6.1.3全概率公式 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学《全概率公式》教学设计，以蒙提霍尔问题情境导入，衔接古典概型、条件概率等前置知识，通过情境与探究活动引导学生经历公式生成过程，为统计学习奠定基础。 亮点在于以问题启发式教学贯穿始终，从两箱到三箱抽球模型逐步抽象，结合等概率到非等概率案例培养数学思维，用公式解决导入问题形成闭环，提升学生数学抽象与建模能力，为教师提供清晰教学路径。

《全概率公式》教学设计 教材分析 本节课选自北师大版高中数学选择性必修一第六章第一节。“全概率公式”是概率中基础且重要的概念之一，它建立在古典概型、互斥事件的加法公式、条件概率及概率乘法公式等知识的基础上，蕴含着分解与综合、转化与化归的数学思想，可以解决生活中更复杂更一般的概率问题，也为统计知识的学习奠定理论基础。 学情分析 本节课的教学对象是高二学生，他们活泼开朗，渴望成长和提升，并且已经学习了古典概型、条件概率、概率的加法公式和乘法公式等相关知识。 教学目标 （1） 学生能理解全概率公式； （2） 学生会利用全概率公式计算复杂事件的概率。 （3）学生结合古典概型和具体实例，经历全概率公式的生成、发展和应用过程； （4）学生在运用全概率公式解决问题的过程中，体会部分与整体的关系。 教学重难点 【教学重点】全概率公式的推导过程及其应用。 【教学难点】灵活运用全概率公式解决问题。 教法学法 本节课以问题启发式的教法和学法贯穿始终，教师引导学生自主实践、合作探究，从而培养学生运用数学解决实际问题的能力。 教学环节 （1） 情境引入 （2） 体验探究 （3） 概念生成 （4） 问题解决 （5） 总结反思 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境引入 师：PPT出示游戏（蒙提霍尔问题） 在一个综艺节目中，有编号为1，2，3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆宝马车作为奖品，门后的奖品主持人知道，但参赛选手不知道. 选手答对题目后可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品. 现假设该选手选中了1号门，主持人打开未选中两扇门的其中一扇，后面是一只山羊. 现在主持人给你一次改变选择的机会，你是否会改变选择，将1号门换成2号门呢？ 师：大家会改变选择吗？想一想。 师：如果想要中得宝马车，从数学的角度应该研究什么问题呢？ 生：积极讨论，众说纷纭，渴望得到问题解决的方案。 生：概率问题。到底是改变选择中宝马车概率更大还是不改变选择中宝马车的概率更大。 通过分析现实生活中有趣案例导入新课，让新课从游戏开始，教师提出问题让学生思考，留一些时间让学生参与讨论，充分调动学生学习积极性。让学生考虑两种抉择的概率该如何计算并引导学生分析解决问题，有助于学生理解抽象复杂的公式。 探究新知 师：带着这个疑问，完成探究一： 有编号为1、2的两个箱子，1号箱装有1个红球，4个黑球. 2号箱装有2个红球，3个黑球. 这些球除颜色以外完全相同。 （1） 从1号箱中任取一球，求取得红球的概率； （2） 从2号箱中任取一球，求取得红球的概率； （3） 先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任取一球，求取得红球的概率. 师：依据同学的结果具体分析。 我们可以分成两步：先取一箱；再取一球。因此最终的红球要么来自第一箱，要么来自第二箱。 师：尝试用图形直观解释解释 师：提出探究二： 1、2号球箱不变，增加一个编号为3的箱子，且装有3个红球. 这些球除颜色以外完全相同. 现在，先从三箱中任取一箱，再从该箱子中任取一球，求取得红球的概率. 师：大家能仿照刚才从两箱当中的取球情况来思考三箱的取球问题吗？给大家五分钟小组讨论。 师：但是大家知道在生活中事件并不都是第一步概率相等的情形，比如这里的探究三。 某电子设备制造厂所用的元件是三家元件制造厂提供的，根据以往记录有如下表的数据：设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，无区别标志，在仓库中随机取一只元件，求是次品的概率。 生：我们可以利用古典概型算得概率是1/5 生：也是1/5 生：我们先选一个箱子，概率是1/2，再算从一号箱中取的概率是1/5，从二号箱中取的概率是2/5，所以1/2*1/5+1/2*2/5=3/10. 生： 通过建立抽球模型，复习前面的古典概型；让学生体会先取箱再取球的分步原理，将复杂事件分解为简单时间，体会化整为零的思维。 从两个箱子过渡到三个箱子，体会简单到复杂；让学生领悟从多箱中抽出红球的分析思路和解决问题的方法。并由等概率到非等概率过渡提出探究三。 改变问题情境，分析次品来源，感受等概率到非等概率的原因；进一步分析复杂事件的分拆和组合，为抽象概括出划分和全概率公式的概念做铺垫。 概念生成 师：比较分析探究1、探究2、探究3，并归纳它们的共性。 师：归纳得到样本空间的划分和全概率公式的定义： 生：我们知道对于某一个样本空间，事件A的发生有各种可能得原因，从B1到Bn，这些原因是两两互斥的，并且他们涵盖了所有的情形。 从具体问题中抽象概括出样本划分；提炼出受多个因素影响的复杂事件概率分解成不同影响因素对应的简单概率之和，并引导学生用规范的符号语言表示。 问题解决 师：学习了全概率公式，同学们能不能用它来做一做课堂开始的这个决策呢？ 生：分别计算两种情况下中奖的概率 应用所学公式解决问题。一方面是为了帮助学生巩固所学知识，另一方面可以把握学生对知识的掌握情况，便于后续教学。 总结反思 师：引导学生回本本节课所学知识、方法，体会数学思想。 生：在教室的引导下，积极思考，形成主动构建知识网络的习惯 通过归纳总结，提高学生概括、分析、综合的能力，锻炼学生的思维能力，帮助学生建立知识网络，形成归纳梳理的好习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $