精品解析：江苏省苏州园区星洋学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025-2026学年第一学期期中考试试卷 八年级 数学 2025年11月 一、单选题（共8题，每题2分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 7. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 二、填空题（共8题，每题2分） 9. 当取_____值时，分式没有意义 10. 已知，则的值为____． 11. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是_____． 12. 有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是________m． 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 14. 如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且以为腰，这样的点一共有______个． 15. 如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且OD＝4．若的周长是17，则的面积为______． 16. 如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点，若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是_____ 三、解答题（共9题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 20. 如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，请判断的形状，并说明理由． 21. 如图，已知． （1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） ①作的平分线交于点D； ②作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． （2）连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“______阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 23. 如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． （1）若，，求的度数； （2）若，，的面积为64，求的长． 24. 如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． （1）求证：平分； （2）若，且，则的面积． 25. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 在图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试试卷 八年级 数学 2025年11月 一、单选题（共8题，每题2分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不是分式； B. 是整式，不是分式； C. 是分式； D. 是整式，不是分式； 故选：C． 2. 一个三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求x的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系定理得5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8． 即x的取值范围是2＜x＜8． 故选D． 【点睛】考查了三角形三边关系，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 3. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分析得出答案． 【详解】解：A、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； B、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； D、，是因式分解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键． 4. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 5. 下列二次根式中与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 6. 在中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 7. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，即得，得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴； 当时 ∵，是的中点， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得； 当时 ，解得， ∵， ∴，即，解得， 故选：． 二、填空题（共8题，每题2分） 9. 当取_____值时，分式没有意义 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可． 【详解】解：当分母时，分式没有意义， 即， 解得， 故答案为：． 10. 已知，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】先将a2−4b2+4b化为(a+2b)(a−2b)+4b，再将a+2b=1代入所化式子计算即可． 【详解】解：∵a+2b=1， ∴a2−4b2+4b=(a+2b)(a−2b)+4b =(a−2b)+4b = a+2b=1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式，利用整体代入思想求解． 11. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式能用完全平方公式分解，设多项式可分解为，则，那么，解得，然后分两种情况，求出的值即可． 【详解】解：设多项式可分解为， 那么， 则，解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是________m． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 14. 如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且以为腰，这样的点一共有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解决此题的关键是要分情况讨论；根据两边相等的三角形是等腰三角形画出等腰三角形，因为不确定哪个点是顶点，所以分情况讨论进而得到答案； 【详解】解：如图所示： 共5个点， 故答案为：5． 15. 如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作于点D，且OD＝4．若的周长是17，则的面积为______． 【答案】34 【解析】 【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE=OF=OD=4，然后根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴OE=OD，OF=OD， 即OE=OF=OD=4， ∴． 故答案为：34 【点睛】本题考查了角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 16. 如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点，若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是_____ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共9题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算根式、零次幂、负整数幂，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法、去绝对值，利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解化简方法是解题的关键． （1）利用提出公因式进行化简即可； （2）利用提出公因式，结合完全平方公式进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 20. 如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） ∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知． （1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） ①作的平分线交于点D； ②作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． （2）连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及结合线段垂直平分线的画法得出答案； （2）利用线段垂直平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 理由：∵平分， ∴， ∵垂直平分，设垂足为O， 则，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“______阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 【答案】（1）1 （2）3或6 【解析】 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论求解即可． 【小问1详解】 解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为3或6． 23. 如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． （1）若，，求的度数； （2）若，，的面积为64，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 【小问2详解】 解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 24. 如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． （1）求证：平分； （2）若，且，则的面积． 【答案】（1） 证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． 25. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 在图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 【答案】 问题思考：证明：∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 问题再探：，理由如下： 在上取点G，使，连接CG，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形 又∵，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题思考：证，推出，根据等腰三角形性质推出，即可得出答案； 问题再探：在上截取，连接，证，为等边三角形，再证明，推出，即可得出答案； 问题拓展：延长交于点H，证，推出，证，推出，即可得出答案． 【详解】问题思考：略 问题再探：略 问题拓展：延长交于点H，如下图 ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $