3.3勾股定理的简单运用之折叠问题2025-2026学年苏科版八年级数学 上册

3.3勾股定理的简单运用之折叠问题 一、单选题 1.如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的 点F处折痕为DE若AB=4,BF=2,则AE的长是() D F B 25 A. B.3 c月 。告 2.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,把直角三角形沿BD折 叠，使点C落在AB边的点E处，则AD的长为()· D B A.2.5 B.4 C.5 D.8 3.如图。三角形纸片1C中， ∠BAC=90B=3,AC=5.沿过点的直线将纸片折 叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点 为E,则AE的长是() D 11 A·3 8.16 C. 7 D·5 4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC按如图2所示方式折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE,若BD=5,BC=6,则CE的长是() B D 图1 图2 V24 7 7 A.7 B.4 C.4 D.3 5.如图，直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=24,AB=18,DE L AC, CD-BC.CE=号4C,p是直线AC上一点，把ACDp沿Dp所在的直线翻折后，点c 3 落在直线DE上的点H处，CP=() A.20 B.5 C.16或5 D.20或5 6.如图，在长方形ABCD中，点M在边AD上，将长方形纸片ABCD沿MC所在的直线折 叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交于点N.继续折叠长方形纸片ABCD,使AM恰好 落在直线MD'上，点A落在点A处，点B落在点B处，折痕为ME,若CD=4,MD=8, 则MN的长度为() D A.3 B.4 C.5 D.8 二、填空题 7.如图，矩形ABCD中，BC=2,DC=1,如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在 点F处，那么图中阴影部分的面积是」 B 8.如图。在平面直角坐标系中，点A的坐标是-6,0)，点B的坐标是0,8)，点C是0B上 一点，将三角形ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则点C的坐标为一· y B B' 9.如图，在长方形ABCD中，点E点F分别为边AB,CD上的点，将长方形ABCD纸片 沿EF折叠，使点B与点D重合，若AB=8,AD=6,则折痕EF的长是· A E G B C 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点M、N分别在边AC、AB上，连接MN,将三 角形AMN沿直线MN折叠，点恰好落在BC边上的点D处，且BD-BC,若 4C=10AB=8 则线段BN的长为一· M 11.如图，已知长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形ABCD沿EF折叠，使点C 落在点A处，点D落在点G处，则CF=_,△AEF的面积· G D 12.如图，在三角形ABC中， ∠C=90°，点D,E分别在边 C,AB B上，连接DE,将三角 形BDE沿DE折叠，点B的对应点为F点F刚好落在AC边上，若BC=5,CF=V5 则 BD的长为 C F B 三、解答题 13.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D处，折痕为EF. D A B C (1)求证：△AEF是等腰三角形. (2)若AB=4cm,EF=5cm,求AE和BC的长. 14.如图，在四边形4BCD中，∠D=90,∠B=60,AD=12,AB-400 3， AB1AC,在 CD上选取一点E,连接AE,将△ADE沿AE翻折，使点D落在AC上的点F处.求： B E D (1)CD的长； (2)DE的长. 15.同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ 斜 D 直 边 6 边直角边 b E a B B 图① 图② 图③ (1)填空：如图①，若直角边a=1,直角边b=3,则斜边c= (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之 间的面积关系，试说明“+6=c, (3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知 AB=CD=8,BC=AD=I0,求EF的长， 16.在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=8·P为BC上一点，将△ABP沿直线AP 翻折至△AEP的位置（点B落在点E处） G D D C B A 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E在边CD上时，求CP的长度 (2)如图2，当点E在边CD外时，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE, 求BP的长 ③)如图3，已知点Q为射线B1上的一个动点，将△BC0沿CP翻折，点B恰好落在直线 D0上的点B处，求吧的长 、BQ 17,已知长方形4BCD.AB=5.BC=4,Q为射线BA上的一个动点，将 BC0沿直线 CO 翻折至三角形BCQ的位置（点B落在点B处） D D E B B A(O) B 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AC,当点B落在AC上时，AB'= (2)如图2，当点Q与点A重合时， BO与CD 交于点E,求重叠部分（阴影）的面积； B'O BO (3)当直线 经过点D时，求的长 18.在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动. 如图①，在长方形纸片DEFG上任意画一条线段AB,将纸片沿线段AB折叠（如图②） D 图① 图② 图③ 图④ (1)试探究重叠部分三角形ABC的形状，并说明理由； (2)若EF=8cm,DE=4cm,请直接写出三角形ABC面积的最小值为 (3)把长方形纸片DEFG对折，折痕为MN,请你仅用圆规在图3的折痕MN上找一点P 使得三角形DEP为等边三角形.（保留作图痕迹，不写作法） (4)如图④，若EF=13cm,DE=5cm,在边EF上找一点A,在边FG上找一点B,将三角 形FAB沿AB翻折得△FAB.设FA与边DG交于点P,当点A、B位置发生变化时，点P 的位置也跟着变化，试求整个变化过程中GP最大值与最小值的和. 参考答案 1.C 【详解】解：设AE=x, 则BE=AB-AE=4-x, 由折叠的性质可得：EF=AE=x, 四边形ABCD是长方形 ÷∠B=90° 在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2, 即(4-2+22=2 得月 即4G的长为 故选：C 2.C 【详解】解：在RtAABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6, :AC=VAB2-BC2=V702-62=8 根据折叠可知：BE=BC=6,DE=CD ·AE=10-6=4 设DE=CD=x,则AD=8-x, 根据勾股定理得：AD=AE2+DE2 (8-x2=x2+4 解得：x=3, AD=8-3=5 故选：C, 3.D 【详解】解：∠BAC=90 ∠B+∠C=90° 由折叠可得AD=AB=3,DE=CE,∠B=∠ADB,∠C=∠CDE, ÷∠ADB+∠CDE=90°， ∠ADE=90° 设AE=x,则DE=CE=AC-AE=5-x, 在RtADE中，AE=AD2+DE 4x2=32+(5-x2 解得：x= 5 即AE= 5 故选：D 4.C 【详解】解：根据翻折不变性得△EDA≌△EDB ·AD=BD=5,AE=BE, ·AB=AD+BD=I0 :AC=√AB2-BC2=V702-6=8 .在Rt△BCE中，设CE=x,则BE=AE=8-x, BE2 BC2+CE2 .(8-x2=62+x 7 解得x= 4 故选：C, 5.D 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， B P E 图1 由折叠可得，PC=PH,DC=DH :∠A=90°，AC=24,AB=18, .BC=VAB2+AC2=V182+2平=30 DH-CD-BC-10.CE-4C-8.DELAC :DE=VCD2-CE2=102-82=6 ·EH=DE+DH=6+10=16 设PC=x,则PH=x,PE=x-8 在R△PEH中，由勾股定理得EH+PE=PH :162+x-8到2=x2 解得x=20 CP=20; 当P点在E点右边时，如图2所示， B 图2 由折叠可得，DH=CD=BC=10 EH=DH-DE=10-6=4, 设PC=a,则PE=EC-PC=8-a,PH=a, 在R1△PEH中，由勾股定理得PE+BH=PH