精品解析：广东省潮州市金山实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

潮州市金山实验学校2025—2026学年度 第一学期初三级数学学科期中教学质量调查卷 一、单选题 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点与点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 故选：A． 3. 若关于的二次函数与轴有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据二次函数与轴有公共点，需满足且二次项系数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二次函数与轴有公共点， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴且， 故选：． 4. 已知抛物线，则下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 顶点坐标 D. 与y轴交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式，理解顶点式是解题的关键．根据抛物线顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点回答即可． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ ，开口向上，A正确，此选项不符合题意； 对称轴为 ，B正确，此选项不符合题意； 顶点坐标为 ，C正确，此选项不符合题意； 当 时，， ∴ 抛物线与y轴交点坐标为 ，不是 ，故D错误，此选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，是的直径，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：， ， ． 故选：． 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035． 故选B 7. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 8. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：抛物线在直线上方时，的范围是：或， 即的解集是或， 故选：C． 9. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． 二、填空题 11. 将一元二次方程化为一般形式为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，通过去括号、移项、合并同类项，将方程化为（其中）的形式． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 12. 若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移；将解析式化为顶点式，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：原抛物线的顶点为， 向左平移2个单位，顶点横坐标变为； 向上平移3个单位，顶点纵坐标变为， 故新顶点为， 由于平移不改变二次项系数，新解析式为． 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____． 【答案】110°. 【解析】 【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110° 【详解】∵∠BOD=140° ∴∠A=∠BOD=70° ∴∠C=180°-∠A=110°， 故答案为110°. 【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度. 14. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出，根据等式的性质可得出，根据正方形的面积公式可求出边长，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转到， ∴， ∴，即， 又四边形的面积为144， ∴， ∴边长， 又，， ∴， 故答案为：5． 15. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的是________ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴，， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③由图象可得，当时，此时，故，故③正确； ④∵， ∴， 由图象可得当时，此时，故，故④正确； ⑤由时函数取最小值可得， ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 即， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根； （2）求证：不论m取何值时，该方程都有两个不等实数根． 【答案】（1），另一根为 （2） 证明：， ∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）将代入方程求出m的值，再求解方程即可得到另一个根即可； （2）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可． 【小问1详解】 解：将代入方程得， 解得：， 此方程为， 因式分解为， ∴，， 解得：，， ∴方程的另一个根为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）的面积为______； （3）若将点A绕着原点O顺时针旋转得到点，的坐标为______． 【答案】（1） 如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． （1）分别作点、、关于原点成中心对称的点、、，并依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）先作出点A旋转后点的位置，然后得出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 故选：； 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，是圆的直径，弦于点，点在圆上，恰好经过圆心，连接. (1)若，，求圆的直径. (2)若，求的度数. 【答案】(1)圆的直径是20；(2)∠D=30°. 【解析】 【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论； （2）由∠M=30°可得∠DOB=60°，则△BOD为等边三角形，结合等边三角形的性质可以求得结果. 【详解】(1)∵ ∴ 设，则OD=x， 又∵ ∴OE=OB-BE=(x-4), 在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2 ∴ 解得：，即圆O的半径是10， ∴圆的直径是20; (2)连接BD，如图， ∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形, ∴∠BDO=∠BOD=60°， ∵ ∴. 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键． 20. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 21. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）关于的函数解析式为； （2）汽车刹车后，行驶了米； （3） 解：由（）得关于的函数解析式为， ∴， ∴当时，汽车停下，行驶了米， ∵， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，将，，代入， ，解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得关于的函数解析式为， 当时，， ∴汽车刹车后，行驶了米； 【小问3详解】 略 22. 【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，连接探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长到点G，使，连接； 小亮的方法：如图3，将绕点A顺时针旋转90°得到． （1）通过以上探究可以得出线段之间的数量关系为：______； 【方法迁移】 （2）如图4，在四边形中，，，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系； 【变式应用】 （3）如图5，在四边形中，，，点E，F分别在边的延长线上，且，连接，请直接写出线段之间的数量关系：______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）小明的方法：延长到点，使，连接，证明△△，得出，，证明△△，得出，则可得出结论； 小亮的方法：将△绕点顺时针旋转得到△．得出△△，则，，同理可证△△，得出，则可得出结论； （2）延长到点，使 连接，证明△△，得出，，证明△△，得出，则可得出结论； （3）在上取，连接，由，，得，从而证△△，再通过证△△，得，从而解决问题； 【详解】解：（1）小明的方法：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ； 小亮的方法：将△绕点顺时针旋转得到△． △△， ，， ， ，，三点在一条直线上， 同理可证△△， ， ， ； 故答案为：； （2）延长到点，使 连接， ，， ， 又，， △△， ，， ， ， ， ， 又， △△， ， ， ； （3）如图，在上取，连接， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 故答案为：． 23. 如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． （1）将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为． ①求出点的坐标； ②判断四边形的形状，并说明理由； （2）设G是坐标平面内一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标； （3）设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，已知以为顶点的四边形是矩形，请直接写出点G的坐标：______． 【答案】（1）①点的坐标为； ②四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）点G的坐标为或或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线的解析式分别求出点A、B、的坐标，然后根据平移求出点的坐标即可； ②证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 ①解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∵将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为， ∴， ∴点的坐标为； ②略 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴ ∴ 解得 ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴ ∴ 解得 ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； 【小问3详解】 解：要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮州市金山实验学校2025—2026学年度 第一学期初三级数学学科期中教学质量调查卷 一、单选题 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的二次函数与轴有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知抛物线，则下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 顶点坐标 D. 与y轴交点坐标为 5. 如图，是的直径，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035 7. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 8. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 将一元二次方程化为一般形式为：______． 12. 若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为______； 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____． 14. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为____． 15. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的是________ 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根； （2）求证：不论m取何值时，该方程都有两个不等实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）的面积为______； （3）若将点A绕着原点O顺时针旋转得到点，的坐标为______． 19. 如图，是圆的直径，弦于点，点在圆上，恰好经过圆心，连接. (1)若，，求圆的直径. (2)若，求的度数. 20. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 21. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 22. 【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，连接探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长到点G，使，连接； 小亮的方法：如图3，将绕点A顺时针旋转90°得到． （1）通过以上探究可以得出线段之间的数量关系为：______； 【方法迁移】 （2）如图4，在四边形中，，，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系； 【变式应用】 （3）如图5，在四边形中，，，点E，F分别在边的延长线上，且，连接，请直接写出线段之间的数量关系：______． 23. 如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． （1）将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为． ①求出点的坐标； ②判断四边形的形状，并说明理由； （2）设G是坐标平面内一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标； （3）设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，已知以为顶点的四边形是矩形，请直接写出点G的坐标：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $