专题5.1 函数的概念和图象重难点题型讲义（1个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第一册）

本讲义聚焦函数的概念及图象核心知识点，系统梳理函数的非空数集对应关系（含非空性、任意性等四特征）、三要素（定义域、值域、对应关系），以及抽象函数、复合函数的定义，构建从概念理解到定义域（具体、抽象、复合）、值域（常见、复杂、抽象、复合）求法的完整学习支架。 资料以12大题型分层设计为亮点，从基础函数关系判断到复杂复合函数值域，结合经典例题与即时训练，通过具体函数定义域求解培养抽象能力，复合函数问题分析发展推理意识，自我检测与拓展训练助力查漏补缺，课中提升教学效率，课后促进自主巩固，彰显数学思维与应用意识的培养。

专题5.1 函数的概念和图象重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 已知函数的定义域求参数 题型八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十 根据值域求参数的值或者范围 题型十一 抽象函数的值域 题型十二 复合函数的值域 拓展训练一 求相关函数定义域 拓展训练二 求相关函数值域 知识点一： 函数 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【即时训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求法得，再由分母不为0可得，联立即可得解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以的定义域为. 故答案为：. 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以A不符合题意； 对于B，当时，对于函数， 任意一个，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，所以B符合题意； 对于C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以C不符合题意； 对于D，令，由对应关系，可得，不符合函数的定义，所以不是的函数，所以D不符合题意. 故选：B. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 2．（多选题）（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 【答案】 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【详解】分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 【经典例题二 求函数值】 【例1】（25-26高一上·黑龙江·期中）已知函数，若，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】先求得，再由求得. 【详解】由，可得， 则，所以， 又，所以． 故选：B 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 1．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B．25 C．57 D．102 【答案】C 【分析】首先根据具体函数的解析式求的值，再根据抽象函数的关系式，分段求函数值再求和. 【详解】， ， ， ， ， . 所以. 故选：C. 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解. 【详解】由题意， 得：. 令， 则. 令，， 可得：， 由，得，故选项B错误； 令，替换为， 可得， 因为，， 所以，即， 故选项A正确； 令，替换为， 可得：，即， 所以， 所以，，…，， 故，故选项C错误； 令， 可得：， 所以， 故选项D正确. 故选：AD. 3．（25-26高三上·陕西渭南·期中）设，其中.当满足时，可能取到的最大值为 . 【答案】127 【分析】先表示出，根据分析它们的情况，在写出结合对的分析得出最大值. 【详解】由， 又， 所以中有4个1，3个， 又， 所以可能取到的最大值时， ， 此时最大值为：， 故答案为：127. 4．（2025高三·全国·专题练习）定义，其中，求的值． 【答案】5 【分析】利用立方差公式将已知函数化简成，从而采用累加法可得所求. 【详解】因为 = ， 所以 ． 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例1】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【例2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4；2 (2)或． 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据，求解即可. 【详解】（1）由，可知，， 所以． （2）函数的定义域为， 因为，即， 解得或． 故或． 1．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可得，， 又， 所以，而，可得. 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·宁夏中卫·月考）已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（    ） 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据表格中的对应关系，由外及内即可. 【详解】∵，∴， ∴或4. 故选：BD 3．（24-25高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 【答案】 【解析】先将进行因式分解再与比较，利用对应系数相等可得关于的方程，即可得的值，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 因为， 所以，对任意的恒成立， 所以不恒为， 所以 展开整理可得：， 所以 解得：或（舍）， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将进行因式分解，由不恒为，得出利用待定系数法可求的值. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知a，b，c为非零实数，，，且，.若当时，对于任意实数x，均有，试求出值域以外的唯一数. 【答案】58 【分析】依题意得，化简得，则有，结合，，即19，97是方程的两根，韦达定理得，，得，，，进而得到，得到答案. 【详解】当时，有， 则，化简得. 由于该方程对恒成立，故，，则. 又，，即19，97是方程的两根， 即19，97是方程的两根，由韦达定理得，. 结合，得，，，从而， 故取不到58这个数，即58是的值域外的唯一数. 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为、偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 【例2】（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【详解】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 1．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为. 所以选项ACD 中的函数定义域不是. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·天津滨海新·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】利用函数有意义列式求出的定义域. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合. 【详解】（1）要使分式有意义，则， 由任意，恒成立， 故函数的定义域为； （2）要使式子各部分有意义，则，解得，且. 故的定义域为； （3）要使分式有意义，则， 当时，，则在恒有意义； 当时，，则，无意义； 综上可知，的定义域为. 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例1】（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，求得不等式的解集，即可得到函数的定义域. 【详解】由函数的定义域是，令，即， 解得，所以函数的定义域是. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 1．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数定义域为，则函数的定义域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抽象函数定义域的求法即可求解. 【详解】因为定义域为， 所以， 对于函数，得， 解得， 所以函数的定义域为， 故选：D 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的定义域求的定义域，再根据的定义域求的定义域. 【详解】函数的定义域为，又是增函数，当时，， 所以函数的定义域为， 由题意知，，即， 所以函数的定义域为， 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】应用抽象函数的定义性质计算求解. 【详解】由函数的定义域为， 则函数中，即得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南信阳·月考）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例1】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由函数的定义域为，得此式中，所以， 因此在函数中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：C 【例2】（2025高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的定义域. 【答案】 【分析】解不等式组可得． 【详解】因为函数的定义域为，所以，又，故解得． 故答案为：． 1．（25-26高一上·福建福州·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C 2．（24-25高一上·江西南昌·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且， 的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由定义域，建立不等式，求解不等式可得的定义域. （2）由定义域，根据不等式的性质得，可求得的定义域. （3）由定义域，根据不等式的性质得，先求得的定义域，再建立不等式，求解不等式可得的定义域. 【详解】（1）因为定义域是，所以，解得，所以的定义域是. （2）因为函数定义域是，所以，所以，即，所以的定义域是. （3），故的定义域为， 所以令，解得， 故的定义域是. 【经典例题七 已知函数的定义域求参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据函数有意义可以得到对任意的，都有，对进行分类讨论即可求解. 【详解】解：的定义域是， 即对任意的，都有， 当时，显然满足题意， 当时，则有， 解得：， 综上所述：. 1．（24-25高三上·陕西汉中·月考）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得：，即时，恒成立，符合题意； 时，的定义域是，只需， 解得：，综上所述：. 故选：BCD 3．（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】验证及时的情况，对于，利用二次函数的图形和性质列不等式求解. 【详解】当时，，则，得，即定义域为，舍去； 当时，，定义域为，符合； 当时，函数的定义域为， 则，解得或， 综合得实数的取值范围是 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求实数的取值范围 【答案】 【分析】由无解，分类讨论，结合判别式的符号，列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 无解， 或， 解得， 实数的取值范围. 【点睛】本题考查函数的定义域以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需 【经典例题八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 1．（24-25高一上·河南商丘·月考）函数，则的值域为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求函数的值域，再求函数的值域即可. 【详解】因为，令； 则，其中， 故的值域为， .故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·四川攀枝花·月考）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 3．（24-25高三上·云南曲靖·月考）已知点在曲线上，点在直线上，且两点关于轴对称，，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】由两点关于轴对称可得，将两点分别代入解析式列方程组解出和，再求一元二次方程组的值域即可. 【详解】因为，且两点关于轴对称， 所以点坐标为， 由题意可得，解得， 又因为，， 解得， 所以一元二次函数的对称轴为， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知且． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 【答案】(1) (2)， (3)的值域为且，的值域为 【分析】（1）将2和3代入各自的解析式后即可得解； （2）利用（1）代入可得，再将作为一个整体代入即可得解； （3）分别利用反比例函数和二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为且， 所以. （2）由（1）得， . （3）因为， 所以的值域为且； 因为， 所以的值域为. 【经典例题九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例1】（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 【例2】（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】选用分离常数法和反表示法即可求解； 【详解】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 1．（25-26高三上·河南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，故， 所以， 因为二次函数在上为增函数，故当时，. 因此函数的值域为. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式确定函数的最值，从而得其值域，再结合二次函数、绝对值函数、对勾函数、一次函数的性质确定函数值域即可得答案. 【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为， 对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确； 对于B，因为，则，则的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数，其值域为，故D错误． 故选：AC. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，转换成二次函数值域问题求解. 【详解】令，则，， 因为，开口向上且对称轴为， 所以在上是增函数，所以， 所以的值域为. 故答案为： 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【答案】 【分析】法一：运用分离常数法得到，再根据，利用不等式的性质逐步求得的范围，最终得解； 法二：运用反表示法，将表示为，再解分式不等式即可得解. 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 【经典例题十 根据值域求参数的值或者范围】 【例1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）函数在上的值域是，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在处取得最大值1，并且方程的根是或1，又，则，从而求得的取值集合． 【详解】解：， 时，取到最大值1， 方程的根是或1． 若，则， 的取值集合围是：，． 故选：． 【例2】（24-25高一上·江西南昌·月考）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 【答案】（1）的定义域为（2） 【分析】（1）将代入计算即可得出的定义域. （2）的值域为等价于函数的最小值，讨论为一次函数还是二次函数，求出实数的取值范围即可． 【详解】（1） （2）的值域为等价于函数的最小值， 即①当时，，不成立 ②当时，，满足题意 ③当时，为二次函数，开口必须朝上，即解得，对称轴 ， 所以解得 综上所述 【点睛】本题考查函数的定义域、根据值域求参数的取值范围，属于中档题． 1．（2024·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】函数， 当时，，则，则， 函数在的值域记为， 对任意的，存在，使，则， ①当时，，则，则； ②当时，因为，则，则， 所以，，解得； ③当时，因为，则，即， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 3．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 所以是函数的值域的子集， 当时，，符合题意， 当时， 则，解得， 综上所述，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题可知恒成立，讨论和两种情况求解； （2）先讨论时的情况，再讨论时，可得，解出即可. 【详解】（1）若的定义域为，则恒成立， 当时，， ①若，则恒成立，符合题意， ②若，则，解得，不符合题意， 当时，则，解得， 综上，； （2）当时，， ①若，则，不符合题意， ②若，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上，. 【点睛】本题考查根据函数的定义域和值域求参数范围，属于中档题. 【经典例题十一 抽象函数的值域】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果. 【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同. 故选：B 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 【答案】 【分析】令，求出t的范围，把函数转化为关于t的二次函数，利用函数的单调性求值域. 【详解】设， 所以， 则函数 在上单调递增，在单调递减， 又则 ，， 函数的值域是． 【点睛】本题考查了函数值域的求法，解答本题的关键是利用换元法把函数转化为一元二次函数，根据一元二次函数的单调性求值域. 1．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 2．（多选题）（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC 3．（24-25高三上·上海普陀·月考）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数关系式可得，分别求，， ，，上的值域，进而可得结果. 【详解】因为是上周期为1的函数， ， 故对任意的整数， 当时，， 而， 即， 故当， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 当. 则在的值域是 故答案为：. 4．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域． 【答案】［－4，2］ 【分析】利用特殊值法判断函数奇偶性，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，得 ，故为奇函数；利用定义判断函数单调性． 【详解】设，则，∵当时，，∴， ∵， ∴，即，∴为增函数 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则， ∴ ，故，为奇函数， ∴ ，又， ∴的值域为［－4，2］． 考点：函数单调性的定义、奇偶性应用 【经典例题十二 复合函数的值域】 【例1】（24-25高一上·福建龙岩·月考）若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可推导得到的范围，即为所求值域. 【详解】的值域为，，， 即的值域为. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·广西桂林·月考）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）要使函数有意义，解出，即可得到答案； （2）由，即可得到答案. 【详解】（1）要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为. （2）， 所以函数的值域为. 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·月考）若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数与函数的关系，即可求得值域． 【详解】因为的值域是［1，2］， 而与函数定义不同，值域相同， 所以的值域是［1，2］， 所以的值域为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题． 2．（多选题）（25-26高一上·广东茂名·月考）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数值域的定义结合图象变换判断即可. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误． 故选：AC. 3．（24-25高一上·宁夏银川·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，根据的值域为，则取遍 所有的实数，即求解. 【详解】令 因为的值域为， 所以取遍 所有的实数 所以 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 4．（24-25高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方法一：通过变量分离可得 因为，由于，即可得出值域．方法二：函数可化为由可得出值域． （2）化简可得，借助二次函数即可得出结果. （3）令，，借助二次函数即可得出结果. （4）令,方法一：函数可化为，方程式有解，利用判别式计算即可得出结果.方法二： 令，化简可得，当时，；当时，，借助基本不等式化简计算可得结果. 【详解】（1）方法一  因为，且，所以，所以原函数的值域为． 方法二 令，则， 所以原函数的值域为． （2）因为， 所以， 所以原函数的值域为． （3）设，则且， 得． 因为，所以，即， 所以原函数的值域为． （4）方法一 令，因为， 所以关于x的方程有解，则当，即时，； 当时，， 整理得，解得或． 综上，原函数的值域为． 方法二 令，则， 当时，； 当时，， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以． 综上，原函数的值域为． 【拓展训练一 求相关函数定义域】 【例1】（25-26高三上·山东聊城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，函数定义域需满足分子根号内非负和分母不为零的条件，通过解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，解不等式组得且，故函数的定义域为. 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】答案见解析 【分析】由函数的定义域为可得出，对实数的取值进行分类讨论，解该不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】由题意，，即. 当或，即或时，不存在， 即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义； 当，即时，，的定义域为； 当，即时，，的定义域为； 当时，即时，，故的定义域为； 当时，即时，，故的定义域为． 综上： ①当或时，的定义域为； ②当时，的定义域为； ③当时，的定义域为； ④当或时，函数定义域为，不存在． 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的定义域，再根据复合函数的定义求解． 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 2．（多选题）（25-26高一上·山西晋中·期中）与函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】若两个函数为同一函数，则定义域相同，解析式相同，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】的定义域为R，当时，，当时，， 选项A：，由，得，且，故A正确； 选项B：，定义域，与的定义域不同，故B错误； 选项C：，定义域为R，解析式与相同，故C正确； 选项D：，定义域为R，解析式与相同，故D正确； 故选：ACD 3．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合分式型函数、抽象函数有意义列式求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对于有， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）把代入后，要使函数有意义使得根式下不小于0，解不等式得答案； （2）分和求解，当时转化为不等式组求解的范围得答案. 【详解】（1）当时，， 由题意得，即，即或， ∴函数的定义域为或. （2）设， 由题意得对一切都成立. 当时，满足题意； 当时，必须满足，即，解得，即， 综上：，即. 【拓展训练二 求相关函数值域】 【例1】（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数的定义域为R，值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象的平移判断即可. 【详解】函数的定义域为R，值域为，因为函数是由向右平移2个单位得到的，平移不改变函数的值域，所以函数的值域   故选：C. 【例2】（24-25高一上·河北邯郸·月考）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 1．（24-25高一上·浙江丽水·月考）函数与函数（    ） A．是同一个函数 B．定义域相同 C．图象重合 D．值域相同 【答案】D 【解析】先判断两个函数中与的范围及对应关系f相同，即得结果. 【详解】由于函数中的范围与函数中的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f，故函数与函数的值域相同. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·重庆·月考）函数的定义域是，值域为，则下列函数值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数图象的变换确定即可. 【详解】对于A选项，若函数的值域为，向下平移1个单位，则函数的值域为； 对于B选项，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位而得到，值域依然是； 对于C选项，函数的图象与函数的图象关于轴对称，值域不变依然是； 对于D选项，函数的值域为. 故选：BC. 3．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为； （2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果； （3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）由于，且； 所以可得， 因此函数的值域是． （2）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为； ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，是定值，即可结合选项求解. 【详解】当点P在OA段运动时， s随t的增大而匀速增大， 点P在弧AB上运动时， s＝OP＝AB(定值)， 点P在BO上运动时， s随着t的增大而减小． 故选：C 2．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 3．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义得的定义域，进而可得所求结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 4．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 6．（多选题）（25-26高一上·四川达州·月考）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：BD. 7．（多选题）（25-26高一上·河北邢台·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令和可判断AB；令和可判断CD. 【详解】令，得，即． 令，得，解得，或. 因为，所以，A，B均正确； 令，得①， 令，得②． 联立①②，解得，C错误，D正确． 故选：ABD 8．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求得题设中函数的值域，再求每个选项中函数的值域，即可判断和选择. 【详解】，故其值域为； 对A：当时，，其值域为，故A正确； 对B：，故，其值域为，故B错误； 对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确； 对D：令，故的值域即的值域； 又在单调递减，在单调递增，故，故D错误. 故选：AC. 9．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断A；由可判断B；因为，可判断C；与轴有两交点，可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A显然不符合题意； 对于B，因为，所以，故B符合题意； 对于C，因为，所以，故C不符合题意； 对于D，因为与轴有两交点，，故D符合题意． 故选：BD． 10．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以. 【详解】对任意,恒有， 令可得， 因为当时,故，所以， 令可得，所以， 当时,,根据已知条件得,即，所以. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 【答案】 【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 12．（2025高三·江苏·专题练习）设P(x0，y0)是函数f(x)图象上任意一点，且，则f(x)的解析式可以是 (填序号)． ①f(x)＝x－；②f(x)＝ex－1；　③f(x)＝x＋；④f(x)＝tan x. 【答案】③ 【分析】利用特殊值法进行排除即可．当x=﹣1时，y=﹣1＜﹣1，此时y2≥x2不成立， 【详解】对于①，当x＝1，f(1)＝0，此时02≥12不成立．对于②，当x=﹣1时，y=﹣1＜﹣1，此时y2≥x2不成立．在④中，当x=时，y=1，此时y2≥x2不成立，． ∴①②④均不正确．事实上，在③中，对∀x0∈R， 有，有x成立 故答案为③． 【点睛】本题主要考查函数解析式的判断，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键． 13．（25-26高一上·山东临沂·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法和函数定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 即， 所以， 所以函数的定义域即为的解集， 解得：， 即函数的定义域为， 故答案为： 14．（24-25高一上·浙江·期中）已知的定义域为，则的定义域是 . 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，需使，解得， 即的定义域是， 故答案为： 15．（24-25高一上·广东广州·月考）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【答案】(1)1；1 (2)证明见解析 (3)1098 【详解】（1）解：因为， 所以， ． （2）证明：． （3）解：由（2）知，所以，所以． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 18．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【详解】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题. 【详解】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 20．（24-25高一上·山东烟台·月考）（1）求函数 的定义域； （2）求下列函数的值域： ①； ②. 【答案】(1)且； (2) ①.；②.. 【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域； (2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②. 【详解】(1)要使函数有意义，需满足 ，即，解得且. 所以函数的定义域为且. (2)①：， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； ②：，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数的概念和图象重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 已知函数的定义域求参数 题型八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十 根据值域求参数的值或者范围 题型十一 抽象函数的值域 题型十二 复合函数的值域 拓展训练一 求相关函数定义域 拓展训练二 求相关函数值域 知识点一： 函数 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【即时训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 1．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2．（多选题）（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 4．（24-25高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【经典例题二 求函数值】 【例1】（25-26高一上·黑龙江·期中）已知函数，若，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 1．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B．25 C．57 D．102 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西渭南·期中）设，其中.当满足时，可能取到的最大值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）定义，其中，求的值． 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例1】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【例2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 1．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知函数满足：对任意的非零实数x，y，都成立，.若，，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（多选题）（24-25高一上·宁夏中卫·月考）已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（    ） 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知a，b，c为非零实数，，，且，.若当时，对于任意实数x，均有，试求出值域以外的唯一数. 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 1．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津滨海新·期中）函数的定义域为 4．（24-25高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域 (1) (2) (3) 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例1】（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 1．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数定义域为，则函数的定义域（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．（24-25高一上·河南信阳·月考）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例1】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的定义域. 1．（25-26高一上·福建福州·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为 ． 4．（24-25高一·全国·课后作业）求下列函数的定义域 （1）已知函数定义域是，求的定义域. （2）已知函数定义域是，求的定义域. （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【经典例题七 已知函数的定义域求参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，求实数的取值范围. 1．（24-25高三上·陕西汉中·月考）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求实数的取值范围 【经典例题八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 1．（24-25高一上·河南商丘·月考）函数，则的值域为（　　　） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·四川攀枝花·月考）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南曲靖·月考）已知点在曲线上，点在直线上，且两点关于轴对称，，则函数的值域为 . 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知且． (1)求； (2)求； (3)求的值域． 【经典例题九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例1】（24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 1．（25-26高三上·河南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【经典例题十 根据值域求参数的值或者范围】 【例1】（24-25高一上·湖北荆州·期中）函数在上的值域是，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江西南昌·月考）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 1．（2024·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的值域为，求实数k的取值范围 ． 4．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数． （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【经典例题十一 抽象函数的值域】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 1．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（多选题）（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海普陀·月考）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是 . 4．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域． 【经典例题十二 复合函数的值域】 【例1】（24-25高一上·福建龙岩·月考）若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广西桂林·月考）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·月考）若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高一上·广东茂名·月考）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·宁夏银川·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【拓展训练一 求相关函数定义域】 【例1】（25-26高三上·山东聊城·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 1．（25-26高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高一上·山西晋中·期中）与函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【拓展训练二 求相关函数值域】 【例1】（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数的定义域为R，值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·河北邯郸·月考）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 1．（24-25高一上·浙江丽水·月考）函数与函数（    ） A．是同一个函数 B．定义域相同 C．图象重合 D．值域相同 2．（多选题）（24-25高一上·重庆·月考）函数的定义域是，值域为，则下列函数值域也为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 3．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高一上·四川达州·月考）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高一上·河北邢台·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 12．（2025高三·江苏·专题练习）设P(x0，y0)是函数f(x)图象上任意一点，且，则f(x)的解析式可以是 (填序号)． ①f(x)＝x－；②f(x)＝ex－1；　③f(x)＝x＋；④f(x)＝tan x. 13．（25-26高一上·山东临沂·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 14．（24-25高一上·浙江·期中）已知的定义域为，则的定义域是 . 15．（24-25高一上·广东广州·月考）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 18．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 20．（24-25高一上·山东烟台·月考）（1）求函数 的定义域； （2）求下列函数的值域： ①； ②. 学科网（北京）股份有限公司 $