广东省纵千文化联盟2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

广东省2025年12月高三阶段性联合检测 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A={-1,0,2},B={xlx(x-1)=0},则AUB= A.{0} B.{0,1,2》 C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,2} 2.已知复数之=3一5i,则乏·（一i)的实部为 A.-5 B.-3 C.3 D.5 3.已知向量a=(1,1),b=(一2，x),则“x=-2”是“a⊥(a十2b)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.统计学中算术平均数、几何平均数、调和平均数、加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数 a1,a2,ag,,a的调和平均数Hn= ,则数据1,2,4,4,6,8的调和平均数H= 1 =1a B 144 55 c D瑞 5.已知离心率为号的椭圆E:后+ =l(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2,点P在E上， PF2+PF22的最小值为8，则椭圆E的方程是 3 R+-1 蓉+ C 2y1 9 6.已知圆台OO2的上、下底面半径之比为3：4，若圆台OO2的上、下底面圆周都在半径为5 的球O(球心O在圆台内部)的表面上，且圆台的高为7，则圆台O,O2的体积为 A.259r B.86π C133x D.1036x 3 3 3 【高三阶段性联合检测数学卷第1页（共4页）】 6148C 7.若2a∈(-受，受)，ana=39a则sn(2a-晋)= 3-sin a A.-46+7 B.46-7 C.-42+73 D.42-78 18 18 18 18 8铃出下列两个不等武：①（得）<e:②元十n中7十…十前>h3(nN),则 3n A.①②都错误 B.①正确，②错误 C.①②都正确 D.①错误，②正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 60% 30% 10% 优质率 90% 80% 60% 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记A1,A2,A3表示买到的防毒面具分别为甲品牌、 乙品牌、其他品牌，记B表示买到的防毒面具是优质品，则 A.P(A2+A3)=0.4 B.P(BA1)=0.9 C.P(B)=0.84 D.P(A2B)=0.3 10.已知抛物线Cy=2px(p>0)的焦点为F,准线为L,点A(,m)是C上第一象限内一点， 且AF=号，AF的延长线与C交于另一点B,AF的反向延长线与1交于点E,与y轴交 于点M,设P是抛物线C上一动点，则 A.p=2 B古 C.以BF为直径的圆与y轴相切 D.满足IPM川=|PF的点P有且仅有2个 1.已知函数/)千8)子十2，下列说法正确的是 A.f(x)与g(x)的图象都是中心对称图形 B.存在t∈R,使得f(x)、g(x)在(t,十o∞)上的单调性相反 C.若方程f(x)=|x+1|十a有3个不同实根，则一1<a<0 D.若函数g(x)与函数y=x3+3x2+3.x的图象有k个不同交点P:(x,y:)(i=1,2,…,k), 则2x+含=-8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若(a.x-1)”的展开式中第4项为160，则a= 13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√3，(a一b)(sinA十sinB)= sinC(b+c),则△ABC面积的最大值为 【高三阶段性联合检测数学卷第2页（共4页）】 6148C 11maxa,6表示实数a,6中的较大者，已知xy均为正数，则maxx,号}十max,}十 max,是的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=Asin(x十p)(A>0,w>0,p<)的图象如图所示. (1)求f(x)的单调递增区间； y (2)若ae(,5),且sin2a-号，求fa)的值。 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,底面ABCD为 等腰梯形，且AB=2CD=2,∠ABC=60. (1)证明：平面PAC⊥平面PBC; (2)若AP=1,求平面PAD与平面PAC夹角的余弦值. D 17.(本小题满分15分》 已知函数f(x)=x2-2alnx十l,a∈R且a≠0. (1)当a=一1时，设曲线y=f(x)在x=1处的切线为l,求l与曲线y=f(x)的公共点 个数； (2)若函数f(x)的最小值为1，求实数a的值. 【高三阶段性联合检测数学卷第3页（共4页）】 6148C 18.(本小题满分17分) 已知双储线C:后茶=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为x+Ey=0,点P(2.1)是C上 一点，过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线1，l2,且直线l1与C交于另一点A,直线l2与 C交于另一点B. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l1,l2的倾斜角互补，且k1=√2，求|AB引： (3)若k1十k2=1,证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标 19.(本小题满分17分) 已知数列{p},{qn},给出以下两个定义： ①若p,=|qm=m>0,且对于任意i=1,2,…,n,都有p:≠q:,则称{p}与{q}为“m型 相关数列”； ②s,(9)-2品，1.(n9）-Ag (1)若数列{an}与{bn}为“m型相关数列”，证明：Tn(a:,b:)=一2mSn(a,b:); (2)已知数列{an》与{b,}为“1型相关数列”， (1)若Ts(a,b|)=6,从a,a2,…,ag中随机抽取4项，X表示这4项的和，求X的期 望E(X): (i)若数列{c}满足cn=1,且S12(a:,b:)=4S,(a,c:),求S225(b:,c:)的最大值. 【高三阶段性联合检测数学卷第4页（共4页）】 6148C广东省2025年12月高三阶段性联合检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B B A D C 二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 1.C由已知集合B={xx(x-1)=0}={0,1},所以AUB={-1,0,1,2}.故选C. 2.D因为=3一5i,所以=3+5i,则·(-i)=5-3i,所以之·(-i)的实部为5，故选D. 3.D 题意知a十2b=(-3,1+2x),又a⊥(a十2b),所以-3×1十1×(1十2x)=0,解得x=1,所以“x=-2”是 “a⊥(a十2b)”的既不充分也不必要条件，故选D. 4.B 24 5.B|PF|2+|PF2|2≥2PF|·|PF,当且仅当|PF|=|PF|=a时取等号，此时(PF|2+PF22)mm= 2a2=8,所以a=2,又离心率e=￡= a =子，所以c=1,6=厅，则椭圆方程为号+兰=1，放选B 6.A设圆台OO2的上、下底面半径分别为3r,4r(r>0),由题意可得√/25-(3r)+√25-(4r)2=7,解得 =1,所以圆台00的体积为了x(3+4+3X4)=259红，故选A 3 D因为ama=3"。所以识8-3g品。整理为3sna=sima十os。=l,则sima=分又2ae（-受， 受.则2a∈(0，受.所以6o。=个厂-m0-2号.所以sn2&=2an002X×2号-4号。 3 9,c0s2a=1 -2sa=号质以m2a音)=血ams学-2m青-号×号号×号-62点.放选n >2 18 &C设e)=一一之≥1.则了)=是-1-之=-少e0.所以0在1.+o)上单调 递诚，所以≥1时f≤f)=0,即1n≤号(x-,所以1n中<合("中为)=合（分+ .取n=8得1h号<号（宫+日）品，所以号<蓝（号）“<e心，①正确：由nu十1)-n 号（分+）分，得号++…+动>na+)-nn+in(a+2)-lam+1)++in(3a+D- 1n(3m)=1n3+1>1n3,②正确，故选C 9.AC由题意得P(A1)=60%,P(A2)=30%,P(A)=10%,因为A2与A互斥，所以P(A2+A)=P(A2) +P(A)=0.3+0.1=0.4,所以A正确；P(BA1)=P(A)P(B|A)=0.6×0.9=0.54,所以B错误：P(B)= P(A)P(B1A)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA)=0.6×0.9+0.3×0.8+0.1X0.6=0.84,所以C正 确：PAB=P_PCACBIA)-O808-号，所以D错误放选AC P(B) P(B) 0.84 10.ACD由抛物线的定义可知，AF=子+号=号，解得力=2，A正确：将点A子m代人=4红得m 4X子解得m=士1，则A子，1D.由A(子，1D和F1,0)可知直线AF的方程为y=一号（红-1D,则 B-1,号.将y=一专（x-1)与=4红联立方程组得4-17x十4=0，解得a=子=4，所以 以4，祭-A车DB 4-1-1 是B错误：BF的中点坐标为（号，一2》，到y轴的距离为号，且 【高三阶段性联合检测·数学卷参考答案第1页（共4页）】 6148C |BF到=√4一1)严+(-4)严=5，故以BF为直径的圆与y轴相切，C正确：由上知M(0,专)，MF的中点坐 标为（分，号），则MF的中垂线方程为y一号=子x一之》，即18x一24十7=0，与抛物线方程联立消去之 得9y2一48y十14=0，△=482一4×9×14>0，即存在两个这样的点P,D正确.故选ACD. 1AD八)=1一其图象由奇函数)一一子的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所 以)的图象关于点(-1对称：g)=上十十十2一1，其图象由奇函数y=十十的 图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，所以g(x)的图象关于点（一1，一1）对称，A正确； 由)=1一8()=+有十一1可得当x∈0，+o)时，)单调递增，8x)单调递减，B 正确； 当>-1时，由x)=x+1+a得a=1-(+1)-y=1-[(x+1)+中]在(-1,0)上单调递 增，在0十6∞)上单调递减a=-1时方程a=1-(十1D-十有1个实根a<1时方程a=1一（十1） 一中有2个实根.。>-1时方程a=1-(x+1)-设有实根，当x<一1时由f)=x+1十a得@ =1+(+1)一为y=1十(x+1一在(-0，-1止单调递增，对任意实数a,方程a=1-(x中）- 有1个实根，综上得当a<-1时方程f)=z十1十a有3个实根，C错误： 令h(x)=x3+3x2+3x,则h'(x)=3x2+6x+3,h"(x)=6x+6,由"(x)=0得 1一1)=一1，故)的图象关于点一1。一1)对称作出g)=是+司 十千2一1及h()=x+3x十3x的大致图象如图所示.两函数图象有4个交点，且 +1 两函数图象都关于点（一1，-1D对称所以名十2=一4十（一0=一8，D正确， 故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12-2(ar子的展开式中第4项为=(-1DCar3(=-。Cr=1m, 所以仁。8：=1m.解得=6a=-2 4 在△ABC中，(a-b)(smA十sinB)=sinC(b什c),由正弦定理得(a一b)(a+b)=c(什c),即a2= F++,由余弦定理得cmsA∠-杂-子：0<A长smA-号8-云-++ 6≥c+c=c,当且仅当=6=1时取等号，因此&≤1，△ABC的面积S=ksnA-<县 1426按≥号和：≤号分类记1=max红，}+max.}+mx,2}. 当时中y子≥中+兰-+≥26，当且议当心清号<得时取得等号： 当时号+y十层号y苦-号学≥26，当且仅当一6言誓≤：9，取得等 号.综上可知，1的最小值为2√6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.解：(1)由函数图象可知，A=2,… …1分 贵吾是T不所以T=xw亭=2， …3分 又f八晋)=2，所以2×否+9=受+2k,k∈Z,解得9=否+2kx,k∈乙， 由9<登可得9=吾， …4分 所以f）=2sin(2x+吾. …5分 【高三阶段性联合检测·数学卷参考答案第2页（共4页）】 6148C 令2x+晋∈[-受+2km,受+2kx],k∈Z,解得x[-号+kx,晋+m],k∈Z乙， 所以)的单调递增区间为[-答十k,否十km],k∈Z…9分 3 (2)因为a（平，受)sn2a=号，所以2a∈（受)，os2a=-号，… 11分 所以fa)=2sin(2a+吾)=2(sin2acos否+cos2asin吾) 12分 =2x(告×9-是x合)463 5 …13分 16.(1)证明：由题意易知BC=1, 而AB=2,所以∠ACB=90°，即AC⊥BC.…2分 因为侧面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,且PA⊥AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD.…4分 因为BCC平面ABCD,所以PA⊥BC …5分 又AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 6分 又BCC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. …7分 (2)解：如图，以A为原点，AP,AB所在直线分别为x轴，y轴，在平面ABCD内 过点A作AB的垂线为之轴，建立空间直角坐标系， 则A00,0,P10,0,B0,2.0,D0,号.C0,号). 所以=1,00.C=0,,号).A动=0,2，号 .…9分 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z), n·AP=x=0 则 n·市-多+号=0令一1，得平面PaD的个法向量m=03，一 …12分 由(1)可知平面PAC的法向量为BC-(0,-子，号 ）,…13分 设平面PAD与平面PAC的夹角为0， 则cos0=cos(n…BC=n·BC 3_3 n·|BC2X12’ 所以平面PAD与平面PAC夹角的余弦值为停， 15分 17.解：(1)当a=-1时，f(x)=x2十2lnx十1，其定义域为(0，十o∞)，…1分 因为f(x)=2x+2,所以f(1)=2+2=4,…2分 因为f(1)=2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=4(x一1)，即y=4x一2.…4分 联立方程十十1可得r一红3十0 …5分 设g)=-4+3+2hx>0,得(0)=2红-4什2=2D0, 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，…7分 又g(1)=1一4+3+21n1=0,所以g(x)有且仅有一个零点， 所以直线l与曲线y=(x)的公共点个数为1. …… 9分 (2)对函数求导得（x)=2L-2g=2℃二2，x>0, 10分 ①当a<0时，f(x)>0,函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增，则f(x)无最小值；… 11分 ②当a>0时，令f'(x)>0得x>√a:f'(x)<0得0<x<√a; 则f(x)在(0，√a)上单调递减，在(a,+o∞)上单调递增， 故f(x)m=f(√a)=a-2an(a)+1=1,解得a=e,…14分 综上，a=e. ………………… 15分 4 18.(1)解：由题知， b=2 …2分 a 2 【高三阶段性联合检测·数学卷参考答案第3页（共4页）】 6148C 所以a=√2，b=1,… …3分 所以双曲线C的标准方程为号一=1.… 4分 (2)解：由题知，k1=2,k2=一√2，… 5分 直线PA:y=/2(x-2)十1，直线PB:y=-√2(x-2)十1， y=√/2(x-2)+1, 联立号-y=1,得3x-44-2)x+20-8/2=0,4=48-32/2>0 因为方程有一个根为2，所以=10二4E,M=4D-5, …8分 3 3 同理可得，-10+4亚=二45-5 3 …9分 3 所以AB=√-a)+(M-= 3 10分 (3)证明：由题知，直线AB的斜率存在。 设直线AB:y=kx十1，代人双曲线方程号-y=1, 化简得(2k2-1)x2+4ktx十22+2=0(2k2-1≠0)，根的判别式△>0. 设A(x,y1),B(x2,2), 则药=发号山十 22+2 Akt 2k2-1' 根据十6二1，得兴二+号=1，即红十1+十1=1、 x1一2 x2-2 整理得(2k-1)x1x2+(t一2k+1)(x十2)-41=0， 所以2-1）·2当+4-2k+1)(一2与》-4=0， 整理得2+(2k-2)t+1-2k=0,即(t-1)(t+2k-1)=0, 所以t=1或t=1-2k.…14分 当t=1时，直线AB的方程为y=kx十1，经过y轴上的定点(0,1)；… 15分 当t=1一2k时，直线AB的方程为y=k(x一2)+1，经过定点P(2,1),不符合题意. 16分 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为(0,1).…17分 19.(1)证明：根据“m型相关数列”的概念可知，当a:=m时，b:=-m,当a:=一m时，b:=1,i=1,2,…,, 则号=-1，a,-6=2m,=1,2,…m, …1分 所以S.(ab)=26=,T(a4b)=2a-6=2m,……"2分 故Tn(a,b)=-2mSn(a,b).…3分 (2)解：(i)因为{an与{b}为“1型相关数列”，所以a:≠b:,|b|=1,且a:∈{-1,1. 当a=1时，则a-|b|=0,所以a-1b|1=0;当a=一1时，则a一|b=-2,则|a:-|b:||=2, ……4分 因为T(a,b,)=6,所以T(a,6)=21a-1b|=6,所以a,a2,…,as中有3项为-1,5项为1. …5分 由题意可知，X可能取值为4,2,0，-2. …6分 则rX=0-答-rX=2》-e=号PX=O=答=号，PX=-2=晋- C C C=14’ …9分 所以BX0=4X1+2×号+0×号+(-2)X=1 10分 -1,所以S2(@,6)=-12,则S7(@4,c)=-3, 11分 又|cm=1,所以a:,c(i=1,2,3,…,7)中有2组符号相同，5组符号相反，…12分 因为a:,b符号相反，所以b:,c:(i=1,2,3,…,7)中有2组符号相反，5组符号相同， …13分 当，G符号相反时，=一1；当，G符号相同时，么=1，…14分 C C 所以S2(b,0)==3，……15分 1C: 故S25(b,c:)的最大值为3+2018=2021，当且仅当b,c(i=8,9,10,…,2025)这2018组符号相同时取 得等号…17分 【高三阶段性联合检测·数学卷参考答案第4页（共4页）】 6148C