精品解析： 山东省淄博市博山中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（五四制）试题

博山中学2025—2026 学年度第一学期期中考试 初四数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（　　） A. （﹣3，﹣2） B. （3，2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣2，3） 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，-2）， ∴xy=k=-6， A、（-3，-2），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意； B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意； C、（-2，-3），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意； D、（-2，3），此时xy=-2×3=-6，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键． 2. 计算sin230°+cos260°的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求特殊角的锐角三角函数值，进而即可求解． 【详解】sin230°+cos260°=， 故选A． 【点睛】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角三角函数，是解题的关键． 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位， x变为； 再向上平移1个单位， 整体加1， ， 故选：A． 4. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理及勾股定理逆定理．解题的关键是表示出所需线段长．利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，根据求出值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 5. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60º方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ） A. 150m B. 150m C. 150m D. 100m 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得知，进而在中直接计算即可． 【详解】由题：，，， 在中，； 故选：C． 【点睛】本题考查了用特殊角的三角函数值求直角三角形的边长问题，能够准确记忆三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 6. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】①因为其图象的开口向上，故正确； ②其图象的对称轴为直线，故错误； ③其图象顶点坐标为，故错误； ④因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小，故正确． 所以正确的有2个 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7. 函数与在同一直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】解：函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＞0时，反比例函数图象在一、三象限，此时y＝kx+k的图象在第一、二、三象限； 当函数y＝（k≠0，且k为常数）中k＜0时，反比例函数图象在二、四象限，此时y＝kx+k的图象在第二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 8. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义和运用相似知识即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵， ．又， ， ． ， ， ． ∵点在反比例函数的图象上， ， ．又点在反比例函数的图象上，且点在第二象限， ． 故选：B． 【点睛】本题考查考生对反比例函数中的几何意义的理解和对相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是熟练地掌握相似知识点求对应线段的比例以及反比例函数中的的几何意义． 9. 如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知小矩形较短边长为1，点，，，都在格点上，则的值（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠ABD=90°，再求出BD=,AD=,根据三角函数的定义即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵小矩形较短边长为1，有图可知，小矩形较长边长为2， ∴AE=BE=2,BF=DF=1, ∴∠ABE=45°,∠DBF=45° ∴∠ABD=90°, ∵AB=,BD=,AD=, ∴===, 故选A. 【点睛】此题主要考查了勾股定理和三角函数的定义，正确应用勾股定理是解题关键． 10. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ） A. 18m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则 ∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出得出，又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解. 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，  则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x， 在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°， ∴梯形ABCD面积 ∴当x=4时，S最大=24．  即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2； 故选C． 【点睛】此题考查了梯性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键 二、填空题：（每题4分，共20分） 11. 已知函数，当__________时，它是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵y=（m-1）x m^2+1是二次函数， ∴m2+1=2， ∴m=-1或m=1（舍去）． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0． 12. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 13. 已知二次函数的对称轴为直线x=2，则b=________． 【答案】4 【解析】 【详解】分析：把函数化成顶点坐标式则有=2，即可求得b的值． 详解：∵二次函数y=x2-bx+3， ∴y=（x-）2-+3， ∴=2，即b=4， 故答案为4 点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式 14. 如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，求出解析式，然后令时求出对应的的值，此时水面的宽为两个的差． 【详解】解：建立如图平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， ∵函数图像过点（0，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，或； ∴水面宽度是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，明确题意，求出相应解析式，并根据函数值求值是解题的关键． 15. 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积为30，则k的值是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数. 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b） ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴＝k， 设E的坐标为（a，y）， ∴ay＝k ∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣﹣ • •（b﹣）＝30， ∴4k﹣k﹣ +＝30， 解得：k＝16， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式． 三、解答题：（16-19题每题10分，20-21题每题12分，22-23题每题13分，共90分） 16. （1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、直角三角形的边角关系，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再代入进行实数运算． （2）在直角三角形中，利用正切的定义求出，再根据特殊角的三角函数值确定的度数． 【详解】解：（1） ； （2）在中，， ， 因为， 所以． 17. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的、值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将代入第题求出的函数关系式中，计算得出的值． 【小问1详解】 解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，． 18. 如图，在中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求解及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法是解题的关键． 先求出二次函数与轴的交点、的坐标，得到的长度；再求出与轴交点的坐标，得到点到轴的距离；最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴，点到轴的距离为． ∴． 20. 如图，市北偏东方向有一旅游景点，在市北偏东的公路上向前行米到处，测得位于的北偏西，试求景点到处的距离及景点到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】故的长度为米，的长度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的三角函数、三角形面积公式，熟练掌握利用角度关系确定三角形内角，结合三角函数求线段长度的方法是解题的关键．先通过已知角度求出中的角，再作辅助线，利用直角三角形的三角函数求出相关线段长度，最后结合三角形面积公式求出的长． 【详解】解：由题意可知： ， ， 过作交于点， ∴在中， ，即， ， 同理：， 同理：在中，， ， 即， ， 故的长度为米，的长度为米． 21. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 22. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价x（元） … 30 40 50 … 每天的销售量y（个） … 100 80 60 … （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据总利润=（售价进价）×数量进行求解即可； （3）根据（2）所求关系式利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解；设y与x之间的函数表达式为， 由题意得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得 ； 【小问3详解】 解；∵，， ∴当时，w最大，最大为1800， ∴当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 23. 已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点，作直线． （1）求二次函数和直线的表达式； （2）利用图象求不等式的解集； （3）点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，，若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）二次函数表达式为，直线的表达式为； （2）或； （3）， 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的交点、对称轴及与轴交点的条件，列方程组求二次函数表达式；通过、两点坐标，用待定系数法求直线的表达式． （2）将不等式变形后，结合二次函数图象与轴的交点，确定不等式的解集． （3）设出点坐标，作辅助线将的面积转化为梯形与三角形面积的差，再通过二次函数的性质求面积最大值及对应点的坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数过、，对称轴为， ∴，解得， ∴二次函数表达式为， 设直线的表达式为， ∵过、， ∴，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的解集为二次函数图像在一次函数图像上方时对应的自变量的值， ∵二次函数与的交点为、， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设点（，因在第四象限），过作轴交于，则， ∴， ∴， ∴， ∵二次项系数，对称轴为， ∴当时，最大， 此时，即， 最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的表达式求解、一次函数的表达式求解、二次不等式的解集、二次函数的最值应用，熟练掌握待定系数法求函数表达式、结合函数图象分析问题的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博山中学2025—2026 学年度第一学期期中考试 初四数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（　　） A. （﹣3，﹣2） B. （3，2） C. （﹣2，﹣3） D. （﹣2，3） 2. 计算sin230°+cos260°的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60º方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ） A. 150m B. 150m C. 150m D. 100m 6. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 函数与在同一直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知小矩形较短边长为1，点，，，都在格点上，则的值（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ） A. 18m2 B. m2 C. m2 D. m2 二、填空题：（每题4分，共20分） 11. 已知函数，当__________时，它是二次函数． 12. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 13. 已知二次函数的对称轴为直线x=2，则b=________． 14. 如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面上升1m时，水面的宽为______． 15. 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积为30，则k的值是_____． 三、解答题：（16-19题每题10分，20-21题每题12分，22-23题每题13分，共90分） 16. （1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 17. 已知y与成反比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 18. 如图，在中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 19. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 20. 如图，市北偏东方向有一旅游景点，在市北偏东的公路上向前行米到处，测得位于的北偏西，试求景点到处的距离及景点到公路的距离（结果保留根号）． 21. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 22. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价x（元） … 30 40 50 … 每天的销售量y（个） … 100 80 60 … （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式； （3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 23. 已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点，作直线． （1）求二次函数和直线的表达式； （2）利用图象求不等式的解集； （3）点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，，若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $