2026年中考数学专题复习（河北） 专题十　圆的综合题

专题十　圆的综合题 类型一　动点问题 　　所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用圆的知识解决问题,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路. ❶ 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC边中点,点E为线段CD上一动点,过点A,D,E作☉O分别交AB,AC于点F,G,连接FG,DG. (1)求证:∠B=∠DGF. (2)已知BC=12,∠B=30°,当四边形BDGF为平行四边形时,请补全图2,并求出DE的长. ❷ (2025·宜宾)如图,已知AE是☉O的直径,D是☉O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点,连接AD,DE,且∠AED=∠ADC. (1)求证:直线BC是☉O的切线. (2)若AE=10,tan∠CAD=,求DE与BD的长度. (3)在(2)的条件下,若F为上的一动点,且F在直线AB上方,连接AF,DF,EF.当四边形ADEF面积最大时,求DF的长度. 类型二　旋转问题 　　解决圆的旋转问题的关键是充分利用“图形绕点旋转只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小、各对应点到旋转中心的距离相等”等性质,并结合圆的相关定理、三角函数等知识进行解答. ❸ 如图1,把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE,点A,D分别对应点B,E,且满足A,D,E三点在同一条直线上.连接DE交BC于OE的中点F,△CDE的外接圆☉O与AB交于G,H两点. (1)求证:BE为☉O的切线. (2)连接OC,OB,如图2.判断四边形BECO的形状,并说明理由. ❹ 在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,半圆O的直径EF开始在边BC上,且点E与点C重合,EF=4.将半圆O绕点C顺时针旋转α(0°<α≤90°),当α=60°时,半圆O与AD相切于点P,如图1所示. (1)求AC的长度. (2)如图2,当AC,BC分别与半圆O交于点M,N时,连接MN,OM,ON. ①求∠MON的度数; ②求MN的长度. (3)当α=90°时,将半圆O沿边BC向左平移,设平移距离为x,当与△ABC的边一共有两个交点时,直接写出x的取值范围. 备用图 类型三　动圆问题 　　这类问题通常以圆或扇形的平移、旋转为背景,考查圆的综合知识,涉及求特殊位置时角的度数、线段的长度、弧长或扇形面积.解决这类问题时,首先要掌握圆的基本知识和图形的变化规律,另外,要注意圆的特殊位置可能存在不止一种情况. ❺ (2025·唐山二模)如图,斜坡AB与地面CD的夹角∠BAD=60°,斜坡顶端BE∥CD.半径为2的☉O与AB相切于点P,与CD相切于点Q,☉O上固定的一点G恰在∠BAC的平分线上.某一时刻,☉O带动点G沿斜坡AB向上滚动(无滑动),当☉O与AB切于点G时停止滚动,发现此时点G恰与点B重合,此时圆心记为O'. (1)当☉O在初始位置时,求证:∠BAD=2∠PGQ. (2)求斜坡AB的长.(结果保留π) (3)设☉O'与EB的延长线交于另一点H,求BH的长度. ❻ 如图1,∠A=45°,∠ABC=60°,AB∥MN,点C在MN上,点D在AC上,DE⊥MN于点E,DE是半圆O的直径,且DE=4,G为上靠近点D的三等分点,F是上的动点. (1)CF的最小值为　　　　,CF的最大值为　　　　.  (2)沿直线MN向右平移半圆O,若半圆O的右移速度为每秒1个单位长度,求点G在△ABC内部(包括边界)的时长. (3)过点B作BH⊥MN于点H,且BH=,沿直线MN向右平移半圆O. ①如图2,当点E与点H重合时,求半圆O在BC上截得的线段RT的长; ②将半圆O移动到如图2所示的位置时作为初始位置,将线段BE连带半圆O绕点B按顺时针方向开始旋转,如图3所示,设旋转角为α(0°<α<360°),当半圆O与△ABC的边相切时,直接写出点E运动的路径长.结果保留π,参考数据:sin 37°≈,sin 53°≈ 类型四　折叠问题 　　圆的折叠的实质是轴对称,具有轴对称的一切性质:①折叠前后的两个图形全等;②对应点的连线被折痕垂直平分;③对应点的连线互相平行,在圆的折叠问题中要结合圆的性质和定理来进行分析. ❼ 如图1~图3,AB是半圆O的直径,且AB=6,MN是半圆O的弦(点M,N可分别与点A,B重合),将半圆O沿直线MN翻折. (1)当点N与点B重合,且∠ABM=30°时,如图1. ①求劣弧AM的长; ②当半圆O沿直线MN翻折后,劣弧MN是否经过圆心O?　　　　(填“是”或“否”)  (2)当MN∥AB时,如图2,过点O作OP⊥MN,垂足为P,折叠后的劣弧MN恰好经过OP的中点Q,连接NQ,求tan∠MNQ的值. (3)若折叠后的劣弧MN与直径AB切于点C,且点C是半径OB的中点,如图3,求折痕MN的长. (4)若折叠后的劣弧MN始终与直径AB相切,设MN=d,直接写出d的取值范围. ❽ 已知扇形AOB的半径为4,∠AOB=90°,点P是OA的中点,点Q是上的一个动点,如图1,将扇形沿PQ折叠,点A的对应点为A',连接AA'. (1)如图2,当点O与点A'重合时,求的长. (2)在点Q运动的过程中,求点A'与点B之间的最小距离. (3)如图3,当Q是的中点时,求tan∠APQ的值. 【详解答案】 1.解:(1)证明:如图1,连接AD, ∵∠BAC=90°,点D为BC边中点, ∴AD=BC=BD, ∴∠BAD=∠B, ∵, ∴∠FAD=∠DGF, ∴∠B=∠DGF. (2)补全图形如图2,连接AD,AE, ∵四边形BDGF为平行四边形, ∴AB∥DG, ∴∠AGD+∠BAC=180°, ∵∠BAC=90°,∴∠AGD=90°, ∴AD为☉O的直径, ∴∠AED=90°, ∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=30°, ∴∠ADE=∠BAD+∠B=60°, ∵BC=12, ∴AD=BC=6, 在Rt△ADE中,∵cos∠ADE=, ∴DE=AD·cos∠ADE=6×=3. 2.解:(1)证明:如图,连接OD,则OD=OE, ∴∠ODE=∠OED, ∵∠AED=∠ADC, ∴∠ODE=∠ADC. ∵AE是☉O的直径, ∴∠ADE=90°, ∴∠ODC=∠ADC+∠ODA=∠ODE+∠ODA=90°, ∵OD是☉O的半径, ∴直线BC是☉O的切线. (2)∵∠C=∠ADE=90°, ∠ADC=∠AED, ∴∠CAD=∠DAE, ∴tan∠DAE=tan∠CAD=, ∵tan∠DAE=, ∴,∴AD=DE, ∵AD2+DE2=AE2,AE=10, ∴+DE2=102, 解得DE=6(负值舍去). ∵∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠BDE=90°, ∴∠BDE=∠CAD,又∠CAD=∠DAE, ∴∠BDE=∠DAE, 又∠B=∠B,∴△BDE∽△BAD, ∴,∴BE=BD. ∵OD=OE=AE=5, ∴OB=OE+BE=5+BD, ∵OD2+BD2=OB2, ∴52+BD2=, 解得BD=0(舍去)或BD=. (3)当四边形ADEF面积最大时,△AEF面积最大,点F到AE的距离最大,则点F是的中点,如图. ∴,∴AF=EF, ∵∠AFE=90°, ∴∠AEF=∠EAF=(180°-∠AFE)=45°, ∴∠EDF=∠ADF=∠EAF=∠AEF=45°. ∵AE=10, ∴AF=EF=AE=5, ∵DE=6,∴AD=8, 过点A作AG⊥DF于点G,过点E作EH⊥DF于点H, ∴△ADG与△DEH是等腰直角三角形, ∴AG=AD=4,EH=DE=3, ∵S四边形ADEF=S△AEF+S△ADE=S△ADF+S△DEF, ∴×5×5×8×6=×4DF+×3DF, 解得DF=7. 3.解:(1)证明:∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE,∴∠CAD=∠CBE, ∠ACB=∠ECD=90°, ∵∠AFC=∠BFE, ∴∠BEF=∠ACF=90°, ∴AE⊥BE. 又∵∠ECD=90°, ∴ED为☉O的直径, ∴BE为☉O的切线. (2)四边形BECO为平行四边形. 理由如下:∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE,点A,D分别对应点B,E, ∴DC=EC,∠DCE=90°,BE=AD. ∵OE=OD,∴CO⊥ED, ∴∠COE=90°. ∵∠BEO=90°, ∴∠COE=∠BEO, ∴BE∥OC. ∵点F是OE的中点, ∴EF=OF, 在△BFE与△CFO中, ∴△BFE≌△CFO(ASA), ∴BE=OC, ∴四边形BECO为平行四边形. 4.解:(1)如图1,连接OP, ∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,∴∠CAD=30°, ∵半圆O与AD相切于点P, ∴∠APO=90°,OP=OC=EF=2, ∴AO=2OP=4, ∴AC=AO+OC=6. (2)①如图2,由题意可知, 点M,N,C在半圆O上, ∴∠MON=2∠MCN=2×60°=120°. ②如图3,过点O作OP⊥MN于点P, ∵∠MON=120°,OM=ON=EF=2,∴∠ONM=30°,MN=2PN, ∴OP=ON=1, ∴PN=, ∴MN=2. (3)0≤x≤或x=6-2或6-<x<6. 解析:由题意可知,始终与△ABC的BC边交于一点, 如图4,当F在AC上时, 在Rt△FEC中,∵∠FEC=90°, ∠FCE=60°,EF=4, ∴∠EFC=30°,∴CF=2CE, ∵CF2=CE2+EF2, ∴(2CE)2=CE2+42, 解得CE=,∴x=. 如图5,当半圆O与AB相切于点P时,连接OP,OB, ∵OP⊥AB,OE⊥BC,OP=OE=EF=2, ∴∠PBO=∠OBC=∠ABC=30°, ∴BO=2OE=4, ∵OB2=OE2+BE2, ∴42=22+BE2, 解得BE=2, ∴x=BC-BE=6-2. 如图6,当F在AB上时, 在Rt△BEF中, ∵∠FEB=90°,∠FBE=60°,EF=4, ∴∠EFB=30°, ∴BF=2BE, ∵BF2=BE2+EF2, ∴(2BE)2=BE2+42, 解得BE=, ∴x=BC-BE=6-. 综上所述,当与△ABC的边一共有两个交点时,x的取值范围为0≤x≤或x=6-2或6-<x<6. 5.解:(1)证明:连接OP,OQ,如图, ∵☉O与AB相切于点P,与CD相切于点Q,∴OP⊥AB,OQ⊥AC, ∴∠APO=∠AQO=90°, ∵∠POQ+∠PAQ+∠APO+∠AQO=360°, ∴∠POQ+∠PAQ=180°, ∵∠BAD+∠PAQ=180°, ∴∠POQ=∠BAD, ∵∠POQ=2∠PGQ, ∴∠BAD=2∠PGQ. (2)连接OA,OG,如图, 由(1)知∠APO=∠AQO=90°, ∵OP=OQ,OA=OA, ∴Rt△OPA≌Rt△OQA(HL), ∴∠OAP=∠OAQ,即AO平分∠PAQ, ∵∠BAD+∠PAQ=180°, ∠BAD=60°, ∴∠PAQ=120°, ∴∠OAP=∠PAQ=60°, ∵tan∠OAP=, ∴AP=. ∵点G恰在∠BAC的平分线上, ∴点A,O,G三点共线, ∴∠POG=∠OAP+∠OPA=60°+90°=150°, ∴的长=, ∴BP=, ∴AB=AP+BP=. (3)连接O'B,过点O'作O'F⊥BH于点F,如图, ∵BE∥CD, ∴∠ABH=∠BAD=60°, ∵☉O'与AB相切于点B, ∴∠O'BA=90°, ∴∠O'BH=30°. ∵O'F⊥BH, ∴∠O'FB=90°,BH=2BF, ∴BF=cos∠O'BF·O'B=cos 30°×2=, ∴BH=2BF=2. 6.解:(1)4　2+2 解析:如图1, 当点F与点E重合时,CF的值最小,最小值为CE的长, ∵AB∥MN, ∴∠A=∠DCE=45°, ∴CE=DE=4. 当CF经过圆心时,CF的值最大, 最大值为OC+OF=+OF=+2=2+2. (2)如图2,当点G落在边AC上时,连接OG,过点G作GK⊥DE于点K,设DE与AC交于点P. 在Rt△OGK中,∠GOD=60°, ∴GK=OG·sin 60°=,OK=1, 在Rt△GPK中,∠GPK=∠CPE=∠PCE=∠A=45°, ∴PK=GK=, ∴OP=PK-OK=-1, ∴PE=OE-OP=2-(-1)=3-,∴CE=PE=3-; 如图3,当点G落在边BC上时,连接OG,OC. ∵BC与半圆O相切于点G,OE⊥CE, ∴∠OCE=∠GCE=∠ABC=30°, 在Rt△OCE中,CE==2. ∴点G在△ABC内部(包括边界)的时长为(3-+2)÷1=(3+)(s). (3)①如图4,过点O作OS⊥RT,垂足为S,连接OR. 在Rt△BSO中,∠OBS=30°,OB=-2=,∴OS=, 在Rt△OSR中, SR=, ∴RT=2SR=. ②点E运动的路径长为π或π. 解析:如图5,当半圆O与边AB相切时,设切点为Q,连接OQ,则OQ⊥AB. 在Rt△OBQ中,sin∠OBQ=,∴∠OBQ≈53°, 此时点E运动的路径长为·π×π. 如图6,当半圆O与边BC相切时,设切点为Q',连接OQ',则OQ'⊥BC. 在Rt△OBQ'中,sin∠OBQ'=, ∴∠OBQ'≈53°, ∴∠OBH=53°-30°=23°, 此时点E运动的路径长为·π×π. 综上,点E运动的路径长为π或π. 7.解:(1)①如图,连接OM,∵AB=6, ∠ABM=30°, ∴OA=OB=3, ∠AOM=2∠ABM=60°, ∴劣弧AM的长==π. ②是 解析:当半圆O沿直线MN翻折后,设点O的对应点为点W,连接OW,设OW与MN的交点为R,如图, 则∠ORN=90°, 由∠ABM=30°,得OR=OB=1.5, 根据折叠的性质,得WR=1.5, 故OR+WR=3,等于圆的半径, 故点W一定圆上,故劣弧MN经过点W,即半圆O沿直线MN折叠后,劣弧MN经过圆心O. (2)连接OM,设OP与半圆O的交点为T,如图, ∵MN∥AB,OP⊥MN, ∴∠OPM=90°,PM=PN=MN, 根据折叠的性质,得PT=PQ, ∵折叠后的劣弧MN恰好经过OP的中点Q,∴OQ=PQ, ∴PT=PQ=OQ=OT=1, ∴OP=2PQ=2, 在直角三角形OMP中,由勾股定理得PN=PM==. ∴tan∠MNQ=. (3)设折叠后的劣弧MN所在圆的圆心为O',连接O'O,O'C,OM,设O'O与MN的交点为H,如图, 根据折叠的性质,得∠OHM=90°,OH=O'H=O'O,O'C=OA=OB=OM=3,MH=NH=MN. ∵点C是半径OB的中点, ∴OC=OB=, ∴O'O=, ∴OH=O'O=, 在直角三角形OMH中,由勾股定理得MH=, ∴MN=2MH=. (4)d的取值范围为3≤d≤3. 解析:设折叠后的劣弧MN所在圆的圆心为O',当点N与点B重合,点M是的中点时,MN取得最小值,如图, 根据折叠的性质,得∠OBO'=90°,O'B=OA=OB=OM=O'M=3, ∴四边形O'BOM是正方形, ∴MN==3; 当MN∥AB,且MN恰好经过OP的中点K时,MN取得最大值,如图, 根据折叠的性质,得 OK=OP=, ∴KN=, ∴MN=2KN=3. 故d的取值范围为3≤d≤3. 8.解:(1)如图,连接OQ, ∵sin∠PQO=, ∴∠PQO=30°, ∵点O与点A'重合,∴PQ∥OB, ∴∠QOB=∠PQO=30°, ∴的长=π. (2)如图,连接OA',BA',PB,设AA'交PQ于点H. ∵将扇形沿PQ折叠,点A的对应点为A',∴PQ⊥AA',AH=HA'. ∵AP=OP,∴PH∥OA', ∴OA'⊥AA',∴∠AA'O=90°, ∴PA'=OA=2, 在Rt△POB中,PB==2, ∵BA'≥PB-PA', ∴BA'的最小值为2-2, 即点A'与点B之间的最小距离为2-2. (3)如图,过点Q作QH⊥OA于点H,连接OQ. ∵Q是的中点,∴, ∵∠AOB=90°,∴∠QOH=45°, ∴OH=HQ=2, ∴PH=OH-OP=2-2, ∴tan∠APQ==2+. 学科网（北京）股份有限公司 $