甘肃省酒泉市部分中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

中t.2025一2026学年高二年级12月阶段检测5().8 数学试题 .脐贝n前{，山 人.公的.民装张(1) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。干{X() 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知数列{a,}的通项公式为a.=3n十1，则下列各数是数列{an}的项是 A.11 B.22 C.24 D.44 2.已知点A(3,5),B(5,n),若直线AB的斜率为2，则n= :门类简球联5（企1）.e A.7 B.3 C.1前阳发芯的油D.g达装(1) 3.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上，则AF=0,)T点拭5(S) A.4 1个 B.6普，(： 》=n长向然日，9总这道好（心】 C.5 D.3 4.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，一4)，点（一6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离 心率为 A.4 B.3 C.2 D./2 6,已知椭圆C名+号=1@>3)的离心率为则下列说法错误的是 A.a=25 B.短轴长为6 C.焦距为5 D.点(2，一√6)在椭圆C上 6双确线 y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线的离 心率为 A号 B.5 C.5 D.25 第1页（共4页） 7.已阅者书为椭圆是平盟臀苹空意，省线7过圆M,公严25号1药圆衣且写前着安 25.21 4点故，点阿H, 1边的点迁，比点款的=：)时姓联1). 于AB两点，则PA·P它的取值范围是， B的取值把围是：农人，认.点子.0年交姓直确动章1 A[2,6] B.[8,48] C.[5,45] D.[4,36] 点的 8.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F,点P在双曲线右支上，直线 PF2的斜率为2若△PF1F:是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 已知椭圆+上=1的焦距大于43，则m的取值可卫 m :星啦)阅方来( ,A,2=w02客，点耶B8氏0点两U,人C,5V2脑己直D.50-,0)址2 10.数列{an}满足a1=1,am+1=2am十n一1，n∈N+,则下列说法正确的有 .8A A.数列{a.十n}是等比数列 B.a.=2"-n C.数列(a,}的前n项和S。=2+1-n+n一4 2 D.数列{an}是递增数列 11.设抛物线C:y6x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，过点A作直线 x=一 一的垂线，垂足为D,过点F且与AB垂直的直线交直线Z于点E,则网 :XDAF关理游4周脚xBAE1=AB单门脚QC C,1AB1≥店联9共，异美智道白Q装p D.IAEI·IBEI≥18 一)：3圆酒4C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 12.已知圆x2+y2十ay十a=0的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作C的准线的垂线， 垂足为B若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= 4设双曲线C无-=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,R:过F,作平行于y轴的 直线交C于A,B两点.若|F:A|=13,lAB|=10,则C的离心率为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤。 15.(13分)已知抛物线C:3y2=4x的焦点为F,过点F的直线1交C于A,B两点，过点F 与L垂直的直线交C于D,E两点，M,N分别为AB,DE的中点，证明：直线MN过 定点 的。行拉为当，年化的 见. 女明，西行进的，月收因地上 1X3状价的1 1 厘逾产，出庭五的出出面小面音。食！共，心思小猫，显小无共士：蓝洗数，二 16,15分)E知周圆C+-10a>6>0的离心率为号，长轴长为 要日合 (1)求椭圆C的方程； 示阅岛民社上 (2)过点(0，一2)的直线1与椭圆C交于A,B两点，0为坐标原点，若S△B=√反， 求IAB. ,三，山民，议 的限的+·蛇势， 一0.月 评n的的.足 行安t数号{、：以国 17.(15分)已知圆C的半径为2，圆心在射线y=x(x>0)上，点A(-1,1)在圆C上.. (1)求圆C的标准方程： 1.月四， (2)若圆D与圆C关于直线y=一x对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长； (3)判断圆E:(x一2)2+(y一3)2=9与(2)中圆D的位置关系，并说明理由. 那造高，中5的出过县水西方。化1共，化要小诉，要心无共服：面形数， 化行物的器可，代位塑售的区化，化积花数脑全，你纯目翻合的 西方火，1回十在的行。州传5 以3，沿 )7街， 57两1，.137 第3页（共4页） 18.(17分)已知在正项数列(a,}中，a1=1且⑤，+⑤，-=a.(t≥2，n∈N+),其中S.为 数列{a.}的前n项和. 媛好堂翅 (1)求数列{a.}的通项公式； :算京安 (2)若对于任意n∈N+,2·λ≥S,恒成立，求实数入的取值范围， (3)设c,=(-1)a.+1(2)+1,求数列{c.}的前n项和T.心叫 川X一十图容岁4州.， 令发，情公心和 只，中设个四的出小进步伦4共，伦。满小辞，小共强志议， 。阳欢要日酒台公一 !0的.顿必网修阳可限，·十2,1生公1西u .1 0 19.(17分)已知双曲线C:-31,其右顶点为P,右焦点为F (1)求以F为焦点的抛物线的标准方程； (2)已知点T(4,0),设点Q是双曲线C上任一点，求|QT引的最小值： (3)设直线l过点P,且法向量为n=(1,一1)，若在双曲线C上恰有三个点P,,P:,P 到直线l的距离均为d,求d的值. ,0 9 公的站出网可e,比带小两时亿 长程 })附园一).国 代区 高的为，草=1卡“、的：话兴。 ESC 第4页（共4页）2025一2026学年高二年级12月阶段检测 数学参考答案及评分意见 1=11得n=0在N+,故A错误；解3n+1=22得n=7∈N+,故B正 CN.,放C错误：解3n十1=44得n-3gN,放D错误故选B 23 2.D【解析]因为点A(8,5),B5,),所以直线AB的斜率为号-胃”，由题意得”。5-2，解得=9，敬选D 3.C【解析】由抛物线方程x2=4y,得F(0,1),准线方程为y=一1.因为点A(4,m)在抛物线上，所以16=4m,解 得m=4.由抛物线的定义，得|AF|=m-（-1)=5,故选C. 4.C【解析】由题意，设F1(0,一4)，F2(0,4),P(-6,4),则|F1F2|=2c=8,|PF1|=√62+(4+4)=10，|PF2|= √6+(4-4)=6.由双曲线的定义，得2a=PF,-PF,1=10-6=4,则离心率e=2c=8 =2.故选C. 2a4 a=2所以c2=1。 5.C【解析】因为e=C=1 2,所以6=4因为：=9，所以a=12,所以精圆C的方程为 y 9=1,a=25,c=3,所以焦距为2c=23.因为b2=9,所以b=3,所以短轴长为2b=6.将点(2，-6)代入 +号粥是+ +y2 =1,所以点(2，一√6)在椭圆C上.由以上分析知，错误的是C,故选C. 6.B【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为y=士x.因为双曲线的一条渐近线与直线x十2y十1=0垂直，所 以新近线为-总，且2·（-》-1，察得：-2，所以双面纹的离心率。-日-6。万-。要 b a =√5.故选B. 7B【解折1圆M:红2+y=1的圆心为M2,0,半径为1，在椭四后+-1中，2=25，=21，c=0 b2=4,所以a=5,c=2,所以圆心M为椭圆的右焦点. 由题意得，AB是圆M的直径，AB|=2,所以M为AB的中点，所以MA=一MB! 如图，连接PM,则PA·PB=(PM+MA)·(PM+MB)=(PM-MB)·(PM+MB)=|PM2-|MB|?= |P:-1.因为点P为椭圆层+分=1上任意一点，所以P。=a-c=3,Pi=a十c=7. 由3≤|PM1≤7，得PA·PB=|PM12-1∈[8,48].故选B. 8.A【解析】因为点P在双曲线的右支上，直线PF2的斜率为2，所以∠PFF2≠90°，且∠PF2F1≠90°.若 数学答案第1页（共6页） △PF1F2是直角三角形，则∠F1PF2=90°，且点P在第四象限，如图. 在R△PRE,中，设☑PF,E=9则直线PF,的斜率：=tan9=2,即E=2,则R,R,I=5PF, 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,F1F2|=2c=√5m. 由San-号PF,·PF-方m2m=8,得m=2, 则|PF2|=2√2，|PF1|=4√2，|F1F2|=2c=2√10，c=√/10. 由双曲线的定义，得PP,-PF,=2a=2厄，所以a=巨，b=V一a=8,所以双曲线的方程为号- 28 1.故选A. 9.ACD【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，焦距为2√20-m.由题意得2√20一m>4√3，解得0<m<8.当椭圆的 焦点在y轴上时，焦距为2√m-20.由题意得2√m-20>4√3，解得m>32.故选ACD. 10.ABD【解析】因为am+1=2an十n-1,所以am+1+(n十1)=2an十2n=2(an十n).因为a1=1,所以a1+1=2, 所以数列{am十n}是首项和公比都为2的等比数列，故A正确.由以上分析知，an十n=2”,所以an=2”一n,故B 正确.因为an=2-n,所以Sn=a1+a2十…十am=21-1十22-2+…+2”-n=21十22十…十2-(1十 2+…十m)=21-2-n士)1m=21_2++4,放C错误，因为a1=2a.十m-1,所以a,+1一0，=a.十 2 2 n一1=2-1.因为n∈N+,所以2一1>0，所以am+1>am,即数列{am}是递增数列，故D正确.故选ABD. 1.ACD【解析】由题意知，F(,0小，直线1是抛物线C的准线.由抛物线的定义，得AD1=AF1,故A正确 由题意知，直线AB的领斜角不为0，且过点P(侣，0，所以设直线AB的方程为x=m心y十2设A(红1)， 3 B(x2,y2),由 2=my十2消去z,整理得y2-6my-9=0,则y1十y2=6m,y1y,=-9,x1+x2=m(y1+ y2=6x, y2)+3=6m2+3,所以AB|=x1十x2+3=6m2+6. 当m=0时，|AB取得最小值6，所以|AB|≥6，故C正确. 当m=0时，1AB|=6,|AF|=3,|EF|=3,所以|AE|=3√2，|AE≠|AB|,故B错误， X3 当m=0时，AE引=BE1=32,所以AE引·BE引=18.当m≠0时，直线EF的方程为x=一1y 2· E(多3m）,所以EF=√S+9m,因为SA=号AE·BE·sn∠AEB=号ABI·EF=名(6m+ 9 6)9+9m2>9,所以|AE|·|BE|> 1 >18.综上，|AE|·|BE≥18，故D正确.故选ACD. 2·sin∠AEB 数学答案第2页（共6页） 2-4a>0, 12（-,0》【解折1因为圆+y十ay十a=0标准方积为+(+护-号-e所以 >0， 解得a< 0,即实数a的取值范围是(-∞，0). 18.5【解折1在方程y=-2z十2中，令y=0,解得x=1,所以F1,0.因为F(台0小，所以号=1，解得力=2，所 以抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.在方程y=-2x十2中，令x=-1,得y=4,所以B(-1, 4),所以点A的纵坐标为4.在方程y2=4x中，令y=4,解得x=4,所以A(4,4).由抛物线的定义，得|AF|= xA+1=5. 14号【解折]由题意知，点AB,的横坐标均为c,将x=e代入号-若=1，得y=+公设点A在第一象限， 则A,2)B(e,2)所以1AB-2答-10A,- =5. a 又1AF,-1AF,1=2a,即13-5=8=2a,解得a=4,代人2-5，得6=20，所以c=a+6:=36,即c=6,所 以C的离心率e=S=6=3 a421 15.证明：因为抛物线C:y2=4x的焦点为F,所以F(1,0).…1分 由题意，得直线I与直线DE的斜率都存在，且均不为0.…2分 设直线L的方程为x=my十1(m≠0)，A(x1,y1),B(x2y2). 的P=4红， 消去x,化简得y2-4my-4=0,…4分 x=my+1, 所以y1十y=4myy2=-4,所以y1头2=2m,1x=m(6+y)+2 =2m2+1, 2 2 2 所以M(2m2+1,2m). 同理可得，N 十1， …7分 m 若点M,N的横坐标相等，即2m2+1二十1，则m=士1。 此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为x=3。…9分 2m 2) 当m≠士1时，直线MN的斜率kMw= m m 2m2+1- m2-1’ 则直线MN的方程为ym”红-2m-1)+2m-m”红-3 数学答案第3页（共6页） 所以直线MN过点(3,0).… …12分 综上，直线MN过定点(3,0). …13分 16.解：(1)由题意，得2a=4,二-号，解得a=2,c=2. …3分 所以b2=a2-c2=4-2=2, 所以箱西C的方程为+号 =1.…… …5分 (2)由题意，得直线1的斜率存在且不为0，设为k. 因为直线l过点(0，一2)，所以直线l的方程为y=x一2.…7分 [y=kx-2, 22y2消去y,整理得(2十1)x-8kx十4=0 21, 由△=(-8k)2-4×4×(22+1)=16(22-1D>0,解得> 21 设P(0,一2)，点A,B的横坐标分别为x1,x2, 8k 4 则x1十x2=2k0十1x1x=2k2+1 …11分 SAON-ISAoA-SAcral-OPllzI-OPIlz:lx:l-/, 4 16(2k2-1) 2 …13分 所以AB=1十x-无2写小叶gX2三5……15分 17.解：(1)因为圆C的圆心在射线y=x(x≥0)上，所以设圆心C(m,m)(m≥0).…1分 因为圆C的半径为2，点A(-1,1)在圆C上，所以|AC|=√/m-（-1)]2+(m-1)2=2.…3分 解得m=1, 所以圆C的标准方程为(x一1)2十(y一1)2=4.…5分 (2)因为圆D与圆C关于直线y=一x对称，所以圆D的半径r=2,圆心D(s,t)与点C(1,1)关于直线y=一x 对称 …6分 所以直线CD的斜率为1，且线段CD的中点F,+） 2,2 在直线y=一x上， 即 …8分 2 2· 解得s=t=-1,所以D(-1,-1). 因为点D到x轴的距离d=1<2=r,所以x轴与圆D相交.…10分 所以弦长为2r2-d7=2√4-I=25.…11分 (3)圆E与圆D外切…12分 数学答案第4页（共6页） 由(2)知，圆D的圆心为D(-1,-1),半径r=2, 圆E:(x-2)2+(y-3)2=9的圆心为E(2,3),半径R=3.… …13分 因为CE1=√2-(-1)]+3-(-1)JF=5=r+R, 所以圆E与圆D外切.… …15分 18.解：(1)在数列{an}中，Sm一Sm-1=an(n≥2，n∈N+)①， 又因为√Sm+√Sm-1=am(n≥2，n∈N+)②，am>0, 所以①÷②，得√S网-√Sm-=l(n≥2，n∈N+）.…2分 又因为√S1=√a1=1,所以数列{√Sm}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√Sm=1十(n-1)=n,所以Sn=n2.…4分 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时，a1=1,也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an=2n一1.… …6分 (2)由(1)知，Sm=n2. 因为对于任意n∈N,2·≥Sn恒成立，所以≥恒成立. …7分 设6，-会则616，-a+D-n2n+山， 2n+12n 2n+1 当n=1,2时，bm+1一bn>0,bn<bm+1: 当n≥3，n∈N+时，bm+1-bn<0,bn>bm+1, 所以b1<b2<b3>b4>b5>…, 所以数列6.)的最大项是6：=号所以A≥ 8 即实数入的取值范围为 …10分 (3)由(1)知am=2n-1, 所以cm=(-1)”am+1(√2)m+1=(-1)"(2n+1)(W2)2m=(2n+1)(-2)n. …12分 所以Tm=3X(-2)+5×(-2)2+7×(-2)3+…+(2n+1)(-2)".③ -2Tm=3×(-2)2+5X(-2)3+7×(-2)4+…+(2n+1)(-2)"+1.④ ③-④，得3Tn=3×(-2)十2X(-2)2十2×(-2)3+…十2X(-2)"-(2n十1)(-2)"+1 2+2X2X1-（-2》2n+0(2》1106m十52中m16分 1-(-2) 3 所以T,=106n十5(2)+1，……，17分 99 9.解：)在双曲线C:子-号1中，a2=4,b=3,所以c2=a2+6:=4+3=7分 所以C=√7，则右焦点为F(√厅，0)，…2分 所以以F为焦点的抛物线的标准方程为y2=4√7x.…4分 数学答案第5页（共6页） e设Qw.则--1… |QT|=√(xo-4)2+y8= 1 4x0-8x0十13…7分 因为xo|≥2， 所以当x,=9时，QT取得最小值，QTm3yI 16」 7 …9分 (3)因为直线1的法向量为n=(1,一1)，所以直线l的斜率为1. 由题意，得P(2,0),所以直线1的方程为y=父一2.…10分 若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3到直线l的距离均为d, 则与直线1平行且距离相等的两条平行线1，l2,一条与双曲线C相切，一条与双曲线C交于两点.…12分 设与直线l平行的直线方程为y=x十m,m≠一2. [y=x十m, 消去，整理得r+8mz十m+12-0 令△=64m2-4(4m2+12)=0,解得m=士1.… …14分 当m=1时，直线y=x十1与y=x-2的距离4，=一2-1_3y2 √2 2； 当m=-1时，直线y=x-1与y=x-2的距离4，=一2-（一1- √2 2 袋上d的值为吃政 3√2 …17分 数学答案第6页（共6页）