2026年中考数学专题复习（河北） 专题九　函数的实际应用

专题九　函数的实际应用 类型一　一次函数的实际应用 　　一次函数的实际应用是中考的热点问题,解决此类问题通常是利用函数图象给出题目中的信息,求一次函数的解析式,要得出图象上两个点的坐标,数量关系的获得则需要借助方程. ❶ (2025·邯郸三模)为了让学生们更好地体验冰雪快乐,某学校新开设了滑冰课,现需要购买一批滑冰鞋,已知两家商场A,B分别推出了自己的优惠方案: A商场:每双滑冰鞋标价为120元,若购买超过20双,超过部分按每双标价的八折出售; B商场:每双滑冰鞋标价为120元,若购买超过15双,超过部分按每双标价的九折减去10元出售. 若用字母x表示购买滑冰鞋的数量,字母y表示购买的总价,其函数图象如图所示. (1)分别写出选择购买A,B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式. (2)当x>20时,两函数图象交于点M,请求出图中点M的坐标,并简要说明点M表示的实际意义. (3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算. ❷ (2025·任丘模拟)周末,嘉嘉和淇淇一起去体育场看球赛.如图1,共享单车停放点A,B和体育场C依次在一条东西走向的路上.两人从A,B之间的点P处同时出发,嘉嘉步行去停放点A,淇淇步行去停放点B,然后各自骑共享单车前往体育场C.已知嘉嘉和淇淇两人步行速度均为75 m/min,两人到体育场的距离s嘉嘉(m),s淇淇(m)与时间t(min)的函数关系图象如图2所示. (1)在图2中,求纵轴上a的值. (2)①嘉嘉骑上共享单车后,求s嘉嘉与t的函数关系式; ②求嘉嘉追上淇淇的时间. (3)若淇淇改为先步行去停放点A,然后骑共享单车去体育场,骑行速度与原来相同,直接写出与原来到达体育场相差的时间. 类型二　反比例函数的实际应用 　　反比例函数解决实际问题是中考的考点之一.观察反比例函数的图象解决实际问题时:①能把实际问题转化为数学问题,建立反比例函数的数学模型;②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义;③问题中出现的不等关系转化成相等关系来解,然后在作答中说明. ❸ (2025·河北模拟)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值,单位:m3)的圆柱形天然气储存室,储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1)写出这一函数的表达式. (2)受地形条件限制,储存室的深度d需要满足16≤d≤25,求储存室的底面积S的取值范围. ❹ 小明家饮水机中原有水的温度为20 ℃,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)成一次函数关系),当加热到100 ℃时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)成反比例关系),当水温降至20 ℃时,饮水机又自动开始加热……重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)关于开机时间x(min)的函数解析式. (2)求图中t的值. (3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45 min回到家时,饮水机内的水温约为多少摄氏度? 类型三　二次函数的实际应用(含实物模型) 　　二次函数的实际应用常常分为以下几类:①利润问题:如在商品经营活动中求最大利润、最大销量等问题;②几何图形问题:如几何图形中面积的最值、用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论等问题;③实物模型问题:利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题.解决此类题要把实际问题转化为数学问题,构建二次函数模型,确定抛物线的解析式是解题的关键. ❺ (2025·广东)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式. ❻ (2025·石家庄三模)某学习小组共同研究关于二次函数的实际问题: 如图,一高尔夫球员从山坡下的点O处打出一球,球向山坡上的球洞点A处飞去,球的飞行路线为抛物线.如果不考虑空气阻力,当球达到最大高度16 m时,球移动的水平距离为10 m.已知山坡OA的坡度是1∶2,O,A两点间的距离是8 m. 为了方便研究,学习小组经讨论,以点D为坐标原点,直线OC为x轴建立坐标系,如图所示.请你帮助该学习小组解决以下问题: (1)求球洞点A的坐标. (2)确定球的飞行路线所在抛物线的函数解析式,同时判断这一杆能否把高尔夫球从点O处直接打入点A处的球洞,请说明理由. (3)嘉淇同学指出,如果高尔夫球员从点O处沿地面水平向后退到点E处,他不改变击球角度和力度,那么一杆能把高尔夫球直接打入点A处的球洞,请你求出后退距离(即OE的长度). 类型四　两种函数综合的实际应用 　　河北近几年中考中,此类问题中最常见的是一次函数与二次函数结合,常出现在利润问题中;此外也出现了一次函数与反比例函数结合、二次函数与反比例函数结合等方式进行考查.不管是哪几种函数结合,一般都要先求出每一种函数的解析式,然后再结合函数的性质进行解答. ❼ (2025·潍坊)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx(a<0)与正比例函数y=kx的图象都经过点A(3,3),点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点,过点P作x轴的垂线,交OA于点C,交x轴于点D. (1)若点A为该二次函数的顶点, ①求二次函数的表达式; ②求线段PC长度的最大值. (2)若该二次函数与x轴的一个交点为B(m,0),且m>4,求a的取值范围. ❽ 小成利用暑期参加社会实践,在妈妈的帮助下,利用社区提供的免费摊点卖玩具,已知小成所卖玩具的进价为2元/件,在销售过程中发现:每天玩具销售量y(件)件与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB段为反比例函数图象的一部分,BC段为一次函数图象的一部分,设小成销售这种玩具的日利润为w元. (1)根据图象,求出y与x之间的函数关系式. (2)求出每天销售这种玩具的利润w(元)与销售价格x(元/件)之间的函数关系式,并求每天利润的最大值. (3)如果小成某天将价格定为超过4元/件(x>4),那么要使得小成在该天的销售利润不低于54元,求该天玩具销售价格的取值范围. 【详解答案】 1.解:(1)当0≤x≤20时,yA=120x, 当x>20时,yA=120×20+0.8×120(x-20)=96x+480, ∴A商场滑冰鞋的总价yA与数量x之间的函数关系式为yA= 当0≤x≤15时,yB=120x, 当x>15时,yB=120×15+(0.9×120-10)(x-15)=98x+330, ∴B商场滑冰鞋的总价yB与数量x之间的函数关系式为yB= (2)设M(x,y),则 解得 ∴点M的坐标为(75,7 680),其表示的实际意义是当购买75双滑冰鞋时,A,B两家商场的总价相同,均为7 680元. (3)当0≤x≤15或x=75时,A,B两家商场的总价相同;当15<x<75时,选择B商场更划算;当x>75时,选择A商场更划算. 2.解:(1)由题意,得75×(6+14)=1 500(m), ∴a=6 000-1 500=4 500. (2)①嘉嘉骑上共享单车后,设s嘉嘉与t的函数关系式为s嘉嘉=kt+b, 由题图可知,s嘉嘉与t的图象经过(6,6 000),(26,0), ∴解得 ∴s嘉嘉与t的函数关系式为s嘉嘉=-300t+7 800. ②6 000-75×6=5 550(m), 淇淇步行过程中,设s淇淇与t的函数关系式为s淇淇=mt+n, ∵其图象经过(0,5 550),(14,4 500), ∴解得 ∴s淇淇与t的函数关系式为 s淇淇=-75t+5 550, ∴-300t+7 800=-75t+5 550, 解得t=10. ∴嘉嘉追上淇淇的时间为10 min. (3)与原来到达体育场相差的时间为2 min. 解析:淇淇先到停放点A需要6 min,淇淇的骑行速度为=250(m/min), ∴淇淇改为先步行去停放点A,然后骑共享单车去体育场需要的时间为6+=30(min), ∵32-30=2(min). ∴与原来到达体育场相差的时间为2 min. 3.解:(1)设S=, 把点(20,500)代入表达式得500=, ∴V=10 000, ∴S=. (2)当d=16时,S=625, 当d=25时,S=400. ∵S随d的增大而减小, ∴当16≤d≤25时,400≤S≤625. 4.解:(1)当0≤x≤8时,设水温y(℃)关于开机时间x(min)的函数解析式为y=kx+b,将(0,20),(8,100)代入得解得 ∴y=10x+20(0≤x≤8). (2)在水温第一次下降过程中,设水温y(℃)关于开机时间x(min)的函数解析式为y=,将(8,100)代入得100=,解得m=800, ∴反比例函数解析式为y=, 当y=20时,20=, 解得t=40. (3)由(2)得t=40,结合图象,可知每40 min图象重复出现一次, ∵45÷40=1……5,8>5, ∴y=10×5+20=70(℃), ∴饮水机内的水温约为70 ℃. 5.解:建立平面直角坐标系,如图所示: 则抛物线顶点坐标为(0,0.001 5), A, 即A(0.85,0.18), 设该抛物线的表达式为y=ax2+0.001 5, 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.001 5, 得0.18=0.852a+0.001 5, 解得a=, ∴该抛物线的表达式为y=x2+0.001 5(-0.85≤x≤0.85). (建立平面直角坐标系不唯一,所求表达式不唯一) 6.解:(1)在Rt△AOC中, ∵山坡OA的坡度是1∶2, ∴,∴OC=2AC, ∵OC2+AC2=OA2, ∴5AC2=(8)2, ∴AC=8 m,∴OC=16 m, 又∵OD=10 m, ∴点A的坐标为(6,8). (2)由题意,得顶点B的坐标是(0,16), ∴设该抛物线的解析式为y=ax2+16, ∵点O的坐标是(-10,0), 把点O的坐标代入得 0=a×(-10)2+16, 解得a=-, ∴该抛物线的解析式为 y=-x2+16. 不能.理由: 当x=6时,y=-×62+16=10.24>8, ∴这一杆不能把高尔夫球从点O处直接打入点A处的球洞. (3)设高尔夫球员从点O处沿地面水平向后退h m, 则此时抛物线的解析式为y=-(x+h)2+16, 把(6,8)代入解析式得 8=-(6+h)2+16, 解得h=5-6或h=-5-6(舍去), ∴OE=(5-6)m. 答:高尔夫球员后退(5-6)m. 7.解:(1)①∵A(3,3)为二次函数的顶点, ∴解得 ∴二次函数的表达式为 y=-x2+2x. ②∵正比例函数y=kx的图象经过点A(3,3),∴3k=3,∴k=1. ∴正比例函数的表达式为y=x. 设OD=t(0≤t≤3),则CD=t,PD=-t2+2t, ∴PC=PD-CD=-t2+2t-t=-t2+t=-, ∴当t=时,线段PC的长度取得最大值. (2)∵二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(3,3), ∴9a+3b=3,即b=1-3a, 令ax2+bx=0, 解得x1=0,x2=-, ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为B(m,0),m>4, ∴m=-,∴->4, ∵a<0,∴b>-4a, ∴1-3a>-4a,即a>-1, ∴a的取值范围是-1<a<0. 8.解:(1)∵AB段为反比例函数图象的一部分,且A(2,40), ∴设AB段的反比例函数关系式为y=,则k'=2×40=80, ∴当2≤x≤4时,y=, ∵BC段为一次函数图象的一部分,且B(4,20),C(14,0), ∴设BC段的一次函数关系式为y=kx+b,则解得 ∴当4<x≤14时,y=-2x+28, ∴y与x之间的函数关系式为 y= (2)当2≤x≤4时,w=(x-2)y=(x-2)·=80-, ∵随着x的增大,-增大, ∴w=80+也增大, ∴当x=4时,w取得最大值,最大值为40, 当4<x≤14时,w=(x-2)y=(x-2)·(-2x+28)=-2x2+32x-56, ∵w=-2x2+32x-56=-2(x-8)2+72,-2<0,4<8<14, ∴当x=8时,w取得最大值,最大值为72. 综上所述,w与x之间的函数关系式为w= 每天利润的最大值为72元. (3)当4<x≤14时,w=-2x2+32x-56, 令w=54,即-2x2+32x-56=54, 解得x1=5,x2=11, 由函数关系式及函数图象可知,要使w≥54,则5≤x≤11, ∴当5≤x≤11时,小成在该天的销售利润不低于54元. 学科网（北京）股份有限公司 $