解题步骤． 题型二 分式的化简求值问题（共4小题） 5．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． (2)，其中，满足． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 8．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 题型三 分式的裂项相消法运算（共3小题） 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 10．（22-23八年级上·河南许昌·期末）小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 11．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 题型四 与分式运算有关的规律探究问题（共4小题） 12．（2023·云南曲靖·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 15．（25-26七年级下·山东滨州·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 题型五 解分式方程（共4小题） 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 17．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）解下列分式方程： (1) (2) 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程： (1)． (2)． 19．（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 题型六 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共4小题） 20．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若方程有增根，求的值． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 题型七 根据分式方程解的情况求参数（整数解）（共3小题） 24．（21-22八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 25．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 26．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 题型八 解可化为分式方程的特殊方程（共3小题） 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为，方程两边同乘以y，得，解得． 经检验：都是方程的根． 所以当时，，解得； 当时，，解得． 经检验：或都是原分式方程的根． 所以原分式方程的根为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为__________，原方程的根为______； (2)模仿上述换元法解方程：． 28．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 题型九 与分式运算/分式方程有关的新定义问题（共4小题） 30．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 31．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 32．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 33．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 题型十 与分式运算/分式方程有关的材料阅读类问题（共4小题） 34．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 35．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 36．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 37．（22-23八年级上·山东烟台·期中）阅读材料：将多项式因式分解． 原式＝ ＝ ＝ ＝． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中， ∵≥0 ∴≥-1 即的最小值是-1 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； (3)解分式方程：． 题型十一 分式方程与工程问题（共3小题） 38．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是5万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，若两队合作6天后，要抽调一个工程队完成其他任务，剩下的任务由另一个队单独完成，问抽调哪个队能使工程费用较少？ 40．（24-25八年级上·广东广州·期末）为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多米． (1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的倍，则甲队每天要改造多少米？ (2)若甲队负责改造米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？ 题型十二 分式方程与经济问题（共3小题） 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 42．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 43．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 题型十三 分式方程与方案选择问题（共3小题） 44．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 45．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 46．（23-24七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 题型十四 分式方程与行程问题（共3小题） 47．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 48．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 49．（25-26八年级上·重庆巴南·阶段检测）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 题型十五 分式方程与和差倍分问题（共3小题） 50．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 51．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 题型十六 分式方程与其它问题（共3小题） 52．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 53．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 54．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $