云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三月考（12月） 数 学 参 考 答 案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A A C C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC BD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 4 答案 3 1；（e,+∞） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：当时，，，舍去 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以． 由可知，， 故， ， 两式作差得：． 所以， 因为， 所以． 16．（15分） 解：证明：取中点记为， 因为与分别是与中点，所以， 又由，则， 同理且，则， 而平面， 所以平面， 又平面，所以； 构造直棱柱，如图所示，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 为平面与平面的交线， 同时，， 因此二面角即为，所以， 因为，，所以， 所以，，，， 由于，分别是，的中点， 所以，， 进而， 设平面法向量为， 而，， 由于，， 则 取，得， 从而平面一个法向量为， 设直线与平面所成线面角为， 则， 所以直线与平面所成线面角正弦值为． 17．（15分） 解：当，则，则抛物线的焦点坐标， 当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意， 由题意可设直线：，点， 将直线的方程代入椭圆：得 ， 为线段的中点， 点的纵坐标， 将直线的方程代入抛物线：得 ， ，可得， 因此， 由，可得， 即，得，当且仅当，时，等号成立， 的最大值为． 18.（17分） 解：经过次换球后，甲口袋中白黑，乙口袋中黑白，记“次换球后，甲口袋中恰有个白球”为事件， 则． 次换球后，记“甲口袋中恰有个白球”的概率为，“甲口袋中恰有白黑”的概率为， “甲口袋中恰有白黑”的概率为，“甲口袋中恰有个黑球”的概率为． 由题意可知，，，，，    所以， 则， 所以为等比数列，公比为， 由，得， 所以次换球后，甲口袋中个球颜色仍相同的概率为．． 次换球后，记“甲口袋中个球编号分别为，，”的概率为， 则，， 所以，， 当为奇数时，， 当为偶数时，．， 所以当时，取得最大值，最大值为． 19．（17分） 解：Ⅰ因为，所以， 所以令，解得，又， 所以函数的“拐点”为， 所以函数图象的对称中心为． Ⅱ因为，， 所以， ，即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 由零点存在性定理知，有唯一的零点， 所以，即， 当时，， 所以的拐点为． (ⅱ)证明：由可知，在上单调递增，， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又， 在上恒成立，在上单调递增， 又，， 所以． 数学参考答案第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三月考（12月） 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则（       ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（　　） A．1 B．2 C．2 D． 3．设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．圆关于直线对称的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（     ） A． B． C． D． 7．已知向量，若，则的最小值为（       ） A．7 B． C． D． 8．若函数有个零点，则正数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（），若将其图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则以下结论正确的有（   ） A． B．在上的最小值为 C．函数的一个对称中心为 D．的增区间为（） 10．下列命题中正确的是 A．若样本数据的样本方差为，则数据的方差为 B．经验回归方程为时，变量和负相关 C．若，则取最大值时 D．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（       ） A．若（其中），则椭圆的离心率 B．若，则的最大值为 C．若，，则 D．若，直线、的斜率之积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则 . 13．在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为 . 14．已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 若数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式； 若，数列的前项和为，证明：． 16．（15分） 如图，在四面体中，，，，，分别为，的中点． 证明：； 若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于． 若，求抛物线的焦点坐标； 若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值． 18．（17分） 有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为，，的个白球，乙口袋中有编号为，，的个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． 求次换球后，甲口袋中恰有个白球的概率 求次换球后，甲口袋中个球颜色恰好相同的概率结果用含的式子表示 求次换球后，甲口袋中个球编号恰好为，，的概率结果用含的式子表示当为多少时，概率取得最大值最大值是多少 19．（17分） 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心． Ⅰ若函数，求函数图象的对称中心； Ⅱ已知函数，其中． (ⅰ)求的拐点； (ⅱ)若，求证：． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $