专题4.1 指数重难点题型专训（1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题4.1 指数重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 分数指数幂与根式的互化 题型四 指数幂的化简、求值 拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质 知识点一：指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即时训练】 1．（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中） ． 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（2023高一·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 【经典例题二 指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知x，y为正实数，则 A．2lnx+lny=2lnx+2lny B．2ln（x+y）=2lnx•2lny C．2lnx•lny=2lnx+2lny D．2ln（xy）=2lnx•2lny 3．（2024高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【经典例题三 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 1．（23-24高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）化简的结果是 . 4．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【例2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质】 【例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）. 1．（23-24高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 2．（多选题）（23-24高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 4．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 1．（23-24高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知x5=–243，那么x= A．3 B．–3 C．–3或3 D．不存在 3．（2025高一上·全国·专题练习）若a+a–1=3，则a2+a–2的值为 A．9 B．7 C．6 D．4 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 6．（多选题）（23-24高一上·全国·阶段测试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 7．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高三上·江苏盐城·阶段测试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 9．（多选题）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高三上·江苏南通·阶段测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 13．（24-25高一上·全国·课前预习）计算 ． 14．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 16．（2023高一·全国·课后作业）化简. 17．（23-24高一·全国·单元测试）设，求的值． 18．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 19．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算或化简下列各式： (1)． (2)若，求值． 20．（24-25高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 分数指数幂与根式的互化 题型四 指数幂的化简、求值 拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质 知识点一：指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即时训练】 1．（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂运算法则得到答案. 【详解】. 故选：A 2．（24-25高一上·福建福州·期中） ． 【答案】0 【分析】利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为：0 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 【例2】（2023高一·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)10 (3) (4) 【分析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 1．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 2．（多选题）（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式运算化简各项即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意. 故选：BCD 3．（2024高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 【答案】（1）答案见解析（2）. 【分析】（1）对分类讨论即可； （2）根据根式的运算法则及性质计算即可. 【详解】(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， (2)∵a≤， ∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 【经典例题二 指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）194 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果； （2）结合完全平方公式对条件多次平方即可求解. 【详解】（1） . （2）由，得，即， 则，即. 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】化简，将代入即可. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：C. 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知x，y为正实数，则 A．2lnx+lny=2lnx+2lny B．2ln（x+y）=2lnx•2lny C．2lnx•lny=2lnx+2lny D．2ln（xy）=2lnx•2lny 【答案】D 【分析】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【详解】根据指数与对数的运算性质可得：2ln（xy）=2lnx+lny=2lnx•2lny．可知：只有D正确，A，B，C都不正确．故选D． 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算问题，其中熟记实数指数幂的运算公式，合理、准确作出化简是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（2024高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】.同理可得， 所以，又， 所以，又为正整数，且均不为1， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【答案】，， 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】. 同理可得， 所以， 又， 所以， 又为正整数，且 均不为1， 又因为， 所以. 【经典例题三 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·期中）若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用分数指数幂与根式的互化公式及有理数指数幂的运算性质求解. 【详解】（1）（） ； （2）（） . 1．（23-24高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 【答案】A 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由于， ，， 故原式. 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）化简的结果是 . 【答案】 【分析】将分式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律即可得出结果. 【详解】由题意得===1. 【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的值是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【分析】两边平方，得到答案. 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 【例2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）100；（2）. 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）由平方和公式和立方和公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）对两边平方得，所以， 再对两边平方得，所以 所以， 则. 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 2．（多选题）（23-24高一上·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将条件式子进行平方； （2）将（1）中式子进行平方得出； （3）将进行平方，计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 【拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质】 【例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）-8；（3）2. 【分析】（1）利用根式的性质化简即可求解. （2）利用根式的性质化简即可求解. （3）利用根式的性质以及指数的运算即可求解. 【详解】解（1） 原式＝ ＝. （2） 原式＝－8＋|－2|－(2－) ＝－8＋2－－2＋ ＝－8. （3） 原式＝ ＝(－1)·(＋1)＋1 ＝ (3－1)＋1＝1＋1＝2. 1．（23-24高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 2．（多选题）（23-24高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 1．（23-24高一·吉林长春·阶段练习）下列各式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立，排除法即可得答案． 【详解】A中应为； B中等式左侧为正数，右侧为负数； C，x＝y＝1时不成立错误． D中正确； 故选：D． 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则，考查运算能力． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知x5=–243，那么x= A．3 B．–3 C．–3或3 D．不存在 【答案】B 【分析】根据根式的意义可知x=，利用根式性质化简即可. 【详解】∵x5=–243，∴x=．故选B． 【点睛】本题主要考查了根式，根式的性质，属于中档题. 3．（2025高一上·全国·专题练习）若a+a–1=3，则a2+a–2的值为 A．9 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】由已知a+a–1=3平方即可求出a2+a–2的值. 【详解】∵a+a–1=3，∴（a+a–1）2=a2+a–2+2=9，∴a2+a–2=7．故选B． 【点睛】本题主要考查了指数的运算，属于中档题. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质及根式与指数幂关系逐项判断即可. 【详解】因为且， 对于①，，错； 对于②，先将根式转化为分数指数幂的形式．，则，对； 对于③，，错． 所以，正确的个数为1. 故选：B 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由已知求得，代入计算，即可得. 【详解】由题意，得， 则， 注意到 则. 故选：C 6．（多选题）（23-24高一上·全国·阶段测试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 7．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用指数幂的运算性质，以及分数指数幂与根式的互化即可判断. 【详解】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 8．（多选题）（24-25高三上·江苏盐城·阶段测试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 9．（多选题）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（24-25高三上·江苏南通·阶段测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】/ 【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算. 【详解】已知，则， 将所求式进行化简，， 则． 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）计算 ． 【答案】24 【分析】利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 故答案为：24. 14．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 【答案】 【分析】，结合指数幂运算法则进行求解. 【详解】，. 故答案为： 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果. 【详解】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 故答案为：. 16．（2023高一·全国·课后作业）化简. 【答案】 【分析】根据给定的式子，有理化分母并求和作答. 【详解】， 原式. 17．（23-24高一·全国·单元测试）设，求的值． 【答案】 【分析】利用根式的性质得到，再根据，分，求解. 【详解】， ， 当时， 原式； 当时，原式． ． 【点睛】本题主要考查根式的化简以及根式的性质，属于基础题. 18．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 19．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算或化简下列各式： (1)． (2)若，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算化简即可； （2）通过平方运算，得，进而得，代入求值即可. 【详解】（1）因为，， 故． （2）∵， ∴两边平方，得， ∴， 两边平方得：， ∴原式． 20．（24-25高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $